数理論理学の一分野であるモデル理論において、Uランクは安定理論の文脈における（完全な）型の複雑さの尺度の一つである。通常、Uランクが高いほど制約が少ないことを示し、すべての集合上のすべての型に対してUランクが存在することは、重要なモデル理論的条件、すなわち超安定性と同義である。
意味
U ランクは、任意の集合 A 上の任意の (完全な) n 型 p に対して、次のように帰納的に定義されます。
- U ( p ) ≥ 0
- δ が極限順序数である場合、δ未満のすべてのαに対してU ( p ) ≥ αが成り立つとき、 U ( p ) ≥ δ が成り立つ。
- 任意のα = β + 1に対して、 U ( p ) ≥ αは、 pの分岐拡張qが存在し、 U ( q ) ≥ βであるときとまったく同じである。
U ( p ) ≥ αの場合にはU ( p ) = αと言い、 U ( p ) ≥ α + 1 の場合にはU ( p ) ≥ α と言いません 。
すべての順序数αに対してU ( p ) ≥ αである場合、U ランクは無制限、つまりU ( p ) = ∞ であるといいます。
注: Uランクは正式には と表記されます。ここでpは実際にはp(x)であり、xは長さnの変数の組です。この添え字は、混乱が生じない場合は通常省略されます。
ランキング理論
Uランクはその定義域において単調である。つまり、pがA上の完全型であり、BがAの部分集合であるとする 。すると、 q に対してpからBへの制限はU ( q ) ≥ U ( p ) となる。
B （上記）を空とすると、次の式が得られます。パラメータの集合に対して、ランクが少なくともαであるn型pが存在する場合、ランクが少なくとも α である空集合上の型が存在することになります。 したがって、完全な（安定した）理論Tに対して、 を定義できます。
すると、超安定性の簡潔な特徴付けが得られます。つまり、安定理論T は、任意のnに対して 、かつその場合のみ超安定性となります。
プロパティ
- 上で述べたように、U ランクはそのドメイン内では単調です。
- pが U ランクαを持つ場合、任意のβ < αに対して、 U ランク βを持つpの分岐拡張qが存在します。
- pがA上のbの型である場合、 Aを拡張する何らかの集合Bが存在し、q がB上のbの型である。
- pがランク付けされていない場合（つまり、pの U ランクが ∞ の場合）、pの分岐拡張qが存在し、これもランク付けされていません。
- 超安定性がない場合でも、すべてのランク付けされた型の中で最大ランクである順序数βが存在し、任意のα < βに対してランクαの型pが存在し、 pのランクがβより大きい場合、それは∞でなければなりません。
例
- pが非代数的である場合、 U ( p ) > 0 となります。
- T が代数的に閉体（任意の固定標数の）の理論であるとすれば、 となる。さらに、A が任意のパラメータ集合であり、K がAによって生成される体であるとすれば、 A上の1 型p は、 p（のすべての実現）がK上で超越的であれば階数 1 を持ち、そうでない場合は階数 0 を持つ。より一般的には、A上のn型p は、その任意の実現の（K上での）超越次数である U 階数kを持つ。
参考文献
ピレイ、アナンド (2008) [1983].安定性理論入門. ドーバー. p. 57. ISBN 978-0-486-46896-9。
