バナッハ測度

数学の分野である測度論において、バナッハ測度とは、ユークリッド平面のすべての部分集合に大きさ（または面積）を割り当てる特定の方法であり、一般的に用いられるルベーグ測度と整合しつつもそれを拡張したものである。平面の一部の部分集合の中にはルベーグ測度で測れないものもあるが、平面のすべての部分集合はバナッハ測度を持つ。一方、ルベーグ測度は可算加法であるのに対し、バナッハ測度は有限加法性しか持たない（したがって「内容」と呼ばれる）。

シュテファン・バナッハは1923年にバナッハ測度の存在を証明した。^{[ 1 ]}これにより特に、ユークリッド空間R ^{3における}バナッハ・タルスキーのパラドックスによって規定される逆説的分解は、ユークリッド平面R ²には存在できないことが確立された。

意味

R ⁿ上のバナッハ測度^{[ 2 ]}は、 R ⁿの各部分集合に非負の拡張実数を割り当てる関数であり、 ${\displaystyle \mu :{\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n})\to [0,\infty ]}$

• μは有限加法性を持つ、つまり任意の 2 つの互いに素な集合。${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$ ${\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$
• μ はルベーグ測度λを拡張します。つまり、すべてのルベーグ可測集合 に対して。${\displaystyle \mu (A)=\lambda (A)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$
• μはR ⁿの等長変換に対して不変である、つまりあらゆる等長変換に対して。${\displaystyle \mu (A)=\mu (f(A))}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$

プロパティ

μの有限加法性は、任意の互いに素な対集合 に対して および が成り立つことを意味する。また、 のときはいつでもが成り立つ。 ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0}$ ${\displaystyle \mu (A_{1}\cup \cdots \cup A_{k})=\sum _{i=1}^{k}\mu (A_{i})}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots,A_{k}\subseteq \mathbb {R}^{n}}$ ${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B)}$ ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

μ はルベーグ測度を拡張するので、 Aが有限集合または可算集合である場合、また任意の区間の積である場合に、が成り立つことがわかります。 ${\displaystyle \mu (A)=0}$ ${\displaystyle \mu ([a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{n},b_{n}])=(b_{1}-a_{1})\cdots (b_{n}-a_{n})}$ ${\displaystyle [a_{1},b_{1}]\times \cdots \times [a_{1},b_{1}]\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

μは等長変換に対して不変であるため 、特に回転と並進に対して不変です。

結果

ステファン・バナッハは、 R ¹とR ²上にバナッハ測度が存在することを示した。これらの結果は、 R ¹とR ²の等長変換群が可解であるという事実から導かれる。

これらの測度の存在は、 1次元または2次元におけるバナッハ・タルスキーのパラドックスの不可能性を証明する。1次元または2次元の有限ルベーグ測度の集合を、異なるルベーグ測度を持つ集合に再構成できる有限個の集合に分解することは不可能である。なぜなら、これはルベーグ測度を拡張するバナッハ測度の性質に違反するからである。^{[ 3 ]}

逆に、 n ≥ 3のすべての次元でバナッハ-タルスキーのパラドックスが存在することは、これらの次元ではバナッハ測度が存在できないことを示しています。

ヴィタリのパラドックスが示すように、バナッハ測度は可算加法測度に強化することはできません。つまり、すべてのn ≥ 1に対して、ルベーグ測定可能ではないR ⁿのサブセットが存在します。

これらの結果のほとんどは、何らかの選択公理に依存している。選択公理を用いずにツェルメロ＝フランケル集合論の公理のみを用いると、バナッハ＝タルスキーのパラドックスを導くことはできず、ルベーグ測定不可能な集合の存在を証明することもできない（後者の主張は、到達不可能な基数の存在は矛盾しないという、かなり弱いが広く信じられている仮定に依存している）。R 1およびR ²上のバナッハ測度の存在も^、選択公理がなければ証明できない。^{[ 4 ]}特に、これらのバナッハ測度の具体的な式を与えることはできない。

参考文献

1. バナッハ、ステファン (1923)。「対策に関する問題」(PDF)。数学の基礎。4 : 7–33 .土井: 10.4064/fm-4-1-7-33 。2022 年3 月 6 日に取得。
2. ワゴン、スタン;トムコヴィッチ、グジェゴシュ (2016)。バナッハ・タルスキーのパラドックス(第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。 p. 229.
3. スチュワート、イアン（1996）、From Here to Infinity、オックスフォード大学出版局、p. 177、ISBN 9780192832023。
4. ワゴン、スタン;トムコヴィッチ、グジェゴシュ (2016)。バナッハ・タルスキーのパラドックス(第 2 版)。ケンブリッジ大学出版局。296～ 302ページ 。