超有限主義

数学哲学において、超有限主義、超直観主義、[ 1 ]厳密な形式主義、[ 2 ]厳密な有限主義、[ 2 ]実在主義、[ 1 ]述語主義、[ 2 ] [ 3 ]強い有限主義[ 2 ]といった名称は、有限主義と直観主義の側面を持つ様々な数学哲学を記述するために用いられる。これらの哲学のほとんどに共通する主要な特徴は、自然数上のべき乗のような数論的関数の全体性に対する異議である。

主なアイデア

他の有限主義者と同様に、超有限主義者は、自然数の無限集合は決して完成できないという理由で、 自然数の無限集合 の存在を否定します。北{\displaystyle \mathbb {N} }

さらに、一部の超有限主義者は、巨大な有限数学的対象を構築する際の物理的制約のために、実際には誰も構築できない数学的対象を受け入れることに関心を抱いている。そのため、一部の超有限主義者は、例えば指数関数exp (exp(exp(79)))を用いて定義される巨大な数である第一スキューズ数の床値など、巨大な数の存在を否定したり、受け入れを控えたりする。

eee79。{\displaystyle e^{e^{e^{79}}}.}

その理由は、この実数の床面となる自然数が何であるかを誰もまだ計算しておらず、物理的に計算することさえ不可能かもしれないからです。同様に、（クヌースの上矢印記法における） は、自然数に対応しない形式的な表現としてのみ考えられます。数学の物理的実現可能性を重視する超有限主義の一種は、しばしば実在主義と呼ばれます。 2↑ ↑ ↑6{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}

エドワード・ネルソンは、自然数の古典的概念を、その定義の循環性を理由に批判した。古典数学において、自然数は0と、 0への後続関数の反復適用によって得られる数と定義される。しかし、自然数の概念は、反復処理において既に前提とされている。言い換えれば、ある数を得るには、 0への後続関数を反復的に（実際には正確に）実行する必要がある。 2↑ ↑ ↑6{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}2↑ ↑ ↑6{\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}

超有限主義のいくつかの形態は構成主義の一形態であるが、ほとんどの構成主義者は、この哲学を機能不全なほど極端なものと見なしている。超有限主義の論理的根拠は明確ではない。構成論理学者A.S.トロルストラは、包括的な概説書『数学における構成主義』 （1988年）の中で、 「現時点では満足のいく発展は存在しない」と述べて超有限主義を否定している。これは哲学的な反論というよりも、厳密な数理論理学の著作には、単に含めるに足るほど正確なものは何もないということを認めたようなものであった。

超有限主義に関連する人々

超有限主義に関する本格的な研究は、1959年から2016年に亡くなるまで、アレクサンダー・エセーニン＝ヴォルピンによって主導されました。彼は1961年に、超有限数学におけるツェルメロ＝フランケル集合論の無矛盾性を証明するためのプログラムを概説しました。この分野で研究を行った数学者には、他にドロン・ツァイルバーガー、エドワード・ネルソン、ロヒト・ジヴァンラル・パリク、ジャン・ポール・ファン・ベンデゲムなどがいます。この哲学は、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタイン、ロビン・ガンディ、ペトル・ヴォペンカ、ヨハネス・ヘルムスレーヴの信条と関連付けられることもあります。

ショーガン・ラヴィンは、古典数学と整合する集合論的超有限主義の一形態を開発した。[ 4 ] ラヴィンは、「最大自然数は存在しない」といった算術の基本原理が、ラヴィンが「無限に大きい」数を許容することで維持できることを示した。[ 4 ]

計算複雑性理論に基づく制限

扱いにくい大きな数を避ける可能性に関する他の考察は、アンドラーシュ・コルナイの明示的有限主義（大きな数の存在を否定しない）[ 5 ]やウラジミール・サゾノフの実行可能数の概念など、計算複雑性理論に基づくことができる。

また、サミュエル・バスの有界算術理論のような、複雑性理論に基づく超有限主義のバージョンについても、形式的にかなりの発展が見られ、これはPやPSPACEなどのさまざまな複雑性クラスに関連する数学を捉えるものである。バスの研究は、エドワード・ネルソンの述語的算術に関する研究の延長と考えることができる。なぜなら、 S12 のような有界算術理論は、ラファエル・ロビンソンの理論Qで解釈可能であり、したがってネルソンの意味で述語的であるからである。これらの理論の数学発展に対する威力は、スティーブン・A・クックやフォン・テ・グエンの著作に見られるように、有界逆数学で研究されている。しかし、これらは数学の哲学ではなく、むしろ逆数学に似た推論の制限された形式の研究である。

参照

注記

  1. ^ a b論理と計算複雑性に関する国際ワークショップ、論理と計算複雑性、Springer、1995年、p.31。
  2. ^ a b c d St. Iwan (2000)、「ネルソンの述語主義の維持不可能性について」、Erkenntnis 53 (1–2)、pp. 147–154。
  3. ^ラッセルの述語主義と混同しないでください。
  4. ^ a b「数学の哲学（スタンフォード哲学百科事典）」 Plato.stanford.edu . 2015年10月7日閲覧。
  5. ^「財団との関係」

参考文献

  • Ésénine-Volpine、AS (1961)、「Le Program Ultra-intuitionniste des Fondements des mathématiques」、Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math.、ワルシャワ、1959)、オックスフォード: ペルガモン、pp.  201–223、MR  0147389Kreisel, G.によるレビュー。 Ehrenfeucht, A. (1967)、「AS Ésénine-Volpine による Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques のレビュー」、The Journal of Symbolic Logic、32 (4)、Association for Symbolic Logic: 517、doi : 10.2307/2270182、JSTOR 2270182 
  • Lavine, S.、1994年、「Understanding the Infinite」、マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。
「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Ultrafinitism&oldid=1322626236」より取得