超相対論的限界

物理学では、粒子の速度が光速cに非常に近いとき、その粒子は超相対論的と呼ばれます。^{[ 1 ]}一般的に使用される表記はまたはまたはで、はローレンツ因子、は光速です。 ${\displaystyle v\approx c}$ ${\displaystyle \beta \approx 1}$ ${\displaystyle \gamma \gg 1}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle \beta =v/c}$ ${\displaystyle c}$

超相対論的粒子のエネルギーは、ほぼ完全にその運動エネルギーによって決まります。全エネルギーは次のように近似することもできます。ここで、はローレンツ不変な運動量です。 ${\displaystyle E_{k}=(\gamma -1)mc^{2}}$ ${\displaystyle E=\gamma mc^{2}\approx pc}$ ${\displaystyle p=\gamma mv}$

これは、質量を固定して運動エネルギーを非常に大きな値に増加させること、またはエネルギーEを固定して質量mを非常に小さな値（これも非常に大きな）に縮小することによって生じます。質量が非常に小さい粒子は、に近い速度で移動するのにそれほど多くのエネルギーを必要としません。後者は、質量のある粒子の軌道から、光子などの質量のない粒子の軌道を導くために使用されます（一般相対性理論におけるケプラーの問題を参照）。 ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle c}$

超相対論的近似

以下に、 のときの超相対論的近似値をいくつか示す。ラピディティは と表記される。 ${\displaystyle \beta \approx 1}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle 1-\beta \approx {\frac {1}{2\gamma ^{2}}}}$

${\displaystyle w\approx \ln(2\gamma )}$

• 一定の固有加速度による運動: d ≈ e ^aτ /(2 a )、ここでdは移動距離、a = dφ / dτは固有加速度 ( aτ ≫ 1 )、τは固有時間、移動は静止状態から始まり、加速度の方向は変化しません (詳細については「固有加速度」を参照)。
• 質量中心の超相対論的運動による固定ターゲット衝突: E _CM ≈ √ 2 E ₁ E ₂ここで、E ₁とE ₂はそれぞれ粒子とターゲットのエネルギー (つまりE ₁ ≫ E ₂ )、E _CMは質量中心フレームのエネルギーです。

近似値の精度

粒子のエネルギー計算において、速度v = 0.95 cの場合の超相対論的極限の相対誤差は約10 %、v = 0.99 cの場合はわずか2 %です。ニュートリノのような粒子の場合、γ（ローレンツ因子）は通常10 ⁶（vとcは実質的に区別がつかない）を超えますが、この近似は本質的に正確です。

その他の制限

逆の場合（v ≪ c）は、いわゆる古典粒子であり、その速度はcよりもはるかに小さい。その運動エネルギーは二項級数の第一項で近似できる。 ${\displaystyle \gamma}$

${\displaystyle E_{k}=(\gamma -1)mc^{2}={\frac {1}{2}}mv^{2}+\left[{\frac {3}{8}}m{\frac {v^{4}}{c^{2}}}+...+mc^{2}{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}{\frac {v^{2n}}{c^{2n}}}+...\right]}$

参照

• 相対論的粒子
• 古典力学
• 特殊相対性理論
• アイヒェルブルク・セクスル ウルトラブースト

参考文献

1. グリフィス、デヴィッド J. (2008)。素粒子入門(1. オーフラージュ編)。ワインハイム: ワイリー-VCH。ISBN 978-3-527-61847-7。