超強力トポロジー

関数解析学において、ヒルベルト空間上の有界作用素の集合B(H)上の超強位相、σ-強位相、あるいは最強位相とは、トレース類作用素からなる前双対の 正の元の半ノルム族によって定義される位相である 。 ^{[ 1 ] : 68} $${\displaystyle p_{\omega }(x)=\omega (x^{*}x)^{1/2}}$$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{*}(H)}$

1936年に ジョン・フォン・ノイマンによって導入されました。 ^{[ 2 ]}

強い（作用素）位相との関係

超強位相は強（作用素）位相に類似しています。例えば、任意のノルム有界集合上では、強作用素位相と超強位相は同じです。超強位相は強作用素位相よりも強いです。

強作用素位相の問題の一つは、 B(H)と強作用素位相の双対が「小さすぎる」ことです。超強位相はこの問題を解決します。双対は、すべてのトレースクラス作用素の完全前双対B _* (H)となります。一般に、超強位相は強作用素位相よりも優れていますが、定義が複雑であるため、強作用素位相で済む場合は、通常、強作用素位相が使用されます。

超強位相は、強作用素位相から次のように得られる。H 1 が可分な無限次元ヒルベルト空間ならば、_B ( H)はH ₁上の恒等写像でテンソル化することによりB ( H ⊗ H ₁ )に埋め込むことができる。すると、 B ( H ⊗ H ₁ )上の強作用素位相の制約は 、 B(H)の超強位相となる。同様に、これは半ノルムの族によって与えられ 、^{[ 1 ] : 68} $${\displaystyle x\mapsto \left(\sum _{n=1}^{\infty }\|x\xi _{n}\|^{2}\right)^{1/2},}$$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\|\xi _{n}\|^{2}<\infty .}$

超強位相では、随伴写像は連続ではない。超強位相と呼ばれる別の位相があり、これは随伴写像が連続となる超強位相よりも強い最も弱い位相である。^{[ 1 ] : 68}

参照

• 強作用素位相 – 関数空間上の局所凸位相
• 位相テンソル積 – 位相ベクトル空間のテンソル積構成
• ヒルベルト空間上の作用素の集合上の位相
• 超弱トポロジー

参考文献

1. 竹崎正道 (2002).作用素代数の理論。私。ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 3-540-42248-X。
2. フォン・ノイマン、ジョン（1936）、「作用素環のある位相について」、数学年報、第2集、37（1）：111-115、doi：10.2307/1968692、JSTOR 1968692 

• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .