ウングラ

立体幾何学において、有蹄（うひづめ）とは、回転体において、その底面に対して斜めの平面によって切り取られた領域である。 ^{[ 1 ]}一般的な例としては球面くさびが挙げられる。有蹄とは、馬の蹄を指し、有蹄類と呼ばれる哺乳類の分類を規定する解剖学的特徴である。

円筒の有蹄体積はグレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンによって計算された。[ 2 ]^{半径が等しく}軸が垂直な2つの円筒は、4つの二重有蹄で交差する。^{[ 3 ]}交差によって形成される双円筒はアルキメデスの『力学定理の方法』で測定されていたが、原稿は1906年まで紛失していた。

微積分学の歴史家は積分学における有蹄類の役割について次のように述べている。

グレゴワール自身は、有蹄類を例に挙げて、体積積分が平面導管を通して平面図形の線分間の幾何学的関係の考察に還元できることを主に示そうとした。しかし、有蹄類はグレゴワールの後継者たちにとって貴重なインスピレーションの源となり、彼らはそこに積分を様々な独創的な方法で表現し、変換する手段を見出した。^{[ 4 ] : 146}

円筒形の有蹄類

直円筒形の有蹄類。

底半径r、高さhの円筒形の有蹄骨の体積は

${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h}$ 、。^{[ 5 ]}

その総表面積は

${\displaystyle A={1 \over 2}\pi r^{2}+{1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}+2rh}$ 、

湾曲した側壁の表面積は

${\displaystyle A_{s}=2rh}$ 、

そしてその上部（傾斜屋根）の表面積は

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ 。

証拠

下が平面、上が平面で囲まれた円柱を考えます。ここで、k は傾斜した屋根の勾配です。 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle z=ky}$

${\displaystyle k={h \over r}}$ 。

体積をy軸に平行なスライスに切り分けると、三角柱のような形の微分スライスの体積は

${\displaystyle A(x)\,dx}$

どこ

${\displaystyle A(x)={1 \over 2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\cdot k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}={1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})}$

は、頂点がそれぞれ、、、、であり、底辺と高さがそれぞれ、とである直角三角形の面積である。したがって、円筒形の有蹄動物全体の体積は、 ${\displaystyle (x,0,0)}$ ${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},0)}$ ${\displaystyle (x,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}},k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}})}$ ${\displaystyle {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$ ${\displaystyle k{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}}$

${\displaystyle V=\int _{-r}^{r}A(x)\,dx=\int _{-r}^{r}{1 \over 2}k(r^{2}-x^{2})\,dx}$

${\displaystyle \qquad ={1 \over 2}k{\Big (}[r^{2}x]_{-r}^{r}-{\Big [}{1 \over 3}x^{3}{\Big ]}_{-r}^{r}{\Big )}={1 \over 2}k(2r^{3}-{2 \over 3}r^{3})={2 \over 3}kr^{3}}$

これは

${\displaystyle V={2 \over 3}r^{2}h}$

を代入した後。 ${\displaystyle rk=h}$

湾曲した側壁の微分表面積は

${\displaystyle dA_{s}=kr(\sin \theta )\cdot r\,d\theta =kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta }$ 、

この面積は、頂点、、、で囲まれたほぼ平坦な長方形に属し、その幅と高さはそれぞれと （に十分近い）です。すると、壁の表面積は ${\displaystyle (r\cos\theta,r\sin\theta,0)}$ ${\displaystyle (r\cos\theta,r\sin\theta,kr\sin\theta)}$ ${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),0)}$ ${\displaystyle (r\cos(\theta +d\theta ),r\sin(\theta +d\theta ),kr\sin(\theta +d\theta ))}$ ${\displaystyle r\,d\theta }$ ${\displaystyle kr\sin \theta }$

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }dA_{s}=\int _{0}^{\pi }kr^{2}(\sin \theta )\,d\theta =kr^{2}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta }$

ここで積分は となり、壁の面積は ${\displaystyle -[\cos \theta ]_{0}^{\pi }=-[-1-1]=2}$

${\displaystyle A_{s}=2kr^{2}}$ 、

利回り を代入する${\displaystyle rk=h}$

${\displaystyle A_{s}=2rh}$ 。

円筒形の有蹄骨の底部は、半径r :の半円の表面積を持ち、その傾斜した上部は、半短軸の長さrと半長軸の長さを持つ半楕円形であるため、その面積は ${\displaystyle {1 \over 2}\pi r^{2}}$ ${\displaystyle r{\sqrt {1+k^{2}}}}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r\cdot r{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(kr)^{2}}}}$

利回り を代入する${\displaystyle kr=h}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$ . ∎

側壁の表面積が体積とどのように関係しているかに注意してください。このような表面積は であり、これに を掛けると、微分半殻の体積 が得られ、その積分は で、体積となります。 ${\displaystyle 2kr^{2}}$ ${\displaystyle dr}$ ${\displaystyle {2 \over 3}kr^{3}}$

傾きk が1 に等しいとき、そのような有蹄動物は体積が である双円筒のちょうど 8 分の 1 になります。その 8 分の 1 は です。 ${\displaystyle {16 \over 3}r^{3}}$ ${\displaystyle {2 \over 3}r^{3}}$

円錐形の有蹄

直円錐の有蹄類。

高さh、底半径r、上部平面の勾配k （半円の底がz = 0の平面上にある場合）の円錐形の有蹄動物の体積は

${\displaystyle V={r^{3}kHI \over 6}}$

どこ

${\displaystyle H={1 \over {1 \over h}-{1 \over rk}}}$

有蹄骨が切り取られた円錐の高さであり、

${\displaystyle I=\int _{0}^{\pi }{2H+kr\sin \theta \over (H+kr\sin \theta )^{2}}\sin \theta \,d\theta }$ 。

湾曲した側壁の表面積は

${\displaystyle A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}I}$ 。

一貫性のチェックとして、円錐の高さが無限大になり、極限で円柱になった場合に何が起こるかを考えてみましょう。

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}I-{4 \over H}{\Big )}=\lim _{H\rightarrow \infty }{\Big (}{2H \over H^{2}}\int _{0}^{\pi }\sin \theta \,d\theta -{4 \over H}{\Big )}=0}$

となることによって

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {4 \over H}={2 \over 3}kr^{3}}$ 、

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}H \over 2}\cdot {4 \over H}=2kr^{2}}$ 、 そして

${\displaystyle \lim _{H\rightarrow \infty }A_{t}={1 \over 2}\pi r^{2}{{\sqrt {1+k^{2}}} \over 1+0}={1 \over 2}\pi r^{2}{\sqrt {1+k^{2}}}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+(rk)^{2}}}}$ 、

この結果は円筒形の場合と一致します。

証拠

円錐を次のように記述するとする。

${\displaystyle 1-{\rho \over r}={z \over H}}$

ここでrとHは定数、zとρは変数であり、

${\displaystyle \rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\qquad 0\leq \rho \leq r}$

そして

${\displaystyle x=\rho \cos \theta ,\qquad y=\rho \sin \theta }$ 。

円錐を平面で切る

${\displaystyle z=ky=k\rho \sin \theta }$ 。

このzを円錐の方程式に代入し、ρについて解くと次の式が得られます。

${\displaystyle \rho _{0}={1 \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}}$

これは、与えられたθの値に対して、平面と円錐に共通する点のうち、x軸からθの角度で円錐の軸から最も遠い点の半径座標である。この点の円筒高座標は、

${\displaystyle z_{0}=H{\Big (}1-{\rho _{0} \over r}{\Big )}}$ 。

角度θの方向に沿って、円錐形の有蹄骨の断面は三角形のように見える。

${\displaystyle (0,0,0)-(\rho _{0}\cos \theta ,\rho _{0}\sin \theta ,z_{0})-(r\cos \theta ,r\sin \theta ,0)}$ 。

この三角形をz軸を中心に角度回転させると、、、 がそれぞれ、 、に置き換えられた別の三角形が得られます。ここで、と は ではなくの関数です。が無限小であるため、 ともおよびから無限小に変化します。したがって、微分台形ピラミッドの体積を考える目的では、これらは等しいと見なすことができます。 ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \theta +d\theta }$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle \theta +d\theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d\theta }$ ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle z_{1}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle z_{0}}$

微分台形ピラミッドは、台形の底辺の長さ（円錐の底辺の長さ）、頂点の長さ、高さを持つため、台形の面積は ${\displaystyle rd\theta }$ ${\displaystyle {\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}rd\theta }$ ${\displaystyle {z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$

${\displaystyle A_{T}={r\,d\theta +{\Big (}{H-z_{0} \over H}{\Big )}r\,d\theta \over 2}{z_{0} \over H}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}=r\,d\theta {(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$ 。

台形の底から点までの高度は、 ${\displaystyle (0,0,0)}$

${\displaystyle {rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}}$ 。

(これは台形ピラミッドの ​​1 つの辺の三角形の高さです。) ピラミッドの体積は底面積の 3 分の 1 に高度を掛けた値なので、円錐形の有蹄類の体積はその積分になります。

${\displaystyle V=\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}{rH \over {\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}r\,d\theta =\int _{0}^{\pi }{1 \over 3}r^{2}{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H}d\theta ={r^{2}k \over 6H}\int _{0}^{\pi }(2H-ky_{0})y_{0}\,d\theta }$

どこ

${\displaystyle y_{0}=\rho _{0}\sin \theta ={\sin \theta \over {1 \over r}+{k\sin \theta \over H}}={1 \over {1 \over r\sin \theta }+{k \over H}}}$

右辺を積分に代入し、代数的な操作を行うと、証明すべき体積の公式が得られます。

サイドウォールの場合:

${\displaystyle A_{s}=\int _{0}^{\pi }A_{T}=\int _{0}^{\pi }{(2H-z_{0})z_{0} \over 2H^{2}}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}\,d\theta ={kr{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2H^{2}}\int _{0}^{\pi }(2H-z_{0})y_{0}\,d\theta }$

そして右辺の積分は と簡約される。 ∎ ${\displaystyle H^{2}rI}$

一貫性チェックとして、k が無限大になると何が起こるかを考えてみましょう。その場合、円錐形の有蹄動物は半円錐になるはずです。

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\Big (}I-{\pi \over kr}{\Big )}=0}$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }V={r^{3}kH \over 6}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}{\Big (}{1 \over 3}\pi r^{2}H{\Big )}}$

これは円錐の体積の半分です。

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }A_{s}={kr^{2}{\sqrt {r^{2}+H^{2}}} \over 2}\cdot {\pi \over kr}={1 \over 2}\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$

これは円錐の曲面壁の表面積の半分です。

上部の表面積

のとき、「上部」（つまり、底面のように半円ではない平らな面）は放物線状になり、その表面積は ${\displaystyle k=H/r}$

${\displaystyle A_{t}={2 \over 3}r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}}$ 。

このとき、上部は楕円形（つまり、楕円の半分未満）となり、その表面積は ${\displaystyle k<H/r}$

${\displaystyle A_{t}={1 \over 2}\pi x_{max}(y_{1}-y_{m}){\sqrt {1+k^{2}}}\Lambda }$

どこ

${\displaystyle x_{max}={\sqrt {{k^{2}r^{4}H^{2}-k^{4}r^{6} \over (k^{2}r^{2}-H^{2})^{2}}+r^{2}}}}$ 、

${\displaystyle y_{1}={1 \over {1 \over r}+{k \over H}}}$ 、

${\displaystyle y_{m}={kr^{2}H \over k^{2}r^{2}-H^{2}}}$ 、

${\displaystyle \Lambda ={\pi \over 4}-{1 \over 2}\arcsin(1-\lambda )-{1 \over 4}\sin(2\arcsin(1-\lambda ))}$ 、 そして

${\displaystyle \lambda ={y_{1} \over y_{1}-y_{m}}}$ 。

すると、上側の部分は双曲線の一部となり、その表面積は ${\displaystyle k>H/r}$

${\displaystyle A_{t}={\sqrt {1+k^{2}}}(2Cr-aJ)}$

どこ

${\displaystyle C={y_{1}+y_{2} \over 2}=y_{m}}$ 、

${\displaystyle y_{1}}$ 上記の通りです。

${\displaystyle y_{2}={1 \over {k \over H}-{1 \over r}}}$ 、

${\displaystyle a={r \over {\sqrt {C^{2}-\Delta ^{2}}}}}$ 、

${\displaystyle \Delta ={y_{2}-y_{1} \over 2}}$ 、

${\displaystyle J={r \over a}B+{\Delta ^{2} \over 2}\log {\Biggr |}{{r \over a}+B \over {-r \over a}+B}{\Biggr |}}$ 、

ここで対数は自然数であり、

${\displaystyle B={\sqrt {\Delta ^{2}+{r^{2} \over a^{2}}}}}$ 。

参照

• 球状くさび
• シュタインメッツ固体

参考文献

1. Ungula（Webster Dictionary.org）
2. 聖ヴィンセントのグレゴリウス(1647) Opus Geometricumquadraturae circuli et sectionum coni
3. Blaise Pascal Lettre de Dettonville a Carcaviはオングレットとダブルオングレットについて説明している、 HathiTrustからのリンク
4. マーガレット・E・バロン（1969）『無限微分計算の起源』、ペルガモン・プレス、2014年にエルゼビア社より再出版、 Googleブックスプレビュー
5. エンジニアリングツールボックスの「ソリッド - ボリュームとサーフェス」

外部リンク

• ウィリアム・ヴォグデス（1861）『測定と実用幾何学に関する初等的論文』 （ Googleブックス経由）