一方的な接触

接触力学において、片側接触（または片側拘束）という用語は、 2つの剛体／柔軟体間の接触を妨げる機械的拘束を意味します。この種の拘束は、粉体流れ、[ 1 ] 、脚式ロボット、車両力学、粒子減衰、不完全関節、[ 2 ] 、ロケット着陸など、非平滑多体力学アプリケーションにおいて広く用いられます。これらのアプリケーションでは、片側拘束によって衝突が発生するため、適切な拘束処理手法が必要となります。

一方的制約のモデリング

片側拘束をモデル化する手法は主に2種類あります。1つ目は滑らかな接触力学に基づくもので、ヘルツモデル、ペナルティ法、およびいくつかの正則化力モデルを用いた手法が含まれます。2つ目は非滑らかな接触力学に基づくもので、片側接触を持つシステムを変分不等式としてモデル化します。

スムーズな接触ダイナミクス

ヘルツ接触モデル

この手法では、片側拘束によって発生する法線力を、物体の局所的な材料特性に基づいてモデル化します。特に、接触力モデルは連続体力学から導かれ、物体の隙間と衝突速度の関数として表現されます。例として、右図に古典的なヘルツ接触モデルの図解を示します。このモデルでは、接触は物体の局所的な変形によって説明されます。その他の接触モデルについては、いくつかのレビュー論文[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]や接触力学に関する論文を参照してください。

非滑らかな接触ダイナミクス

非平滑法では、物体間の一方的な相互作用は基本的に非貫通のシニョリーニ条件[ 6 ]によってモデル化され、衝突法則が衝突プロセスを定義するために使用される。[ 7 ]シニョリーニ条件は相補性問題として表現できる。

グラム≥0、λ≥0、λ⊥グラム{\displaystyle g\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad \lambda \perp g}、

ここで、は2物体間の距離を表し、は片側拘束によって生じる接触力を表します（下図参照）。さらに、凸包理論の近位点の概念を用いると、シニョリーニ条件は次のように等価的に表現されます[ 6 ] [ 8 ]。 グラム{\displaystyle g}λ{\displaystyle \lambda}

λ＝projR+（λ−ρグラム）{\displaystyle \lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}、

ここで は補助パラメータを表し、 は変数 の集合内の近位点を表し、[ 9 ]は次のように定義される。 ρ>0{\displaystyle \rho >0}projC（×）{\displaystyle {\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)}C{\displaystyle C}×{\displaystyle x}

projC（×）＝1つのrグラムメートル私ny∈C‖y−×‖{\displaystyle {\rm {proj}}_{\bf {C}}(x)={\rm {argmin}}_{y\in C}\|yx\|}。

上記の式は両方とも、片側拘束の動的動作を表しています。一方では、法線距離がゼロより大きい場合、接触は開いており、物体間に接触力はありません。一方、法線距離がゼロの場合、接触は閉じており、結果として になります。 グラム北{\displaystyle g_{\rm {N}}}λ＝0{\displaystyle \lambda =0}グラム北{\displaystyle g_{\rm {N}}}λ≥0{\displaystyle \lambda \geq 0}

図2: a)片側接触、b)シニョリーニグラフ、c)連続体力学に基づくモデル

非平滑理論に基づく手法を実装する場合、速度シニョリーニ条件または加速度シニョリーニ条件が実際にはほとんどの場合に用いられる。速度シニョリーニ条件は次のように表される：[ 6 ] [ 10 ]

あなた北+≥0、λ≥0、あなた+λ＝0{\displaystyle U_{\rm {N}}^{+}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad U^{+}\lambda =0}、

ここで、衝突後の相対法線速度を表す。速度シニョリーニ条件は、前述の条件と併せて理解する必要がある。加速度シニョリーニ条件は、閉接触（）の下で次のように考えられる。 [ 8 ]あなた北+{\displaystyle U_{\rm {N}}^{+}}グラム≥0、λ≥0、λ⊥グラム{\displaystyle g\geq 0,\;\lambda \geq 0,\;\lambda \perp g}グラム＝0、あなた北+＝0{\displaystyle g=0,U_{\rm {N}}^{+}=0}

グラム¨≥0、λ≥0、グラム¨λ＝0{\displaystyle {\ddot {g}}\geq 0,\quad \lambda \geq 0,\quad {\ddot {g}}\lambda =0}、

ここで、上線は時間に関する2次微分を表します。

この手法を2つの剛体間の片側拘束に適用する場合、シニョリーニ条件だけでは衝突過程をモデル化するには不十分であるため、衝突前後の状態に関する情報を与える衝突法則[ 6 ]も必要となる。例えば、ニュートンの反発法則を用いる場合、反発係数は次のように定義される：ここで、 は衝突前の相対法線速度を表す。 e=−UN+/UN−{\displaystyle e=-{U_{\rm {N}}^{+}}/{U_{\rm {N}}^{-}}}UN−{\displaystyle U_{\rm {N}}^{-}}

摩擦的な一方的制約

摩擦による片側拘束の場合、法線接触力は上記のいずれかの方法でモデル化され、摩擦力は一般的にクーロンの摩擦法則によって記述されます。クーロンの摩擦法則は次のように表すことができます。接線速度がゼロでない場合、つまり2つの物体が滑っている場合、摩擦力は法線接触力に比例します。一方、接線速度 がゼロの場合、つまり2つの物体が比較的安定している場合、摩擦力は静摩擦力の最大値以下になります。この関係は、最大消散原理[ 6 ]を用いて次のよう に要約できます。UT{\displaystyle U_{\rm {T}}}λT{\displaystyle \lambda _{\rm {T}}}λ{\displaystyle \lambda }UT{\displaystyle U_{\rm {T}}}λT{\displaystyle \lambda _{\rm {T}}}

λT∈D(μλ)      ∀S∈D(μλ)      (S−λT)UT≥0,{\displaystyle \lambda _{\rm {T}}\in D(\mu \lambda )~~~~~~\forall S\in D(\mu \lambda )~~~~~~(S-\lambda _{\rm {T}})U_{\rm {T}}\geq 0,}

どこ

D(μλ)={∀x|−μλ≤‖x‖≤μλ}{\displaystyle D(\mu \lambda )=\{\forall x|-\mu \lambda \leq \|x\|\leq \mu \lambda \}}

は摩擦円錐を表し、動摩擦係数を表す。法線接触力と同様に、上記の定式化は近位点の概念を用いて次のように表現できる。[ 6 ]μ{\displaystyle \mu }

λT=projD(μλ)(λT−ρUT){\displaystyle \lambda _{\rm {T}}={\rm {proj}}_{D(\mu \lambda )}(\lambda _{T}-\rho U_{\rm {T}})}、

ここで は補助パラメータを表します。 ρ>0{\displaystyle \rho >0}

解決手法

片側拘束を連続体力学に基づく接触モデルでモデル化する場合、接触力は選択した接触モデルに依存する明示的な数式によって直接計算できます。一方、非平滑理論に基づく手法を用いる場合、シニョリーニ条件を解くための定式化には主に2つあります。非線形/線形相補性問題（N/LCP）定式化と拡張ラグランジュ定式化です。接触モデルの解法に関して言えば、非平滑法はより面倒ですが、計算コストは​​低くなります。接触モデルと非平滑理論を用いた解法のより詳細な比較は、Pazoukiらによって行われました[ 11 ] 。

N/LCP製剤

このアプローチに従うと、片側拘束のある動力学方程式の解は、N/LCP の解に変換されます。特に、摩擦のない片側拘束または平面摩擦のある片側拘束の場合、問題は LCP に変換され、摩擦のある片側拘束の場合は NCP に変換されます。LCP を解くには、 Lemek と Dantzig のアルゴリズムに由来するピボット アルゴリズムが最も一般的な方法です。[ 8 ]ただし残念ながら、数値実験では、最適な最適化を使用しても、多数の片側接触を持つシステムを処理するときにピボット アルゴリズムが失敗する可能性があることが示されています。[ 12 ] NCP の場合、多面体近似を使用して NCP を LCP のセットに変換することができ、それを LCP ソルバーで解くことができます。[ 13 ]これらの方法以外にも、NCP関数[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]や円錐相補性問題（CCP）に基づく方法[ 17 ] [ 18 ]などもNCPを解決するために用いられています。

拡張ラグランジアン定式化

N/LCP定式化とは異なり、拡張ラグランジュ定式化では前述の近似関数が用いられる 。この定式化は、動力学方程式と組み合わせることで、求根アルゴリズムによって解かれる。LCP定式化と拡張ラグランジュ定式化の比較研究は、Mashayekhiらによって行われた[ 9 ] 。λ=projR+(λ−ρg){\displaystyle \lambda ={\rm {proj}}_{\mathbb {R} ^{+}}(\lambda -\rho g)}

参照

参考文献

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さらに読む

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書籍と記事

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