単位（環理論）

代数学において、環の単位元あるいは可逆元^{[ a ]}は、環の乗法について可逆な元である。すなわち、環Rの元u が単位元であるとは、 Rにv が存在し、1 が乗法単位 元である場合である 。元vはこの性質について唯一であり、 uの乗法逆元と呼ばれる。^{[ 1 ] [ 2 ]} Rの単位元の集合は、乗法に関して群R ^×を形成し、これはRの単位元群あるいは単位群と呼ばれる。^{[ b ]} 単位群の他の表記法は、 R ^∗、U( R )、E( R )（ドイツ語のEinheitに由来）である。 $${\displaystyle vu=uv=1,}$$

あまり一般的ではありませんが、「単位」という用語は、環の元1を指すために、 「単位元を持つ環」や「単位環」、あるいは「単位行列」といった表現で使われることがあります。この曖昧さのため、1は環の「単位元」または「恒等元」と呼ばれることが多く、「単位元を持つ環」や「恒等元を持つ環」という表現は、環ではなく環について考えていることを強調するために使われることがあります。

例

乗法単位元1とその加法逆元−1は常に単位元です。より一般的には、環Rの任意の単位根は単位元です。つまり、 r ⁿ = 1であれば、r ^{n −1}はrの乗法逆元です。非零環では、元 0は単位元ではないため、R ^{× は}加法で閉じていません。すべての非零元が単位元である非零環R (つまり、R ^× = R ∖ {0} ) は、除算環(または歪体)と呼ばれます。可換除算環は体 と呼ばれます。たとえば、実数体Rの単位群はR ∖ {0}です。

整数環

整数環Zでは、単位は1と−1のみです。

nを法とする整数環Z / n Zにおいて、単位元はnと互いに素な整数で表される合同類(mod n )である。これらはnを法とする整数の乗法群を構成する。

数体の整数環

2乗整数√ 3 をZに付加して得られる環Z [ √ 3 ]では、(2 + √ 3 )(2 − √ 3 ) = 1となるので、2 + √ 3は単位元であり、その累乗も単位元であるため、Z [ √ 3 ]には無限個の単位元があります。

より一般的には、数体 F の整数環 R について、ディリクレの単位定理によれば、R ^{× は}群 と同型であり、 はRの単位根の（有限、巡回）群であり 、nは単位群の 階数であり、 は それぞれFの実埋め込みの数と複素埋め込みのペアの数です。 $${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n}\times \mu _{R}}$$ ${\displaystyle \mu_{R}}$ $${\displaystyle n=r_{1}+r_{2}-1,}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$

これはZ [ √ 3 ]の例を復元します。実二次体(の整数環)の単位群は階数1の無限群です。なぜなら です。 ${\displaystyle r_{1}=2,r_{2}=0}$

多項式とべき級数

可換環Rに対して、多項式環R [ x ]の単位元は、a ₀がRの単位元であり 、残りの係数が冪零である、すなわち、あるNに対して を満たすような多項式で ある。^{[ 4 ]} 特に、Rが定義域（またはより一般的には被約）である場合、 R [ x ]の単位元はRの単位元である。冪級数環の単位元は、 a ₀がRの単位元となる ような冪級数である 。^{[ 5 ]}$${\displaystyle p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}}$$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{i}^{N}=0}$ ${\displaystyle R[[x]]}$ $${\displaystyle p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}}$$

マトリックスリング

環R上のn × n行列の環M _n ( R )の単位群は、可逆行列の群GL _n ( R )である。可換環Rにおいて、 M _n ( R )の元Aが可逆であるための必要十分条件は、 Aの行列式がRにおいて可逆となることである。この場合、A ^{−1 は}随伴行列 を用いて明示的に与えられる。

一般的に

環Rの元xとyについて、が逆であれば、逆で逆である。^{[ 6 ]}この式は、非可換べき級数の環における次の計算によって推測することはできるが、証明はできない。 同様の結果については、 Huaの恒等式を 参照のこと。${\displaystyle 1-xy}$ ${\displaystyle 1-yx}$ ${\displaystyle 1+y(1-xy)^{-1}x}$ $${\displaystyle (1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y{\biggl (}\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}{\biggr )}x=1+y(1-xy)^{-1}x.}$$

ユニットのグループ

R ∖ R ^×が最大イデアルである場合、可換環は局所環である。

結局のところ、R ∖ R ^×がイデアルであれば、それは必然的に最大イデアルであり、最大イデアルはR ^×と互いに素であるため、Rは局所的です。

Rが有限体の場合、R ^{× は}位数| R | − 1の巡回群です。

任意の環準同型f  : R → S は群準同型R ^× → S ^×を誘導する。これはf が単位を単位に写すからである。実際、単位群の形成は環の圏から群の圏への関手を定義する。この関手は整群環構成という左随伴関数を持つ。^{[ 7 ]}

群スキームは任意の基底上の乗法群スキームと同型であるため、任意の可換環Rに対して、群および は標準的にU ( R )と同型です。 関手(つまり、R ↦ U ( R ) ) は、可換環Rに対して の意味で表現可能であることに注意してください(これは、たとえば、前述の群環構成との随伴関係から従います)。明示的には、これは環準同型の集合とRの単位元の集合の間に自然な一対一関係があることを意味します(対照的に、 は加法群、つまり可換環のカテゴリからアーベル群のカテゴリへの忘却関手を表します)。 ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} _{1}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}(R)\simeq \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} [t,t^{-1}],R)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t,t^{-1}]\to R}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [t]}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{a}}$

関連性

Rが可換であると仮定する。Rの元rとsは次のように呼ばれる。Rに単位u が存在してr = usとなるとき、 r ~ sと書く。任意の環において、加法逆元^{[ c ]} xと− xのペアは共存する。これは、任意の環が単位−1ある。例えば、 Zにおいて 6 と −6 は共存する。一般に、~R上の同値関係である。

関連性は、乗算を介したR ^×のRへの作用の観点からも説明できます。R の 2 つの要素は、同じR × 軌道内にある場合に関連付け^られます。

整域では、与えられた非ゼロ元の関連集合は、R ^×と同じ基数を持ちます。

同値関係~は、可換環Rの乗法半群に特化したグリーン半群関係のいずれかとして考えることができます。

参照

• Sユニット
• 環とモジュールの局所化

注記

1. 環の場合、「可逆元」の使用は、環のすべての元が加算に対して可逆であるため、自明に乗算を指すものとみなされます。
2. アンドレ・ヴェイユによって導入された記法R ^×は、単位群が頻繁に登場する整数論において広く用いられている^{。 [ 3 ]} 記号×は、群の演算が乗算であることを思い出させるものである。また、上付き文字 × は他の文脈ではあまり用いられないが、上付き文字*は双対を表すことが多い。
3. xと− x は必ずしも異なる値ではありません。例えば、6を法とする整数環では、 1 ≠ −1であっても3 = −3となります。

引用

1. ダミット＆フット 2004
2. ラング 2002
3. ワイル 1974
4. ワトキンス 2007、定理11.1
5. ワトキンス 2007、定理12.1
6. Jacobson 2009、§2.2 演習4
7. Cohn 2003、§2.2 演習10

出典

• コーン、ポール・M. (2003). Further Algebra and Applications (Revised ed. of Algebra, 2nd ed.). London: Springer-Verlag . ISBN 1-85233-667-6. Zbl  1006.00001 .
• ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004). 『抽象代数（第3版）』John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9。
• ジェイコブソン、ネイサン(2009). 『Basic Algebra 1』（第2版）. ドーバー. ISBN 978-0-486-47189-1。
• ラング、セルジュ（2002年）『代数学』、大学院数学テキスト、シュプリンガー、ISBN 0-387-95385-X。
• ワトキンス、ジョン・J.（2007）、可換環論のトピック、プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-12748-4、MR  2330411
• アンドレ・ヴェイユ(1974)。基本的な整数論。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 144（第3版）。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 978-3-540-58655-5。