単位格子

幾何学、生物学、鉱物学、固体物理学において、単位格子とは、格子点を結ぶベクトルによって形成される繰り返し単位である。^{[ 1 ]}単位格子は、その示唆的な名称にもかかわらず（例えば単位ベクトルとは異なり）、必ずしも単位サイズを持つわけではなく、特定のサイズを持つわけでもない。むしろ、原始格子は単位ベクトルに最も近い類推である。原始格子は与えられた格子に対して決まったサイズを持ち、より大きな格子を構成する基本的な構成要素であるからである。

この概念は、すべての次元において意味を持ちますが、特に2次元および3次元の結晶構造を記述する際に用いられます。格子は、その単位格子の形状によって特徴付けられます。単位格子とは、タイリング（平行四辺形または平行六面体）の一部であり、並進運動のみを用いてタイリング全体を生成します。

単位格子には、原始格子と従来格子という2つの特殊なケースがある。原始格子は単一の格子点に対応する単位格子であり、考え得る限り最小の単位格子である。^{[ 2 ]}原始格子からは結晶構造の完全な対称性が明らかでない場合があり、その場合には従来格子が使用される。従来格子（原始格子の場合もそうでない場合もある）は格子の完全な対称性を持つ単位格子であり、複数の格子点を含む場合がある。従来単位格子はn次元の平行四辺形である。

原始格子

原始格子とは、ちょうど1つの格子点を含む単位格子です。単位格子では、一般的に $n$ 個の格子点が共有する格子点は、⁠1/ $n$ ⁠これらのセルのそれぞれに含まれる格子点の数。例えば、8つの頂点にのみ格子点を持つ3次元の基本単位セルには、⁠が含まれているとみなされます1/8⁠それぞれの。^{[ 3 ]}別の概念化としては、 $n個の$ 格子点のうち1つだけを一貫して特定の単位セルに属するように選択すること（つまり、他の $n-1個$ の格子点は隣接する単位セルに属する）がある。

基本並進ベクトル $a \to 1$ 、 $a \to 2$ 、 $a \to 3$ は、特定の3次元格子の最小体積の格子セルに広がり、結晶並進ベクトルを定義するために使用される。

{\vec {T}}=u_{1}{\vec {a}}_{1}+u_{2}{\vec {a}}_{2}+u_{3}{\vec {a}}_{3},

ここで $u 1$ , $u 2$ , $u 3$ は整数であり、これによって格子は不変となる。^{[注 1 ]}つまり、格子 $r$ 内の点について、点の配置は $r' = r + T \to$ $から見てもr$ から見ても同じように見える。^{[ 4 ]}

プリミティブセルはプリミティブ軸（ベクトル） $a \to 1$ 、 $a \to 2$ 、 $a \to 3$ によって定義されるので、プリミティブセルの体積 $V p$ は上記の軸から平行六面体で次のように表される。

V_{\mathrm {p} }=\left|{\vec {a}}_{1}\cdot ({\vec {a}}_{2}\times {\vec {a}}_{3})\right|.

通常、2次元および3次元におけるプリミティブセルは、平行四辺形または平行六面体の形状をとるように選択され、セルの各角に原子が配置されます。このプリミティブセルの選択は一意ではありませんが、プリミティブセルの体積は常に上記の式で与えられます。^{[ 5 ]}

ウィグナー・ザイツ細胞

平行六面体のプリミティブセルに加えて、すべてのブラヴェ格子には、ウィグナー・ザイツセルと呼ばれる別の種類のプリミティブセルが存在します。ウィグナー・ザイツセルでは、格子点はセルの中心にあり、ほとんどのブラヴェ格子では、形状は平行四辺形や平行六面体ではありません。これはボロノイセルの一種です。運動量空間における逆格子のウィグナー・ザイツセルは、ブリルアンゾーンと呼ばれます

従来のセル

それぞれの格子に対して、結晶学者は計算の利便性に基づいて、ケースバイケースで従来のセルを選択してきました。^{[ 6 ]}これらの従来のセルは、単位格子の面または本体の中央に追加の格子点を持つ場合があります。格子点の数と従来のセルの体積は、原始セルの整数倍（1、2、3、または4）です。^{[ 7 ]}

二次元

任意の2次元格子において、単位格子は平行四辺形であり、特殊な場合には、直交角、等長、またはその両方を持つことがあります。5つの2次元ブラヴェ格子のうち4つは、以下に示すように、従来のプリミティブ格子を用いて表されます。

従来の原始細胞
図形名	平行四辺形	長方形	正方形	菱形
ブラヴェ格子	原始斜格子	原始長方形	原始正方形	原始六角形

中心長方形格子にも菱形の原始セルがありますが、対称性に基づいて簡単に区別できるように、2つの格子点を含む従来のセルで表されます

原始細胞
図形名	菱形
従来細胞
ブラヴェ格子	中心長方形

3次元

任意の3次元格子において、従来の単位格子は平行六面体であり、特殊な場合には直交角、等長、あるいはその両方を持つことがあります。14個の3次元ブラヴェ格子のうち7個は、以下に示すように、従来のプリミティブ格子を用いて表されます。

従来の原始細胞
図形名	平行六面体	斜直方体	直方体	正方形直方体	三角台形	立方体	直菱形柱
ブラヴェ格子	原始三斜晶系	原始単斜晶系	原始的斜方晶系	原始正方晶系	原始菱面体	プリミティブキュービック	原始的な六角形

他の 7 つのブラヴェ格子 (中心格子と呼ばれる) にも平行六面体の形状の基本セルがありますが、対称性に基づいて簡単に区別できるように、複数の格子点を含む従来のセルで表されます。

原始細胞
図形名	斜菱形プリズム	直菱形柱
従来細胞
ブラヴェ格子	塩基中心単斜晶系	底心斜方晶系	体心斜方晶系	面心斜方晶系	体心正方晶	体心立方	面心立方

参照

注記

^ $n$ 次元では、結晶並進ベクトルは
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{ただし }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
つまり、格子 $r内の点については、$ $r' = r + T \to$ からの点の配置は $r$ からの配置と同じになります。

参考文献

^アシュクロフト、ニール・W. (1976). 「第4章」.固体物理学. WBサンダース社. p. 72. ISBN 0-03-083993-9。
^サイモン、スティーブン (2013).オックスフォード固体物理学（第1版）. オックスフォード大学出版局. p. 114. ISBN 978-0-19-968076-4。
^ 「DoITPoMS – TLPライブラリ結晶学 – 単位格子」。オンライン材料科学学習リソース：DoITPoMS。ケンブリッジ大学。2015年2月21日閲覧
^ Kittel, Charles ( 2004年11月11日). Introduction to Solid State Physics (第8版). Wiley. p. 4. ISBN 978-0-471-41526-8。
^マイケル・J・メール；デビッド・ヒックス；コーマック・トーハー；オハッド・レヴィ；ロバート・M・ハンソン；ガス・ハート；ステファノ・クルタロロ（2017）「結晶学的プロトタイプのAFLOWライブラリ：パート1 」。計算材料科学。136 。エルゼビアBV ： S1– S828。arXiv：1806.07864。doi ： 10.1016 / j.commatsci.2017.01.017。ISSN 0927-0256。S2CID 119490841
^ Aroyo, MI編 (2016-12-31).国際結晶学表. チェスター, イギリス: 国際結晶学連合. p. 25. doi : 10.1107/97809553602060000114 . ISBN 978-0-470-97423-0。
^アシュクロフト、ニール・W. (1976).固体物理学. WBサンダース社. p. 73. ISBN 0-03-083993-9。

[first-4] $n$ 次元では、結晶並進ベクトルは
${\vec {T}}=\sum _{i=1}^{n}u_{i}{\vec {a}}_{i},\quad {\mbox{ただし }}u_{i}\in \mathbb {Z} \quad \forall i.$
つまり、格子 $r内の点については、$ $r' = r + T \to$ からの点の配置は $r$ からの配置と同じになります。

[1] アシュクロフト、ニール・W. (1976). 「第4章」.固体物理学. WBサンダース社. p. 72. ISBN 0-03-083993-9。

[2] サイモン、スティーブン (2013).オックスフォード固体物理学（第1版）. オックスフォード大学出版局. p. 114. ISBN 978-0-19-968076-4。

[doitpoms-3] 「DoITPoMS – TLPライブラリ結晶学 – 単位格子」。オンライン材料科学学習リソース：DoITPoMS。ケンブリッジ大学。2015年2月21日閲覧

[5] ^ Kittel, Charles ( 2004年11月11日). Introduction to Solid State Physics (第8版). Wiley. p. 4. ISBN 978-0-471-41526-8。

[6] マイケル・J・メール；デビッド・ヒックス；コーマック・トーハー；オハッド・レヴィ；ロバート・M・ハンソン；ガス・ハート；ステファノ・クルタロロ（2017）「結晶学的プロトタイプのAFLOWライブラリ：パート1 」。計算材料科学。136 。エルゼビアBV ： S1– S828。arXiv：1806.07864。doi ： 10.1016 / j.commatsci.2017.01.017。ISSN 0927-0256。S2CID 119490841

[7] Aroyo, MI編 (2016-12-31).国際結晶学表. チェスター, イギリス: 国際結晶学連合. p. 25. doi : 10.1107/97809553602060000114 . ISBN 978-0-470-97423-0。

[8] アシュクロフト、ニール・W. (1976).固体物理学. WBサンダース社. p. 73. ISBN 0-03-083993-9。

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