虚数単位

複素平面における虚数単位i : 実数は慣例的に水平軸に描かれ、虚数は垂直軸に描かれます。

虚数単位（通常iと表記）は、二次方程式x ² = −1の解となる数学定数であり、この方程式はいかなる実数でも解くことができません。虚数単位の任意の実数の倍数は虚数と呼ばれます。

加算と乗算を使用して実数と虚数単位を組み合わせると、複素数と呼ばれる新しい数値システムが生成されます。これは、実数aとbを持つa + bi形式のすべての数で構成されます。

−1には2つの複素平方根があります。虚数単位iとその加法逆数− iです。より一般的には、すべての複素数は、互いに加法逆数である2つの複素数値平方根を持ちます。ただし、ゼロは（二重）平方根としてゼロを持ちます。

歴史的には虚数単位は⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ で表記されていましたが、現在ではほとんど使用されていません。文字iの使用が曖昧であったり問題となるような文脈では、代わりに文字jが使用されることがあります。例えば、電気工学では、虚数単位は通常iではなくjで表記されます。これは、 i が電流を表すのによく使用されるためです。^{[ 1 ]}

用語

負の数の平方根は虚数と呼ばれる。これは、近世数学においては、物理的な測定や基本的な算術によって得られる、現在実数と呼ばれるものだけが数とみなされていたためである。負の数でさえも懐疑的に扱われていた。そのため、負の数の平方根は以前は定義されていない、あるいは無意味なものと考えられていた。虚数という名称は、一般的にルネ・デカルトに由来するとされ、アイザック・ニュートンは1670年には既にこの用語を使用していた。^{[ 2 ] [ 3 ]} i記法はレオンハルト・オイラーによって導入された。^{[ 4 ]}

ユニットは分割されていない全体であり、単位の単位数は数字の1 ( 1 ) です。

意味

iの累乗は循環的です。
${\displaystyle \\vdots}$
${\displaystyle \ i^{-4}={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ i^{-3}={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \i^{-2}=-1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ i^{-1}=-i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \\i^{0}\={\phantom{-}}1{\phantom{i}}}$
${\displaystyle \\i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \\i^{2}\=-1{\phantom{i}}}$
${\displaystyle \\i^{3}\=-i{\phantom{1}}}$
${\displaystyle \\i^{4}\={\phantom{-}}1{\phantom{i}}}$
${\displaystyle \\i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \\i^{6}\=-1{\phantom{i}}}$
${\displaystyle \\i^{7}\=-i{\phantom{1}}}$
${\displaystyle \\vdots}$

虚数単位iは、その平方が-1であるという性質によってのみ定義されます。 $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$

i をこのように定義すると、代数から直接、iと− iは両方とも −1 の平方根であることがわかります。

この構成は虚数と呼ばれ、虚数の概念は実数の概念よりも直感的に理解しにくいかもしれませんが、数学的な観点からは妥当です。実数の演算は、式を操作する際にi を未知数として扱うことで（そして定義を用いてi ²を−1に置き換えることで）、虚数や複素数にも拡張できます。i の高次の整数乗も同様に 、 1、i、−1、− i の4つの値を循環します。ゼロ以外の実数と同様に、i ⁰ = 1です。$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}}$$

複素数iは、実部がゼロで虚部が 1 である直交座標形式では0 + 1 iと表すことができます。極座標形式では、i は1 × e ^{πi /2}（または単にe ^{πi /2} ）と表すことができ、絶対値（または大きさ）は 1、偏角（または角度）はラジアンです。（この角度に2 πの任意の整数倍を加えても同様に機能します。）直交平面の特別な解釈である複素平面では、iは虚軸（実軸に垂直）に沿って原点から 1 単位離れた点です。 ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

i対− i

重根を持たない二次多項式であるx ² = −1 の定義方程式 には、 2つの異なる解が存在します。これらの解はどちらも等しく妥当であり、互いに加法逆数と乗法逆数です。2つの解は異なる数ですが、その性質は区別できません。つまり、一方にあって他方にない性質はありません。これらの2つの解のうち、一方は+ i（または単にi）と表記され、もう一方は− iと表記されますが、どちらがどちらであるかは本質的に曖昧です。

+ iと− iの唯一の違いは、このラベル付けから生じます。例えば、慣例により、+ i はの引数を持ち、− i はの引数を持つと言われます。これは、直交座標平面におけるx軸正方向の向きをラベル付けし、 y軸正方向の反時計回りを正の角度とする慣例に関係しています。また、 + iと− iには符号が付けられますが、実数のような意味では、本質的に正でも負でもありません。^{[ 5 ]}${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$

+ iと− iの区別不能性をより形式的に表現すると、複素体は（実数の拡大として）同型を除いて一意であるものの、一意な同型を除いて一意ではない、ということになります。つまり、各実数を固定する複素数の体自己同型は2つあり、それぞれ恒等体と複素共役です。この一般的な現象の詳細については、ガロア群 を参照してください。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$

行列

行列 と行列乗算の概念を用いることで、複素数は線形代数で表現できる。実数単位1と虚数単位iは、 I ² = I、IJ = JI = J、J ² = − Iを満たす任意の行列IとJのペアで表現できる。この場合、複素数a + biは行列aI + bJで表現でき、複素数演算の一般的な規則はすべて行列演算の規則から導出できる。

最も一般的な選択は、1とiを2×2の単位行列Iと行列Jで表すことである。

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

任意の複素数a + biは次のように表すことができます。

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

より一般的には、トレースが0で行列式が1である任意の実数値2×2行列は−Iに平方するので、J に選択することができます。より大きな行列も使用できます。例えば、1は4×4の単位行列で表すことができ、 iは空間次元の任意のディラック行列で表すことができます。

x ² + 1の根

多項式（変数のべき乗の重み付き和）は代数学における基本的なツールです。係数が実数である多項式は環を形成します。環は加算と乗算を含む代数構造で、整数環と多くの性質を共有します。 ${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$

多項式 には実数根がありませんが、 で割り切れるすべての実係数多項式の集合はイデアルを形成するため、商環 が存在します。この商環は複素数 と同型であり、変数 は虚数単位を表します。 ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle x^{2}+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$ ${\displaystyle x}$

グラフィック表現

複素数は、複素平面と呼ばれる直交座標平面において、実数直線を水平軸、虚数を垂直軸として描くことでグラフ的に表すことができます。この表現では、1とiは0から等距離にあり、両者の間には直角が存在します。複素数の加算は平面内での移動に対応し、単位大きさの複素数の乗算は原点を中心とした回転に対応します。平面上の相似変換はすべて、複素線形関数で表すことができます。${\displaystyle z\mapsto az+b.}$

幾何代​​数

ユークリッド平面の幾何学代数において、任意の2つのベクトルの幾何学的積または商は、スカラー（実数）部分とバイベクトル部分の和です。（スカラーは方向性のない量、ベクトルは直線のように方向性のある量、バイベクトルは平面のように方向性のある量です。）任意のベクトルの2乗は正のスカラーであり、ベクトルの長さの2乗を表します。一方、任意のバイベクトルの2乗は負のスカラーです。

ベクトルとそれ自身の商はスカラー1 = u / uであり、任意のベクトルを掛けても変化しません（恒等変換）。同じ大きさの任意の2つの垂直ベクトルの商J = u / vは、これを掛けると除数を4分の1回転させて被除数Jv = uになり、これは単位二乗ベクトルで、平方すると−1になるため、虚数単位の代表として考えることができます。スカラーと二乗ベクトルの任意の和にベクトルを掛けて拡大縮小および回転させることができ、このような和の代数は複素数の代数と同型です。この解釈では、点、ベクトル、およびスカラーと二乗ベクトルの和はすべて異なる種類の幾何学的オブジェクトです。^{[ 6 ]}

より一般的には、任意の高次元ユークリッド空間の幾何学的代数において、任意の平面方向の単位二乗ベクトルは−1の平方になるので、虚数単位iを表すと見なすことができます。

適切な使用

虚数単位は歴史的に記されており、現代の著作でも依然として用いられている。しかし、根号を含む式を扱う際には細心の注意が必要である。根号表記は、正の実数の主（正）平方根、または複素数の主平方根にのみ用いられる。正の実数の平方根の計算規則を複素数の平方根に適用しようとすると、誤った結果が生じる可能性がある。^{[ 7 ]}${\textstyle {\sqrt {-1}},}$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ $${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {誤謬} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(誤り).}}}$$

一般的に、計算規則 と xとyが両方とも正の実数である 場合にのみ有効であることが保証されている。 ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}$ ${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}={\sqrt {x/y}}}$

xまたはyが実数だが負の場合、ではなく のような式を記述して操作することで、これらの問題を回避できます。より詳しい説明については、 「平方根」および「分岐点」の記事を参照してください。 ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$ ${\textstyle {\sqrt {-7}}}$

プロパティ

複素数であるため、虚数単位は複素演算のすべての規則に従います。

虚数整数と虚数

虚数単位を繰り返し加算または減算すると、その結果は虚数単位の整数倍、つまり虚数整数になります。このような数値を加算すると、結果も虚数整数になります。

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

したがって、虚数単位は加法による群、具体的には無限巡回群の生成元です。

虚数単位は任意の実数と掛け合わせることで虚数を形成することもできます。これらの数は数直線、すなわち虚軸上に描くことができます。虚軸は複素平面の一部であり、通常は水平に描かれる実軸に対して垂直に垂直に描かれます。

ガウス整数

実数単位1と虚数単位iの整数和は、複素平面上で正方格子を形成し、ガウス整数と呼ばれます。ガウス整数の和、差、積もまたガウス整数です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

1/4回転

複素平面上の任意の複素数は、虚数単位iを乗じると反時計回りに 1/4 回転（ラジアン${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$ または90°）します。- iを乗じると時計回りに 1/4 回転します。極座標形式では、 次のようになります。

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

長方形の場合、

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

整数乗

iの累乗は、次のパターンで表現できる循環で繰り返されます。ここで、nは任意の整数です。

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

したがって、乗算の下では、i は、乗算の下での単位複素数の 連続円群の離散部分群である、位数 4 の巡回群の生成元です。

整数nに対するオイラーの公式の特別な場合として書かれる。

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

分岐カットと主値を慎重に選択すると、この最後の式は、 n = iのような場合も含め、nの任意の複素数値にも適用できます。

ルーツ

複素平面におけるiの2つの平方根

他の非零複素数と同様に、は2つの異なる平方根を持ち、それらは加法逆数である。極形式では、 ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

長方形の場合、^{[ a ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

どちらの式も二乗すると $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

複素平面におけるiの3つの立方根

iの3つの立方根は^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

一般的な正の整数nに対して、iのn乗根は、k = 0, 1, ..., n − 1 に対して、k = 0 に対応する値はiのn乗根である。根の集合は、 iのn乗根を回転した単位根の集合に等しい。これらは、複素単位円に内接する正多角形の頂点である。 $${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$

指数関数と対数関数

複素指数関数は、定義域における複素加算と余弦定理における複素乗算を関連付ける。定義域の実数値は余弦定理におけるスケーリング（実スカラーによる乗算）を表し、1はeによる乗算を表す。一方、定義域の虚数値は余弦定理における回転（単位複素数による乗算）を表し、iは1ラジアンの回転を表す。したがって、複素指数関数は虚数方向の周期関数であり、周期は2 πiで、虚数整数格子の実数倍で あるすべての整数kに対して、点2 kπiに像1が現れる。

複素指数は、偶数成分と奇数成分、双曲線関数のcoshとsinh、または三角関数のcosとsinに分解できます。

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

オイラーの公式は回転を表す虚数の指数を分解します。

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

この事実は、とりわけ、実数であるという一見直感に反する結果を証明するために使用することができます。^{[ 13 ]}${\displaystyle i^{i}}$

商coth z = cosh z / sinh zは、適切なスケーリングにより、虚数整数に変換された逆関数の和として無限部分分数分解として表すことができる。 ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

複素指数関数に基づく他の関数は、虚数入力に対して明確に定義されています。例えば、ある数のni乗は次のようになります。 $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

指数関数は周期的であるため、その逆関数である複素対数は多価関数であり、定義域内の各複素数は共役領域内の複数の値に対応し、各値は2 πiの任意の整数倍で分離される。単価関数を得るための 1 つの方法は、共役領域を円筒形として扱い、 2 πiの任意の整数倍で分離された複素値を同じ値として扱うことである。別の方法としては、定義域を、負の実軸に沿って複素平面の複数のコピーを分岐切断として縫い合わせたリーマン面と見なし、定義域内の各分岐が共役領域内の 1 つの無限ストリップに対応するようにする方法がある。^{[ 15 ]}したがって、複素対数に依存する関数は、明確に定義および評価するために分岐を注意深く選択することに依存する。

例えば、xが正の実数である とき、${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$ $${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

階乗

虚数単位iの階乗は、 1 + iで評価されたガンマ関数で与えられることが多い。^{[ 16 ]}

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

この数の大きさと引数は以下のとおりです。^{[ 17 ]}

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$

参照

• 双曲単位
• 四元数の右ベルサー

注記

1. このような数を見つけるには、方程式( x + iy ) ² = iを解くことができます。ここで、 xとyは決定すべき実数パラメータ、または同等のx ² + 2 ixy − y ² = i です。実部と虚部は常に分離されているため、項をまとめ直すと、 x ² − y ² + 2 ixy = 0 + iになります。係数を等しくし、実部と虚部を分離すると、2つの方程式のシステムが得られます。 最初の方程式に 代入すると、次のようになります。 x は実数であるため、この方程式にはxと の。これらの結果のいずれかを方程式2 xy = 1に代入すると、の対応する結果が得られます。したがって、 iの平方根は数と。 ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-y^{2}&=0\\[3mu]2xy&=1.\end{aligned}}}$$ ${\textstyle y={\tfrac {1}{2}}x^{-1}}$ ${\textstyle x^{2}-{\tfrac {1}{4}}x^{-2}=0}$ ${\textstyle \implies 4x^{4}=1.}$ $${\displaystyle x={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$$ ${\displaystyle x=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$ ${\displaystyle -{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i}$

参考文献

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さらに読む

• ナヒン、ポール・J. (1998). 『想像の物語： i [マイナス1の平方根]の物語』チチェスター：プリンストン大学出版局. ISBN 0-691-02795-1– Archive.orgより。

外部リンク

• オイラー、レオンハルト. 「多項式の虚根」 . 2019年12月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年11月29日閲覧。「Convergence」にて。mathdl.maa.org 。アメリカ数学会。2007年7月13日時点のオリジナルよりアーカイブ。