Heaviside step function

Heaviside step
The Heaviside step function, using the half-maximum convention
General information
General definition	$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
Fields of application	Operational calculus

The Heaviside step function, or the unit step function, usually denoted by H or θ (but sometimes u, 1 or 𝟙), is a step function named after Oliver Heaviside, the value of which is zero for negative arguments and one for positive arguments. Different conventions concerning the value H(0) are in use. It is an example of the general class of step functions, all of which can be represented as linear combinations of translations of this one.

The function was originally developed in operational calculus for the solution of differential equations, where it represents a signal that switches on at a specified time and stays switched on indefinitely. Heaviside developed the operational calculus as a tool in the analysis of telegraphic communications and represented the function as 1.

Formulation

Taking the convention that H(0) = 1, the Heaviside function may be defined as:

• A piecewise function: $${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• Using the Iverson bracket notation: $${\displaystyle H(x):=[x\geq 0]}$$
• An indicator function: $${\displaystyle H(x):=\mathbf {1} _{x\geq 0}=\mathbf {1} _{\mathbb {R} _{+}}(x)}$$

For the alternative convention that H(0) = ⁠1/2⁠, it may be expressed as:

• A piecewise function: $${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\{\frac {1}{2}},&x=0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• A linear transformation of the sign function: $${\displaystyle H(x):={\frac {1}{2}}\left({\mbox{sgn}}\,x+1\right)}$$
• The arithmetic mean of two Iverson brackets: $${\displaystyle H(x):={\frac {[x\geq 0]+[x>0]}{2}}}$$
• A one-sided limit of the two-argument arctangent: $${\displaystyle H(x)=:\lim _{\epsilon \to 0^{+}}{\frac {{\mbox{atan2}}(\epsilon ,-x)}{\pi }}}$$
• 超関数:または同等:ここで、log zはzの複素対数の主値です。$${\displaystyle H(x)=:\left(1-{\frac {1}{2\pi i}}\log z,\ -{\frac {1}{2\pi i}}\log z\right)}$$ $${\displaystyle H(x)=:\left(-{\frac {\log -z}{2\pi i}},-{\frac {\log -z}{2\pi i}}\right),}$$

H (0)で定義されていない他の定義には以下が含まれる。

• 区分関数:$${\displaystyle H(x):={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x<0\end{cases}}}$$
• ランプ関数の微分：$${\displaystyle H(x):={\frac {d}{dx}}\max\{x,0\}\quad {\mbox{for }}x\neq 0}$$
• 絶対値関数で表現すると次のようになります。$${\displaystyle H(x)={\frac {x+|x|}{2x}}}$$

ディラックデルタとの関係

ディラックのデルタ関数はヘヴィサイド関数の弱微分である。したがって、ヘヴィサイド関数はディラックのデルタ関数の積分とみなすことができる。これは次のように書かれることもある。ただし、この展開はx = 0の場合には成立しない（あるいは意味をなさない）可能性がある。これは、 δを含む積分に意味を与えるために用いる形式論に依存する。この文脈において、ヘヴィサイド関数はほぼ確実に0となる確率変数の累積分布関数である。（定数確率変数を参照。） $${\displaystyle \delta (x)={\frac {d}{dx}}\ H(x),}$$ $${\displaystyle H(x):=\int _{-\infty }^{x}\delta (s)\,ds,}$$

解析的近似

ヘヴィサイドのステップ関数の近似は生化学や神経科学で役立っており、ステップ関数のロジスティック近似 (ヒル方程式やミカエリス-メンテン方程式など) を使用して、化学信号に応答するバイナリ細胞スイッチを近似することができます。

ステップ関数を滑らかに近似するには、ロジスティック関数を使用できます。ここで、 k が大きいほど、x = 0での遷移が急峻になります。 $${\displaystyle H(x)\approx {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh kx={\frac {1}{1+e^{-2kx}}},}$$

H (0) = ⁠1/2⁠、次の極限において等式が成り立ちます。$${\displaystyle H(x)=\lim _{k\to \infty }{\tfrac {1}{2}}(1+\tanh kx)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{1+e^{-2kx}}}.}$$

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\tanh(kx)={\frac {1}{1+e^{-2kx}}}}$ k → ∞としてステップ関数に近づきます。

ステップ関数には、他にも多くの滑らかな解析的近似が存在する。 ^{[ 1 ]}可能性のあるものとしては、以下のものがある。これらの極限は、点収束と分布収束の意味で成立する。しかし、一般に、点収束は必ずしも分布収束を意味するわけではなく、その逆もまた同様である。（ただし、点収束する関数列のすべての要素が、ある「適切な」関数によって一様に束縛されている場合、収束は分布の意味でも成立する。） $${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{\pi }}\arctan kx\right)\\H(x)&=\lim _{k\to \infty }\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2}}\operatorname {erf} kx\right)\end{aligned}}}$$

スケーリングされシフトされたシグモイド関数を使用することもできます。

一般に、ゼロ付近でピークを持ち、分散を制御するパラメータを持つ連続確率分布の累積分布関数は、分散がゼロに近づく極限において近似として機能します。例えば、上記の3つの近似はすべて、一般的な確率分布、すなわちそれぞれロジスティック分布、コーシー分布、正規分布の累積分布関数です。

非解析的近似

ヘヴィサイドステップ関数の近似は、次のような滑らかな遷移関数を通じて行うことができます。${\displaystyle 1\leq m\to \infty }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}{\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1+\tanh \left(m{\frac {2x}{1-x^{2}}}\right)\right)},&|x|<1\\\\1,&x\geq 1\\0,&x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$$

積分表現

多くの場合、ヘヴィサイドのステップ関数の積分表現は有用です。ステップ関数が実数であり、したがってそれ自身の複素共役である場合、2 番目の表現は最初の表現から簡単に推測できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H(x)&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau +i\varepsilon }}e^{-ix\tau }d\tau \\&=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\ {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\tau -i\varepsilon }}e^{ix\tau }d\tau ,\end{aligned}}}$$

議論ゼロ

Hは通常積分に用いられ、関数の単一点における値は積分値に影響を与えないため、 H (0)のどの値を選択するかはさほど重要ではありません。実際、HをL∞ （ L ^p空間を参照）の超関数または元として考える場合^、そのような対象はほとんどどこでも定義されているため、ゼロにおける値について話すことさえ意味がありません。何らかの解析的近似を使用する場合（上記の例のように）、ゼロにおける関連する極限が使用されることがよくあります。

特定の値を選択する理由はさまざまです。

• H (0) = ⁠1/2⁠ は、グラフが回転対称性を持つためよく使用されます。言い換えると、 H − ⁠1/2⁠は奇関数です。この場合、すべてのxに対して、符号関数との次の関係が成り立ちます。また、 です。$${\displaystyle H(x)={\tfrac {1}{2}}(1+\operatorname {sgn} x).}$$ ${\displaystyle \forall x,\ H(x)+H(-x)=1}$

• H (0) = 1は、 H が右連続 である必要がある場合に用いられます。例えば、累積分布関数は通常右連続であるとされ、ルベーグ・スティルチェス積分において に対して積分される関数も同様です。この場合、 Hは閉半無限区間の指示関数です対応する確率分布は退化した分布です。$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{[0,\infty )}(x).}$$

• H (0) = 0 は、H が左連続である必要がある場合に用いられます。この場合、 Hは半無限開区間の指示関数です$${\displaystyle H(x)=\mathbf {1} _{(0,\infty )}(x).}$$
• 最適化やゲーム理論における関数解析の文脈では、極限関数の連続性を保ち、特定の解の存在を保証するために、ヘヴィサイド関数を集合値関数として定義することがしばしば有用である。このような場合、ヘヴィサイド関数は可能な解の区間全体、H (0) = [0,1]を返す。

離散形式

単位ステップの別の形式は、関数（つまり離散変数nを取り込む関数）として定義され、次のように表されます。または、半最大値法を用いると、次のようになります。^{[ 2 ]}ここでnは整数です。nが整数の場合、n < 0はn ≤ −1を意味し、n > 0は関数がn = 1で1に達することを意味します。したがって、「ステップ関数」は[−1, 1]の領域でランプ状の挙動を示し、半最大値法を用いると真にステップ関数であるとは言えません。 ${\displaystyle H:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\1,&n\geq 0,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle H[n]={\begin{cases}0,&n<0,\\{\tfrac {1}{2}},&n=0,\\1,&n>0,\end{cases}}}$$

連続の場合とは異なり、 H [0]の定義は重要です。

離散時間単位インパルスは、離散時間ステップの最初の差分です。この関数は、クロネッカーのデルタの累積和です。ここで、は離散単位インパルス関数です。 $${\displaystyle \delta [n]=H[n]-H[n-1].}$$ $${\displaystyle H[n]=\sum _{k=-\infty }^{n}\delta [k],}$$ ${\textstyle \delta [k]=\delta _{k,0}}$

反微分と微分

ランプ関数はヘヴィサイドステップ関数の不等式である。ヘヴィサイドステップ関数の分布微分はディラックのデルタ関数である。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{x}H(\xi )\,d\xi =xH(x)=\max\{0,x\}\,.}$$ $${\displaystyle {\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)\,.}$$

フーリエ変換

ヘヴィサイドのステップ関数のフーリエ変換は分布である。フーリエ変換の定義に定数を1つ選択すると、以下の式が得られる 。ここでpv ⁠$${\displaystyle {\hat {H}}(s)=\lim _{N\to \infty }\int _{-N}^{N}e^{-2\pi ixs}H(x)\,dx={\frac {1}{2}}\left(\delta (s)-{\frac {i}{\pi }}\operatorname {p.v.} {\frac {1}{s}}\right).}$$ 1/s⁠は、検定関数φを のコーシー主値とする分布である。積分中に現れる極限は、（緩和）分布の意味でも同様にとられる。 ${\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varphi (s)}{s}}\,ds}$

片側ラプラス変換

ヘヴィサイド階段関数のラプラス変換は有理型関数です。片側ラプラス変換を用いると、次の式が得られます。両側変換を用いると、積分を2つの部分に分割することができ、結果は同じになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}(s)&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}H(x)\,dx\\&=\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{N}e^{-sx}\,dx\\&={\frac {1}{s}}\end{aligned}}}$$

参照

• ガンマ関数
• ディラックのデルタ関数
• インジケーター機能
• アイバーソンブラケット
• ラプラス変換
• 指標のラプラシアン
• 数学関数のリスト
• マコーレー括弧
• 負の数
• 長方形関数
• 符号関数
• 正弦積分
• ステップ応答

参考文献

1. Weisstein, Eric W. 「ヘヴィサイドステップ関数」。MathWorld 。
2. ブレイスウェル、ロナルド・ニューボルド (2000).フーリエ変換とその応用（第3版）. ニューヨーク: マグロウヒル. p. 61. ISBN 0-07-303938-1。

外部リンク

• 数学関数のデジタルライブラリ、NIST、[1]。
• ベルク、エルンスト・ジュリアス (1936). 「単位関数」.ヘヴィサイドの演算法、工学と物理学への応用.マグロウヒル・エデュケーション. 5ページ.
• カルバート、ジェームズ・B. (2002). 「ヘヴィサイド、ラプラス、そして反転積分」デンバー大学.
• デイヴィス、ブライアン (2002). 「ヘヴィサイドのステップ関数」.積分変換とその応用（第3版）. シュプリンガー. p. 28.
• ダフ、ジョージ・FD；ネイラー、D.（1966）「ヘヴィサイド単位関数」応用数学の微分方程式、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p.42。