異常な数字

キュイゼネール棒を用いて、10という数字が珍しい数字であること、その最大の素因数が5であり、√10 ≈ 3.16より大きいことを実証する。

数論において、異常数とは、最大の素因数が よりも確実に大きい自然数 nのことです。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

k滑らかな数はその素因数がすべてk以下であるため、異常な数は非滑らかです。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

素数との関係

すべての素数は珍しい数です。任意の素数pについて、 p ²未満の倍数、つまりp , ... ( p − 1) pは珍しい数であり、区間 ( p , p ² ) において密度 1/ pを持ちます。

例

最初のいくつかの異常な数字は

2、3、5、6、7、10、11、13、14、15、17、19、20、21、22、23、26、28、29、31、33、34、35、37、38、39、41、42、43、44、46、47、51、52、53、55、57、58、59、61、62、65、66、67、...（OEISのシーケンスA064052）

最初のいくつかの非素数（合成数）の異常数は

6、10、14、15、20、21、22、26、28、33、34、35、38、39、42、44、46、51、52、55、57、58、62、65、66、68、69、74、76、77、78、82、85、86、87、88、91、92、93、94、95、99、102、...（OEISのシーケンスA063763）

分布

n以下の異常数の個数をu ( n )とすると、 u ( n )は次のように動作します。

n	u ( n )	u ( n ) / n
10	6	0.6
100	67	0.67
1000	715	0.72
10000	7319	0.73
100000	73322	0.73
100万	731660	0.73
10000000	7280266	0.73
100000000	72467077	0.72
1000000000	721578596	0.72

リチャード・シュロッペルはHAKMEM（1972）第29項^[1]において、ランダムに選ばれた数が異常である漸近確率はln(2)であると述べています。言い換えると、

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty}{\frac {u(n)}{n}}=\ln(2)=0.693147\dots \,.}$

参考文献

1. Schroeppel, Richard (1995年4月) [1972年2月29日]. Baker, Henry Givens Jr. (編). "ITEM 29". HAKMEM (再入力・変換版). Cambridge, Massachusetts, USA: Artificial Intelligence Laboratory , Massachusetts Institute of Technology (MIT). AI Memo 239 Item 29. 2024年2月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年6月16日閲覧。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「大まかな数」。MathWorld。