ミンコフスキー・ブーリガン次元

フラクタル幾何学において、ミンコフスキー・ブーリガン次元（ミンコフスキー次元、ボックスカウンティング次元とも呼ばれる）は、ユークリッド空間、あるいはより一般的には計量空間における有界集合のフラクタル次元を決定する方法である。ポーランドの数学者ヘルマン・ミンコフスキーとフランスの数学者ジョルジュ・ブーリガンにちなんで名付けられた。 ${\textstyle S}$ ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle (X,d)}$

フラクタルのこの次元を計算するには、このフラクタルが等間隔のグリッド上に配置されていると想像し、その集合を覆うのに必要なボックスの数を数えます。ボックスカウント次元は、ボックスカウントアルゴリズムを適用してグリッドを細かくしていくと、この数がどのように変化するかを見ることで計算されます。 ${\textstyle S}$

集合を覆うのに必要な辺の長さの箱の数をとすると、箱の数を数える次元は次のように定義されます。 ${\textstyle N(\varepsilon)}$ ${\textstyle \varepsilon}$

$\dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}=-\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(\varepsilon )}}.$

大まかに言えば、次元はとなる指数であり、これはが整数次元の滑らかな空間（多様体）である場合の自明なケースで予想されるとおりです。 ${\textstyle d}$ ${\textstyle N(\varepsilon )\approx C\varepsilon ^{-d}}$ ${\textstyle S}$ ${\textstyle d}$

上記の極限が存在しない場合でも、上方極限と下方極限を採用することができます。これらはそれぞれ上方ボックス次元と下方ボックス次元を定義します。上方ボックス次元は、エントロピー次元、コルモゴロフ次元、コルモゴロフ容量、極限容量、または上方ミンコフスキー次元と呼ばれることもあります。一方、下方ボックス次元は下方ミンコフスキー次元とも呼ばれます。

上側と下側のボックス次元は、より一般的なハウスドルフ次元と密接に関連しています。非常に特殊な用途においてのみ、これら3つを区別することが重要です（下記参照）。フラクタル次元のもう一つの尺度は相関次元です。

代替定義

箱の寸法は、被覆数またはパッキング数のいずれかを使用して、ボールを使用して定義できます。被覆数は、フラクタルを覆うために必要な、つまり、それらの和集合にフラクタルが含まれるような、半径の開いたボールの最小数です。また、同じ方法で定義される固有被覆数も考えられますが、開いたボールの中心が集合Sにあるという追加要件があります。パッキング数は、中心がフラクタル内に位置するように配置できる、半径の互いに素な開いたボールの最大数です。、、およびは完全に同一ではありませんが、互いに密接に関連しており、ボックスの上部と下部の寸法の同一の定義を生み出します。これは、次の不等式が証明されれば簡単に示せます。 ${\textstyle N_{\text{被覆}}(\varepsilon)}$ ${\textstyle \varepsilon}$ ${\textstyle N'_{\text{被覆}}(\varepsilon)}$ ${\textstyle N_{\text{パッキング}}(\varepsilon)}$ ${\textstyle \varepsilon}$ ${\textstyle N}$ ${\textstyle N_{\text{被覆}}}$ ${\textstyle N'_{\text{被覆}}}$ ${\textstyle N_{\text{パッキング}}}$

$N_{\text{パッキング}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{被覆}}(\varepsilon )\leq N_{\text{被覆}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{被覆}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{パッキング}}(\varepsilon /4).$

これらは、定義によって、または三角不等式からほとんど努力なしに得られます。

正方形ではなく球体を使用する利点は、この定義が任意の距離空間に一般化できることです。言い換えると、箱の定義は外在的です。つまり、フラクタル空間Sはユークリッド空間に含まれると仮定し、その包含空間の外部幾何学に従って箱を定義します。しかし、 Sの次元はSが配置される環境から独立して内在的であるべきであり、球体の定義は内在的に定式化できます。内部球体を、選択した中心から一定の距離内にあるSのすべての点として定義し、そのような球体を数えて次元を取得します。(より正確には、N_被覆定義は外在的ですが、他の 2 つは内在的です。)

ボックスを使用する利点は、多くの場合、N ( ε )を簡単に明示的に計算できることと、ボックスの場合、被覆数とパッキング数(同等の方法で定義)が等しいことです。

パッキング数と被覆数の対数は、エントロピー数と呼ばれることもあり、熱力学的エントロピーや情報理論的エントロピーの概念に多少似ています。これは、メトリック空間またはフラクタル内のスケールεでの「無秩序」の量を測定するとともに、空間の点を精度εで指定するために必要なビット数または桁数を測定するという点です。

ボックスカウント次元の別の同等の（外部）定義は次の式で与えられる。

$\dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{体積}}(S_{r})}{\log r}},$

ここで、各r > 0 に対して、集合はSのr近傍、つまりSからr未満の距離にある内のすべての点の集合として定義されます(または同等に、Sの要素である中心を持つ半径rのすべての開球の和集合です)。 ${\textstyle S_{r}}$ ${\textstyle R^{n}}$ ${\textstyle S_{r}}$

性質

上箱次元は有限安定である。つまり、{ A ₁ , ..., An }_が有限集合である場合、

$\dim _{\text{upper box}}(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim _{\text{upper box}}(A_{1}),\dots ,\dim _{\text{upper box}}(A_{n})\}.$

しかし、これは可算安定ではありません。つまり、この等式は無限集合列には成り立ちません。例えば、単一の点のボックス次元は0ですが、区間[0, 1]内の有理数の集合のボックス次元は1です。これと比較すると、ハウスドルフ次元は可算安定です。一方、下側のボックス次元は有限安定ですらありません。

上側のボックス次元には、下側のボックス次元やハウスドルフ次元にはない興味深い性質があります。それは、集合の加法との関連性です。AとBがユークリッド空間上の2つの集合であるとすると、A + Bは、 Aに属する点aとBに属する点bの組をすべて取り、 a + bを加算することで形成されます。

$\dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).$

ハウスドルフ次元との関係

ボックスカウンティング次元は、フラクタルに適用できる次元の定義の一つです。多くの良好なフラクタルでは、これらの次元はすべて等しく、特にフラクタルが開集合条件（OSC）を満たす場合は常にこれらの次元が一致します。^{[ 1 ]}例えば、カントール集合のハウスドルフ次元、下ボックス次元、上ボックス次元はすべてlog(2)/log(3)に等しくなります。しかし、これらの定義は等価ではありません。

箱の次元とハウスドルフ次元は不等式で関係している。

$\dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{lower box}}\leq \dim _{\text{upper box}}.$

一般に、どちらの不等式も厳密である可能性がある。フラクタルが異なるスケールで異なる挙動を示す場合、上側のボックスの次元は下側のボックスの次元よりも大きくなる可能性がある。例えば、次の条件を満たす区間[0, 1]内の数値の集合を調べる。

任意のnに対して、2 ^{2 n}番目の桁と(2 ^{2 n +1} − 1)番目の桁の間のすべての桁はゼロです。

「奇数位間隔」、すなわち2 ^{2 n +1}と2 ^{2 n +2 − 1 の間の桁には制限がなく、任意の値を取ることができます。このフラクタルは、上側のボックスの次元が2/3、下側のボックスの次元が1/3です。これは、}N ( ε )を計算し、 nが偶数の場合と奇数の場合で値が異なる挙動を示すことを観察することで簡単に確認できます。 $\varepsilon =10^{-2^{n}}$

もう一つの例: 有理数全体の集合はを持つ可算集合であり、その閉包は次元1を持つためを持つ。実際、 ${\textstyle \mathbb {Q} }$ ${\textstyle \dim _{\text{Haus}}=0}$ ${\textstyle \dim _{\text{box}}=1}$ ${\textstyle \mathbb {R} }$

$\dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.$

これらの例は、可算セットを追加するとボックスの次元が変わる可能性があることを示しており、この次元の一種の不安定性を示しています。

参照

参考文献

^ Wagon, Stan (2010). Mathematica in Action: Problem Solving Through Visualization and Computation . Springer-Verlag . p. 214. ISBN 978-0-387-75477-2。

ファルコナー、ケネス(1990). 『フラクタル幾何学：数学的基礎と応用』チチェスター: ジョン・ワイリー. 38～47ページ. ISBN 0-471-92287-0. Zbl 0689.28003 .
ワイスタイン、エリック・W. 「ミンコフスキー＝ブーリガン次元」 . MathWorld

外部リンク

FrakOut!：ボックスカウント法を用いて図形のフラクタル次元を計算するOSSアプリケーション（ボックスを自動的に配置するものではありません）。
FracLac: オンラインユーザーガイドとソフトウェアImageJ および FracLac ボックスカウントプラグイン。生物学におけるデジタル画像解析用の無料のユーザーフレンドリーなオープンソースソフトウェア

[Wagon214-1] Wagon, Stan (2010). Mathematica in Action: Problem Solving Through Visualization and Computation . Springer-Verlag . p. 214. ISBN 978-0-387-75477-2。

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