上位トポロジー

数学において、半順序集合X上の上位相は、単体の閉包が各 の 順序セクションとなる最も粗い位相である。 が半順序である場合、上位相は、すべての開集合がアップセットとなる最小の順序一貫性位相である。しかし、すべてのアップセットが必ずしも開集合である必要はない。事前順序によって誘導される下位相は、ダウンセットに関して同様に定義される。上位相を誘導する事前順序はその特殊化事前順序であるが、下位相の特殊化事前順序は誘導する事前順序と逆である。 ${\displaystyle \{a\}}$ ${\displaystyle a]=\{x\leq a\}}$ ${\displaystyle a\in X.}$ ${\displaystyle \leq }$

実上位相は、開集合系によって上拡張実直線上 で最も自然に定義される。同様に、実下位相は下拡張実直線上で自然に定義される。位相空間上の実関数が上半連続となるのは、それが下連続となる場合、すなわち下拡張直線上の下位相に関して連続する場合に限る。同様に、実上直線への関数が下半連続となるのは、それが上連続となる場合、すなわち上拡張実直線上の上位相に関して連続する場合に限る。${\displaystyle (-\infty ,+\infty ]=\mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ ${\displaystyle \{(a,+\infty ]:a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\}}$ ${\displaystyle \{[-\infty ,a):a\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}\}}$ ${\displaystyle [-\infty ,+\infty )=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}.}$ ${\displaystyle {[-\infty ,+\infty )}.}$ ${\displaystyle {(-\infty ,+\infty ]}.}$

参照

• 位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧

参考文献

• Gerhard Gierz、KH Hofmann、K. Keimel、JD Lawson、M. Mislove、DS Scott (2003). 『連続格子と領域』 Cambridge University Press. p. 510. ISBN 0-521-80338-1。
• ケリー, ジョン・L. (1975) [1955].一般位相幾何学.大学院数学テキスト. 第27巻（第2版）. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 978-0-387-90125-1. OCLC  1365153。101ページ
• ナップ、アンソニー・W. (2005). 『実解析の基礎』ビルクハウザー. p. 481. ISBN 0-8176-3250-6。