三角行列

数学において、三角行列は正方行列の特別な種類です。正方行列は主対角線より上のすべての要素がゼロの場合、下三角行列と呼ばれます。同様に、正方行列は主対角線 の下のすべての要素がゼロの場合、上三角になります。

三角行列を含む行列方程式は解くのが容易であるため、数値解析において非常に重要です。LU分解アルゴリズムによれば、可逆行列は、そのすべての主小行列項が非ゼロである 場合に限り、下三角行列Lと上三角行列Uの積として表すことができます。

説明

次のような行列

${\displaystyle L={\begin{bmatrix}\ell _{1,1}&&&&0\\\ell _{2,1}&\ell _{2,2}&&&\\\ell _{3,1}&\ell _{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\\ell _{n,1}&\ell _{n,2}&\ldots &\ell _{n,n-1}&\ell _{n,n}\end{bmatrix}}}$

は下三角行列または左三角行列と呼ばれ、同様に次の形式の行列も

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}}$

は上三角行列または右三角行列と呼ばれます。下三角行列または左三角行列は通常変数Lで表され、上三角行列または右三角行列は通常変数UまたはRで表されます。

上三角行列と下三角行列の両方を持つ行列は対角行列と呼ばれます。三角行列に類似した行列は三角形化可能行列と呼ばれます。

対角線の上（下）に零を持つ非正方行列（あるいは任意の行列）は、下台形行列（上台形行列）と呼ばれます。零でない要素は台形を形成します。

例

マトリックス

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\2&96&0\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

非対称行列の下三角行列です。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&5&8\\2&96&9\\4&9&69\end{bmatrix}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\0&6&9\\0&0&1\end{bmatrix}}}$

非対称行列の上三角行列です。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&4&1\\99&6&9\\40&88&1\end{bmatrix}}}$

前方置換と後方置換

またはの形の行列方程式は、下三角行列の場合は前進代入、上三角行列の場合は後退代入と呼ばれる反復処理によって非常に簡単に解くことができます。この処理がこのように呼ばれるのは、下三角行列の場合、まず を計算し、それを次の方程式に代入して を解き、 までを繰り返すからです。上三角行列の場合は、まず を計算し、それを前の方程式に代入して を解き、 までを繰り返すという逆処理を行います。 ${\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle U\mathbf {x} =\mathbf {b} }$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n-1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

行列を反転する必要がないことに注意してください。

前方置換

行列方程式L x = bは線形方程式の連立として表すことができる。

${\displaystyle {\begin{matrix}\ell _{1,1}x_{1}&&&&&&&=&b_{1}\\\ell _{2,1}x_{1}&+&\ell _{2,2}x_{2}&&&&&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\ddots &&&&\vdots \\\ell _{m,1}x_{1}&+&\ell _{m,2}x_{2}&+&\dotsb &+&\ell _{m,m}x_{m}&=&b_{m}\\\end{matrix}}}$

最初の方程式 ( ) には のみが含まれるため、 を直接解くことができます。2 番目の方程式にはと のみが含まれるため、 に既に解いた値を代入すれば解くことができます。この方法を続けると、- 番目の方程式には のみが含まれるため、に既に解いた値を使ってを解くことができます。結果として得られる式は以下のようになります。 ${\displaystyle \ell _{1,1}x_{1}=b_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k-1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {b_{1}}{\ell _{1,1}}},\\x_{2}&={\frac {b_{2}-\ell _{2,1}x_{1}}{\ell _{2,2}}},\\&\ \ \vdots \\x_{m}&={\frac {b_{m}-\sum _{i=1}^{m-1}\ell _{m,i}x_{i}}{\ell _{m,m}}}.\end{aligned}}}$

上三角行列Uを持つ行列方程式は、逆方向にのみ作業することで同様の方法で解くことができます。

アプリケーション

前方代替は、金融ブートストラッピングにおいて利回り曲線を構築するために使用されます。

プロパティ

上三角行列の転置は下三角行列であり、その逆もまた同様です。

対称かつ三角行列は対角行列です。同様に、正規行列（つまり A ^* A = AA ^*、ここでA ^*は共役転置行列）かつ三角行列も対角行列です。これは、 A ^* AとAA ^*の対角要素を見ればわかります。

三角行列の行列式とパーマネントは、直接計算によって確認できるように、対角要素の積に 等しくなります。

実際には、それ以上のことが当てはまります。三角行列の固有値は、まさにその対角成分です。さらに、各固有値は対角成分上に正確にk回出現します。ここでkはその代数的重複度、つまりAの特性多項式の根としての重複度です。言い換えれば、n × nの三角行列Aの特性多項式は、まさに ${\displaystyle p_{A}(x)=\det(xI-A)}$

${\displaystyle p_{A}(x)=(x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$ 、

つまり、Aの対角要素（重複項を含む）を根とする唯一のn次多項式である。これを理解するには、Aも三角関数であり、したがってその行列式は対角要素の積であることに注目する。^{[ 1 ]}${\displaystyle xI-A}$ ${\displaystyle \det(xI-A)}$ ${\displaystyle (x-a_{11})(x-a_{22})\cdots (x-a_{nn})}$

特別なフォーム

単三角行列

（下または上）三角行列の主対角線上の要素がすべて 1 の場合、その行列は（下または上）単位三角行列と呼ばれます。

これらの行列は、単位（下三角または上三角）行列、あるいはごくまれにノルム（下三角または上三角）行列とも呼ばれます。ただし、単位三角行列は単位行列とは異なり、ノルム三角行列は行列ノルムの概念とは何の関係もありません。

すべての有限一三角行列は単零行列です。

厳密に三角行列

（下または上）三角行列の主対角線上のすべての要素も 0 である場合、その行列は厳密に（下または上）三角行列と呼ばれます。

ケーリー・ハミルトン定理の結果として、すべての有限三角行列は指数が最大でnのべき零行列です。

原子三角行列

原子（下三角行列または上三角行列）は、単三角行列の特殊な形であり、1つの列の要素を除いて、すべての非対角要素がゼロになります。このような行列は、フロベニウス行列、ガウス行列、またはガウス変換行列とも呼ばれます。

ブロック三角行列

ブロック三角行列は、三角行列である ブロック行列（分割行列）です。

上部ブロック三角形

上ブロック三角行列とは、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1k}\\0&A_{22}&\cdots &A_{2k}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$ 、

ここで、すべての場合。^{[ 2 ]}${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

下ブロック三角形

下ブロック三角行列とは、 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}A_{11}&0&\cdots &0\\A_{21}&A_{22}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{k1}&A_{k2}&\cdots &A_{kk}\end{bmatrix}}}$ 、

ここで、すべての場合。^{[ 2 ]}${\displaystyle A_{ij}\in \mathbb {F} ^{n_{i}\times n_{j}}}$ ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,k}$

三角形化可能性

三角行列に相似な行列は、三角化可能行列と呼ばれます。抽象的には、これは旗行列を安定化することと等価です。上三角行列とは、標準の順序基底と結果として得られる旗行列によって与えられる標準旗行列を保存する行列です。すべての旗行列は共役です（一般線型群は基底に対して推移的に作用するため）。したがって、旗行列を安定化する行列は、標準旗行列を安定化する行列と相似です。 ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ ${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

任意の複素正方行列は三角化可能である。^{[ 1 ]}実際、Aのすべての固有値を含む体（例えば、代数的に閉体上の任意の行列）上の行列Aは、三角行列に相似である。これは、 A が固有ベクトルを持つという事実に基づく帰納法を用いて証明でき、固有ベクトルによる商空間を取り、帰納法を用いてA が旗を安定化し、したがってその旗の基底に関して三角化可能であることを示すことができる。

より正確な記述はジョルダン正規形定理によって与えられ、この状況ではAは非常に特殊な形の上三角行列に相似であると述べている。しかしながら、より単純な三角化の結果で十分な場合が多く、いずれの場合もジョルダン正規形定理の証明に用いられる。^{[ 1 ] [ 3 ]}

複素行列の場合、三角化についてさらに詳しく説明することができます。つまり、任意の正方行列Aはシュール分解を持つということです。これは、A が上三角行列とユニタリ同値（つまり、ユニタリ行列を基底変換として用いることで相似）であることを意味します。これは、旗行列のエルミート基底をとることで得られます。

同時三角形化可能性

行列の集合は${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ すべてが上三角行列となる基底がある場合、同時三角形化可能となります。同様に、単一の相似行列P可能でもあります。このような行列の集合は、それが生成する行列の代数、つまり、指定ボレル部分代数のリー部分代数であることと同等です。 ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}].}$

基本的な結果は、（代数的に閉体上で）可換行列 、あるいはより一般的には可換行列は同時に三角化可能であるということです。これは、まず可換行列が共通の固有ベクトルを持つことを示し、次に前述のように次元を帰納的に導入することで証明できます。これはフロベニウスによって1878年に可換行列のペアについて証明され、可換行列の項で議論されています。単一の行列については、複素数上ではユニタリ行列によって三角化できます。 ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$

可換行列が共通固有ベクトルを持つという事実は、ヒルベルトの零点定理（Nullstellensatz）の結果として解釈できる。すなわち、可換行列は可換代数を形成し、その上はk次元アフィン空間の多様体として解釈でき、（共通）固有値（ひいては共通固有ベクトル）の存在は、この多様体が点（空でない）を持つことに対応し、これが（弱）零点定理の内容となる。代数的に言えば、これらの演算子はk変数の多項式代数の代数表現に対応する。 ${\displaystyle K[A_{1},\ldots ,A_{k}]}$ ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{k}]}$

これはリーの定理によって一般化され、可解なリー代数の任意の表現は同時に上三角化可能であり、可換行列の場合はアーベル リー代数の場合であり、アーベルはなおさら可解であることを示します。

より一般かつ正確には、行列の集合が同時三角化可能であることと、その行列がk 個の非可換変数のすべての多項式pに対してべき零である場合に限ります。ここで は交換子です。可換であるためには交換子が消えるので、このことが成り立ちます。これは 1951 年に Drazin、Dungey、および Gruenberg によって証明されました。^{[ 4 ]}簡潔な証明は 1994 年に Prasolov によって与えられています。^{[ 5 ]} 1 つの方向性は明らかです。行列が同時三角化可能である場合、 は厳密に上三角化可能 (したがってべき零)であり、これはそれらのいずれかまたは組み合わせを乗算しても保持されます。つまり、三角化基底の対角要素には依然として 0 が残ります。 ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k}}$ ${\displaystyle p(A_{1},\ldots ,A_{k})[A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle [A_{i},A_{j}]}$ ${\displaystyle A_{k}}$

三角行列の代数

F ₂演算を用いて乗算された2元下単位三角テプリッツ行列。これらはZ ₄のケーリー表を形成し、4ビットグレイコード順列のべき乗に対応する。

上三角性は多くの演算によって保持されます。

• 2 つの上三角行列の合計は上三角行列です。
• 2 つの上三角行列の積は上三角行列です。
• 上三角行列の逆行列は、存在する場合は上三角行列になります。
• 上三角行列とスカラーの積は上三角です。

これらの事実を合わせると、上三角行列は、与えられたサイズの正方行列の結合代数の部分代数を形成することがわかります。さらに、これは上三角​​行列が、固定サイズの正方行列のリー代数のリー代数の部分代数と見なせることも示しています。ここで、リー括弧[ a , b ] は交換子ab − baによって与えられます。すべての上三角行列のリー代数は可解なリー代数です。これはしばしば、すべての正方行列のリー代数の ボレル部分代数と呼ばれます。

これらの結果はすべて、上三角行列を下三角行列に置き換えても成り立ちます。特に、下三角行列もリー代数を形成します。しかし、上三角行列と下三角行列を混合した演算は、一般に三角行列を生成するわけではありません。例えば、上三角行列と下三角行列の和は任意の行列になり得ますが、下三角行列と上三角行列の積も必ずしも三角行列になるとは限りません。

単位三角行列の集合はリー群を形成します。

厳密に上（または下）三角行列の集合は、 と表記される冪零リー代数を形成します。この代数はの導出リー代数であり、これはすべての上三角行列のリー代数です。記号で表すと、となります。さらに、は一三角行列のリー群のリー代数です。 ${\displaystyle {\mathfrak {n}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=[{\mathfrak {b}},{\mathfrak {b}}].}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$

実際、エンゲルの定理によれば、任意の有限次元冪零リー代数は厳密に上三角行列の部分代数と共役であり、つまり、有限次元冪零リー代数は同時に厳密に上三角化可能である。

上三角行列の代数は関数解析において自然に一般化され、ヒルベルト空間上の入れ子代数を生成します。

ボレル部分群とボレル部分代数

与えられた種類（下行列または上行列）の可逆三角行列の集合は、群（リー群）を形成します。リー群は、すべての可逆行列の一般線型群の部分群です。三角行列が可逆であるとは、その対角成分が可逆（非ゼロ）であることを意味します。

実数群では、この群は非連結であり、各対角成分が正か負かに応じて成分を持つ。恒等成分は対角成分が正である逆三角行列であり、すべての逆三角行列の群は、この群と、成分に対応する対角成分が である対角行列群との半直積である。 ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle \pm 1}$

可逆上三角行列のリー群のリー代数は、必ずしも可逆ではない上三角行列全体の集合であり、可解リー代数である。これらはそれぞれ、リー群 GL _nの標準ボレル部分群Bと、リー代数 gl _nの標準ボレル部分代数である。 ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$

上三角行列は、まさに標準旗を安定化させる行列である。その中で可逆な行列は一般線型群の部分群を形成し、その共役部分群は、ある（他の）完全旗の安定化因子として定義される部分群である。これらの部分群はボレル部分群である。可逆な下三角行列の群はそのような部分群である。なぜなら、それは標準旗の安定化因子であり、標準基底に逆順で関連付けられているからである。

標準旗の一部を忘却することによって得られる部分旗の安定化群は、ブロック上三角行列の集合として記述できる（ただし、その要素はすべて三角行列ではない）。このような群の共役群は、ある部分旗の安定化群として定義される部分群である。これらの部分群は放物型部分群と呼ばれる。

例

2×2 上単位三角行列の群はスカラー体の加法群と同型です。複素数の場合は放物型メビウス変換で形成される群に対応します。3×3 上単位三角行列はハイゼンベルク群を形成します。

参照

• ガウス消去法
• QR分解
• コレスキー分解
• ヘッセンベルク行列
• 三角行列
• 不変部分空間

参考文献

1. アクラー、シェルドン・ジェイ (1997).線形代数を正しく理解する(第2版). ニューヨーク: シュプリンガー. pp.  86– 87, 169. ISBN 0-387-22595-1. OCLC  54850562 .
2. バーンスタイン、デニス・S. (2009).行列数学：理論、事実、公式（第2版）. プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版局. p. 168. ISBN 978-0-691-14039-1。
3. Herstein, IN (1975). Topics in Algebra (第2版). New York: Wiley. pp.  285– 290. ISBN 0-471-01090-1. OCLC  3307396 .
4. Drazin, MP; Dungey, JW; Gruenberg, KW (1951). 「可換行列に関するいくつかの定理」ロンドン数学会誌26 (3): 221– 228. doi : 10.1112/jlms/s1-26.3.221 .
5. Prasolov, VV (1994).線形代数の諸問題と定理. Simeon Ivanov. プロビデンス、ロードアイランド州: アメリカ数学会. pp.  178– 179. ISBN 9780821802366. OCLC  30076024 .