曖昧な位相

数学、特に関数解析と位相ベクトル空間の分野において、曖昧位相は、局所コンパクト ハウスドルフ空間上の測度の研究で生じる弱*位相の一例です。

を局所コンパクトハウスドルフ空間とする。を 上の複素ラドン測度の空間とし、を 上の複素連続関数のバナッハ空間の双対で、一様ノルムを持つ無限遠で零となる空間とする。リースの表現定理により、 はに等長である。等長写像は 測度を線型関数に写像する。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}}$ ${\displaystyle C_{0}(X),}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}.}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle I_{\mu }(f):=\int _{X}f\,d\mu .}$

曖昧位相は上の弱位相である。からの等長変換によって誘導される 上の対応する位相は 上の曖昧位相とも呼ばれる。 したがって、特に、すべてのテスト関数に対して測度の列が測度に漠然と収束するときはいつでも、${\displaystyle C_{0}(X)^{*}.}$ ${\displaystyle M(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)^{*}}$ ${\displaystyle M(X).}$ ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{0}(X),}$

${\displaystyle \int _{X}fd\mu _{n}\to \int _{X}fd\mu .}$

連続関数がコンパクト台を持つ双対性によって曖昧位相を定義することも珍しくない。つまり、すべてのテスト関数に対して上記の収束が成り立つ場合、測度の列は測度に漠然と収束する。この構成は異なる位相を生み出す。特に、双対性によって定義される位相は計量化可能であるが、双対性によって定義される位相は計量化できない。 ${\displaystyle C_{c}(X),}$ ${\displaystyle \left(\mu _{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f\in C_{c}(X).}$ ${\displaystyle C_{c}(X)}$ ${\displaystyle C_{0}(X)}$

この応用の一つは確率論である。例えば、中心極限定理は、ある特定の独立確率変数の和に対する確率測度が正規分布に弱収束し（そして漠然と収束する） 、つまり、大きな値に対して測度が「ほぼ正規」であるという主張である。${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle n.}$

参照

• 位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧

参考文献

• ディウドネ、ジャン（1970）「§13.4. 曖昧位相」解析論、第2巻、アカデミック・プレス。
• GB Folland、「実分析：最新技術とその応用」第2版、John Wiley & Sons、Inc.、1999年。

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