数学において、変分解析とは、凸最適化と古典的な変分法の手法をより一般的な理論へと組み合わせ、拡張したものです。 [1]これには、一般化微分などの集合値解析のトピックを含む、最適化理論のより一般的な問題が含まれます
数学科目分類体系（MSC2010）では、「集合値解析と変分解析」の分野は「49J53」でコード化されている。[2]
歴史
この数学の分野には長い歴史があるが、この意味での「変分解析」という用語が初めて使用されたのは、R・ティレル・ロカフェラーとロジャー・JB・ウェッツによる同名の著書であった。[1] [検証失敗]
極小値の存在
古典的な結果は、コンパクト集合上の下半連続関数が最小値を達成するというものです。エケランドの変分原理などの変分解析の結果により、関数に下限があり、関数に小さな摂動を加えるというコストを条件として、非コンパクト集合上の下半連続関数のこの結果を拡張することができます。滑らかな変分原理は、ボルワイン＝プレス変分原理として知られています。[3]
一般化微分
古典的なフェルマーの定理は、微分可能関数がある点で最小値をとり、その点がその定義域の内点であるならば、その点におけるその関数の導関数は必ずゼロになる、というものです。ある滑らかな関数を、他の滑らかな関数がゼロになるという形で表現できる制約の下で最小化しなければならない問題に対しては、もう一つの古典的な結果であるラグランジュ乗数法によって、関数の導関数を用いて必要な条件が与えられます。
これらの古典的な結果の考え方は、微分の概念を部分微分の概念に一般化することで、微分不可能な凸関数に拡張することができる。クラークの一般化勾配のような微分の概念のさらなる一般化により、これらの結果は局所的に滑らかでないリプシッツ関数にも拡張することができる。 [4]
参照
引用
参考文献
- R・ティレル・ロッカフェラー;ウェッツ、ロジャー J.-B. (2009 年 6 月 26 日)。変分分析。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol. 317. ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 9783642024313 OCLC 883392544 https://doi.org/10.1007/978-3-642-02431-3
- エケランド、イヴァル；テマム、ロジャー；凸解析と変分問題 1999 SIAM https://doi.org/10.1137/1.9781611971088
- ボルウェイン、ジョナサン・M.; チュー、チージ・J.; 変分解析の技法 2005 シュプリンガー https://doi.org/10.1007/0-387-28271-8
外部リンク
