ヴォート予想

ヴォート予想（ヴォートじょうけん）は、1961年にロバート・ローソン・ヴォートによって提唱された数学のモデル理論の分野における予想である。これは、可算言語による一階完備理論の可算モデルの数は有限、すなわち ℵ 0または 2 ℵ 0であるというものである。 モーリーは可算モデルの数は有限、すなわち ℵ 0またはℵ 1または 2 ℵ 0であることを示し、連続体仮説が成り立たない ℵ 1モデルの場合を除いて予想を解決した。この残るケースについては、ロビン・ナイト（2002年、2007年）がヴォート予想と位相的ヴォート予想に対する反例を発表している。2021年現在、反例は検証されていない。

推測の表明

を一階可算で完全な理論とし、無限のモデルを持つものとする。T の同型性を除く基数モデルの数、すなわち理論のスペクトルを とする。モーリーは、I ( T , ℵ 0 )が無限大ならば、それは ℵ 0または ℵ 1、あるいは連続体の基数でなければならないことを証明した。ヴォート予想とは、 が不可能であるという主張である。この予想は連続体仮説の自明な帰結であるため、この公理は予想に関する研究ではしばしば除外される。あるいは、より明確な形の予想があり、それは、非可算個の可算モデルを持つ任意の可算完全Tは、非可算モデルの完全なセットを持つというものである (ジョン・スティールが指摘したように、「On Vaught's conjecture」。Cabal Seminar 76–77 (Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77)、pp. 193–208、Lecture Notes in Math.、689、Springer、Berlin、1978、この形の Vaught 予想は、元の予想と等価である)。 T{\displaystyle T}私（T、α）{\displaystyle I(T,\alpha )}α{\displaystyle \alpha}T{\displaystyle T}ℵ0<私（T、ℵ0）<2ℵ0{\displaystyle \aleph_{0}}<2^{\aleph_{0}}}

オリジナル処方

ヴォートによる当初の定式化は、予想としてではなく、問題として提示されました。連続体仮説を用いることなく、正確にℵ 1 個の非同型可算モデルを持つ完全な理論が存在することを証明できるか？冒頭で述べたモーリーの結果によれば、この予想に対する肯定的な解は、本質的に、当初提示されたヴォートの問題に対する否定的な答えに対応する。

ヴォートの定理

ヴォートは、完全な理論の可算モデルの数は 2 にはなり得ないことを証明しました。可算モデルの数は 2 以外の任意の有限数にすることができます。たとえば、次のようになります。

  • 有限モデルを持つ完全な理論には、可算無限モデルは存在しません。
  • 可算モデルを1つだけ持つ理論はω-圏理論です。これには、無限集合理論や稠密非有界全順序理論など、多くの例があります。
  • エーレンフォイヒトは、 3 つの可算モデルを持つ理論の次の例を挙げました。言語には関係 ≥ と可算数の定数c 0、c 1、 ... があり、公理では ≥ は稠密な無制限の全順序であり、c 0 < c 1 < c 2 < ... です。3 つのモデルは、このシーケンスが無制限か、収束するか、または有界だが収束しないかによって異なります。
  • エーレンフォイヒトの例は、n  − 2個の単項関係P i を言語に 追加することで、任意の有限個n ≥ 3のモデルを持つ理論を与えるように修正できる。この場合、すべてのxに対してP iのちょうど1つが真であり、 P i ( y )が真となるyの値は稠密であり、すべてのc i に対してP 1 が真であるという公理が成立する。すると、要素の列c i が極限cに収束するモデルは、関係P i ( c )がどのi に対して真であるかによってn − 2個のケースに分割される。

ヴォートの定理の証明の考え方は次のとおりです。 可算モデルがせいぜい可算個あるとすれば、最小のモデルである原子モデルと最大のモデルである飽和モデルが存在し、モデルが複数ある場合はこれらが異なります。これらが異なる場合、飽和モデルは原子モデルが省略したn型を実現する必要があります。次に、このn型を実現する構造理論の原子モデル(有限個の定数で拡張された言語で) は、原子モデルにも飽和モデルにも同型ではない第 3 のモデルであることを示すことができます。上記の 3 つのモデルの例では、原子モデルとはシーケンスが無制限であるモデル、飽和モデルとはシーケンスが収束するモデル、原子モデルで実現されない型の例として、シーケンスのすべての要素よりも大きい要素が挙げられます。

位相的ヴォート予想

位相的ヴォート予想とは、ポーランド群がポーランド空間に連続的に作用するときはいつでも、可算個の軌道か連続個の軌道が存在するという主張である。位相的ヴォート予想は、元のヴォート予想よりも一般化されている。可算言語が与えられたとき、その言語の自然数上のすべての構造の空間を形成できる。これに一階述語論理式によって生成される位相を備えると、結果として得られる空間がポーランド空間であることが、A. Gregorczyk、A. Mostowski、C. Ryll-Nardzewski、「公理理論のモデル集合の定義可能性」（Bulletin of the Polish Academy of Sciences (series Mathematics, Astronomy, Physics)、vol. 9 (1961)、pp. 163–7）から分かる。無限対称群（点収束の位相を持つ自然数のすべての順列の集合）の連続作用は、同型性の同値関係を生じさせる。完備な一階理論Tが与えられたとき、 T を満たす構造の集合は極小の閉不変集合であり、したがってそれ自体がポーランド集合である。

参照

参考文献

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