ラプラス演算子

数学において、ラプラス演算子またはラプラシアンは、ユークリッド空間上のスカラー関数の勾配の発散によって与えられる微分演算子です。これは通常、記号⁠ ⁠、(はナブラ演算子)、または⁠ ⁠で表されます。直交座標系では、ラプラシアンは関数の各独立変数に関する2 次偏導関数の合計で与えられます。円筒座標や球座標などの他の座標系でも、ラプラシアンは便利な形式を持ちます。非公式には、点pにおける関数fのラプラシアンΔ f  ( p )は、 pを中心とする小球またはボール上のfの平均値が f  ( p )からどれだけ外れているかを測定します。 ${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \Delta }$

ラプラス作用素は、フランスの数学者ピエール＝シモン・ド・ラプラス（1749–1827）にちなんで名付けられました。彼はこの作用素を天体力学の研究に初めて応用しました。与えられた質量密度分布による重力ポテンシャルのラプラス関数は、その密度分布の定数倍です。ラプラス方程式 Δ f = 0の解は調和関数と呼ばれ、真空領域における重力ポテンシャルの可能な値を表します。

ラプラシアンは、物理現象を記述する多くの微分方程式に登場します。ポアソン方程式は電位と重力ポテンシャルを記述し 、拡散方程式は熱と流体の流れを記述し、波動方程式は波の伝播を記述し、シュレーディンガー方程式は量子力学における波動関数を記述します。画像処理やコンピュータービジョンでは、ラプラシアン演算子はブロブやエッジ検出など、様々なタスクに用いられてきました。ラプラシアンは最も単純な楕円演算子であり、ホッジ理論やド・ラーム・コホモロジーの成果の中核を成しています。

意味

ラプラス演算子は、n次元ユークリッド空間における2階微分演算子であり、勾配( ⁠ ⁠ ) の発散 ( ⁠ ⁠ )として定義されます。したがって、が2回微分可能な実数値関数である場合、のラプラス演算子は次のように定義される実数値関数です。 ${\displaystyle \nabla \cdot }$ ${\displaystyle \nabla f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f,}$$

1

ここで後者の表記は次のように正式に記述することから派生する。 明示的には、 f のラプラシアンは、直交座標x _iにおけるすべての混合されていない2次偏微分の合計である。 $${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}$$

$${\displaystyle \Delta f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}$$

2

二階微分作用素であるラプラス作用素は、k ≥ 2に対してC ^k関数をC ^{k −2}関数に写像する。これは線型作用素Δ : C ^k ( R ⁿ ) → C ^{k −2} ( R ⁿ )、より一般的には任意の開集合Ω ⊆ R ⁿに対してΔ : C ^k (Ω) → C ^{k −2} (Ω)となる。

あるいは、ラプラス演算子は次のように定義できます。 ここで、は空間の次元、は半径⁠ ⁠のn球面の表面上のの平均値、は半径⁠ ⁠のn球面上の面積分、は単位n球面の境界の超体積です。^[1]$${\displaystyle \nabla ^{2}f({\vec {x}})=\lim _{R\rightarrow 0}{\frac {2n}{R^{2}}}(f_{{\text{shell}}_{R}}-f({\vec {x}}))=\lim _{R\rightarrow 0}{\frac {2n}{A_{n-1}R^{1+n}}}\int _{{\text{shell}}_{R}}f({\vec {r}})-f({\vec {x}})dr^{n-1}}$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{{\text{shell}}_{R}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{{\text{shell}}_{R}}f({\vec {r}})dr^{n-1}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$

解析的および幾何学的ラプラシアン

ラプラス演算子の定義方法については、矛盾する 2 つの慣習があります。

• 「解析的」ラプラシアンは、として特徴付けられ、 は、が同一にゼロではない任意の滑らかなコンパクトにサポートされた関数に対してという意味で負定値です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\Big )}^{2},}$$ $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\overline {\varphi (x)}}\Delta \varphi (x)\,dx=-\int _{\mathbb {R} ^{n}}|\nabla \varphi (x)|^{2}\,dx<0}$$ ${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$
• 次のように定義される「幾何学的」正定値ラプラシアン$${\displaystyle \Delta =-\nabla ^{2}=-\sum _{j=1}^{n}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\Big )}^{2}.}$$

モチベーション

拡散

拡散の物理理論では、ラプラス演算子は平衡の数学的記述において自然に生じる。^[2]具体的には、u が化学濃度などのある量の平衡時の密度である場合、V内にソースやシンクが存在しない限り、任意の滑らかな領域 V の境界∂ V ( Sとも呼ばれる) を通るuの正味フラックスはゼロになる。 ここでnはVの境界に対して外向きの単位法線である。 発散定理により、 $${\displaystyle \int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0,}$$ $${\displaystyle \int _{V}\operatorname {div} \nabla u\,dV=\int _{S}\nabla u\cdot \mathbf {n} \,dS=0.}$$

これはすべての滑らかな領域Vに当てはまるので、次式が成り立つことが示せます。 この式の左辺はラプラス演算子であり、式Δ u = 0全体はラプラス方程式と呼ばれます。ラプラス方程式の解、すなわちラプラシアンが常にゼロとなる関数は、拡散下での可能な平衡密度を表します。 $${\displaystyle \operatorname {div} \nabla u=\Delta u=0.}$$

ラプラス演算子自体は、非平衡拡散について、ある点が化学物質の濃度の源泉またはシンクを表す程度として、物理的に解釈できる。これは拡散方程式によって明確に表現される。ラプラス演算子のこの解釈は、平均値に関する以下の事実によっても説明される。

平均

2回連続微分可能な関数と点⁠ ⁠が与えられたとき、半径を中心とするボール上の の平均値は次のようになります: ^[3]${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\overline {f}}_{B}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2(n+2)}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0}$$

同様に、を中心とする半径の球面（ボールの境界）上の の平均値は次のようになります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\overline {f}}_{S}(p,h)=f(p)+{\frac {\Delta f(p)}{2n}}h^{2}+o(h^{2})\quad {\text{for}}\;\;h\to 0.}$$

ポテンシャルに関連する密度

φ が電荷分布qに関連付けられた静電ポテンシャルを表す場合、電荷分布自体はφのラプラシアンの負で与えられます。 ここで、 ε ₀は電気定数です。 $${\displaystyle q=-\varepsilon _{0}\Delta \varphi ,}$$

これはガウスの法則の帰結です。実際、V が境界∂ Vを持つ任意の滑らかな領域である場合、ガウスの法則により、境界を横切る 静電場Eのフラックスは、囲まれた電荷に比例します。 ここで、最初の等式は発散定理によるものです。静電場は電位の（負の）勾配であるため、以下の式が成り立ちます。 $${\displaystyle \int _{\partial V}\mathbf {E} \cdot \mathbf {n} \,dS=\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E} \,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$ $${\displaystyle -\int _{V}\operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )\,dV={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\int _{V}q\,dV.}$$

これはすべての領域Vに当てはまるので、 $${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} \varphi )=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}q}$$

同様のアプローチから、重力ポテンシャルのラプラシアンの負の値は質量分布であることが示唆されます。多くの場合、電荷（または質量）分布は与えられていますが、それに対応するポテンシャルは未知です。適切な境界条件の下でポテンシャル関数を求めることは、ポアソン方程式を解くことと等価です。

エネルギー最小化

物理学でラプラシアンが現れるもう一つの理由は、領域UにおけるΔ f = 0の解がディリクレエネルギー関数を定常化する関数であるということである。 $${\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int _{U}\lVert \nabla f\rVert ^{2}\,dx.}$$

これを理解するには、f  : U → Rが関数であり、u  : U → RがUの境界で消滅する関数であると仮定します。すると、 次の式が成り立ちます。 ここで、最後の等式はグリーンの第一恒等式を用いて導かれます。この計算から、 Δ f = 0の場合、Eはfの周りで定常であることがわかります。逆に、 Eがf の周りで定常である場合、変分法の基本補題によりΔ f = 0 となります。 $${\displaystyle \left.{\frac {d}{d\varepsilon }}\right|_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int _{U}\nabla f\cdot \nabla u\,dx=-\int _{U}u\,\Delta f\,dx}$$

座標式

2次元

2次元のラプラス演算子は次のように与えられます。

デカルト座標では 、x とyはxy平面の標準デカルト座標です。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$$

極座標では 、r は半径距離、θ は角度を表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}},\end{aligned}}}$$

三次元

3 次元では、さまざまな異なる座標系でラプラシアンを扱うのが一般的です。

デカルト座標では、 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

円筒座標では、 は半径距離、φは方位角、z は高さを表します。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}},}$$ ${\displaystyle \rho }$

球座標では、 または 第1項と第2項を展開すると、これらの式は次のように表されます。 ここ で、 φは方位角、θは天頂角または共緯度を表します。特に、上記は 単位球面上の ラプラス・ベルトラミ演算子と等価です。$${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ $${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(rf)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\left(\cos \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}+\sin \theta {\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}},}$$ ${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{2}}f,}$ ${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f}$

一般的な曲線座標（ξ ¹、ξ ²、ξ ³） では、繰り返されるインデックスの合計が暗示され 、g mn^は逆計量テンソルであり、 Γ ^l _{mn は}選択された座標の クリストッフェル記号です。$${\displaystyle \Delta =\nabla \xi ^{m}\cdot \nabla \xi ^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}+\nabla ^{2}\xi ^{m}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{m}}}=g^{mn}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi ^{m}\,\partial \xi ^{n}}}-\Gamma _{mn}^{l}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{l}}}\right),}$$

北寸法

N次元の任意の曲線座標（ξ1、...、ξN ）では、ラプラシアンを逆計量テンソルで表すことができます。これは^、発散^のVoss - Weyl 公式[ 4 ^]から得られ ます。 ${\displaystyle g^{ij}}$ $${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\left({\sqrt {\det g}}\,g^{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\right),}$$

N次元球面座標において、パラメータ化x = rθ ∈ R ^Nで、rは正の実半径、θは単位球面 S ^{N −1}の元を表す。 ここで、 Δ _{S ^{N −1}}は( N − 1)球面上のラプラス・ベルトラミ作用素であり、球面ラプラシアンと呼ばれる。2つの動径微分項は、以下のように書き直すことができる。 $${\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta _{S^{N-1}}f}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right).}$$

結果として、S ^{N −1} ⊂ R ^N上で定義された関数の球面ラプラシアンは、 R ^N ∖ {0}に拡張された関数の通常のラプラシアンとして計算することができ、光線に沿って一定、つまり次数 0 の同次になります。

ユークリッド不変性

ラプラシアンは、すべてのユークリッド変換、すなわち回転と並進に対して不変です。例えば2次元では、これは すべてのθ、a、bに対して次が成り立つことを意味します。任意の次元では、 ρが回転の 場合、また同様に τ が並進の 場合も次が成り立ちます。（より一般的には、 ρが鏡映などの直交変換の場合も、これは成り立ちます。） $${\displaystyle \Delta (f(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b))=(\Delta f)(x\cos \theta -y\sin \theta +a,x\sin \theta +y\cos \theta +b)}$$ $${\displaystyle \Delta (f\circ \rho )=(\Delta f)\circ \rho }$$ $${\displaystyle \Delta (f\circ \tau )=(\Delta f)\circ \tau }$$

実際、すべてのユークリッド変換と交換可能な定数係数を持つすべてのスカラー線形微分演算子の代数は、ラプラス演算子によって生成される多項式代数です。

スペクトル理論

ラプラス演算子のスペクトルは、次の式で表される対応する固有関数 f が存在するすべての固有値λから構成され ます。 $${\displaystyle -\Delta f=\lambda f.}$$

これはヘルムホルツ方程式として知られています。

Ω がR ⁿの有界領域である場合、ラプラシアンの固有関数はヒルベルト空間L ² (Ω)の直交基底です。 この結果は、本質的に、コンパクト自己随伴演算子のスペクトル定理をラプラシアンの逆関数（ポアンカレ不等式とレリッヒ・コンドラコフの定理によりコンパクト）に適用することで得られます。^{[5]固有関数は}無限微分可能関数であることも示せます。^[6]より一般的には、これらの結果は、境界を持つ任意のコンパクト リーマン多様体上のラプラス・ベルトラミ演算子、または有界領域上の滑らかな係数を持つ任意の楕円演算子のディリクレ固有値問題に対して成り立ちます。Ωがn球面である場合、ラプラシアンの固有関数は球面調和関数です。

ベクトルラプラシアン

ベクトルラプラス演算子は、 ⁠ ⁠${\displaystyle \nabla ^{2}}$ とも表記され、ベクトル場上で定義される微分演算子です。^[7]ベクトルラプラス演算子はスカラーラプラス演算子に似ています。スカラーラプラス演算子はスカラー場に適用されスカラー量を返しますが、ベクトルラプラス演算子はベクトル場に適用されベクトル量を返します。直交直交座標で計算すると、返されるベクトル場は、各ベクトル成分に適用されたスカラーラプラス演算子のベクトル場と等しくなります。

ベクトル場のベクトルラプラシアンは次のように定義されます。 この定義は、ベクトル ラプラシアンの ヘルムホルツ分解 として考えることができます。 ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} ).}$$

直交座標では、これははるかに単純な式に簡約されます。 ここで、、 、 はベクトル場 の成分であり、各ベクトル場成分のすぐ左には（スカラー）ラプラス演算子が存在します。これはラグランジュの公式の特殊なケースと見ることができます。ベクトル三重積 を参照してください。 $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} =(\nabla ^{2}A_{x},\nabla ^{2}A_{y},\nabla ^{2}A_{z}),}$$ ${\displaystyle A_{x}}$ ${\displaystyle A_{y}}$ ${\displaystyle A_{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$

他の座標系でのベクトル ラプラシアンの表現については、円筒座標と球座標の Del を参照してください。

一般化

任意のテンソル場 （「テンソル」にはスカラーとベクトルが含まれます）のラプラシアンは、テンソルの 勾配の発散として定義されます。${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {T} =(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {T} .}$$

がスカラー（次数 0 のテンソル）である特殊なケースでは、ラプラシアンはよく知られた形式になります。 ${\displaystyle \mathbf {T} }$

がベクトル（1次テンソル）の場合、勾配は共変微分となり、2次テンソルとなり、その発散もまたベクトルになります。上記のベクトルラプラシアンの式はテンソルの計算を省略するために使用でき、以下に示すベクトルの勾配に対する ヤコビ行列の発散と等価であることが示されます。${\displaystyle \mathbf {T} }$ $${\displaystyle \nabla \mathbf {T} =(\nabla T_{x},\nabla T_{y},\nabla T_{z})={\begin{bmatrix}T_{xx}&T_{xy}&T_{xz}\\T_{yx}&T_{yy}&T_{yz}\\T_{zx}&T_{zy}&T_{zz}\end{bmatrix}},{\text{ where }}T_{uv}\equiv {\frac {\partial T_{u}}{\partial v}}.}$$

同様に、あるベクトルと別のベクトルの勾配（2 次テンソル）とのドット積（これはベクトルに評価されます）は、行列の積として考えることができます。 この 恒等式は座標に依存する結果であり、一般性はありません。 $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A_{x}&A_{y}&A_{z}\end{bmatrix}}\nabla \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} \cdot \nabla B_{x}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{y}&\mathbf {A} \cdot \nabla B_{z}\end{bmatrix}}.}$$

物理学での使用

ベクトル ラプラシアンの使用例としては、ニュートンの非圧縮性流れに対するナビエ-ストークス方程式が挙げられます。 ここで、速度場 のベクトル ラプラシアンの項は、流体の 粘性応力を表します。 $${\displaystyle \rho \left({\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} \right)=\rho \mathbf {f} -\nabla p+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right),}$$ ${\displaystyle \mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {v} \right)}$

もう 1 つの例は、電荷と電流がない場合の マクスウェル方程式から導出できる電場の波動方程式です。$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} -\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0.}$$

この方程式は、次のように書くこともできます。 ここで、は、クライン–ゴルドン方程式で使用されるダランベルシアンです。 $${\displaystyle \Box \,\mathbf {E} =0,}$$ $${\displaystyle \Box \equiv {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2},}$$

いくつかのプロパティ

まず、滑らかな関数は、⁠ ⁠のときはいつでも優調和関数であると言えます。 ${\displaystyle u\colon \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle -\Delta u\geq 0}$

を滑らかな関数とし、を連結コンパクト集合とする。が優調和関数であるとき、任意の に対して、および⁠ ⁠に依存する 定数 に対して が成り立つ 。^[8]${\displaystyle u\colon \Omega \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K\subset \Omega }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x\in K}$ $${\displaystyle u(x)\geq \inf _{\Omega }u+c\lVert u\rVert _{L^{1}(K)}\;,}$$ ${\displaystyle c>0}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle K}$

一般化

ディリクレエネルギー関数が意味を成す場合には、ラプラシアンの一種を定義できる。これがディリクレ形式の理論である。追加の構造を持つ空間については、以下のようにラプラシアンをより明示的に記述することができる。

ラプラス・ベルトラミ演算子

ラプラス演算子は、リーマン多様体上に定義されるラプラス・ベルトラミ演算子と呼ばれる楕円演算子にも一般化できます。関数に適用されたラプラス・ベルトラミ演算子は、関数のヘッセ行列のトレース（tr ）です。 ここで、トレースは計量テンソル の逆行列 に関して取られます。ラプラス・ベルトラミ演算子は、同様の式を用いて、テンソル場に作用する演算子（ラプラス・ベルトラミ演算子とも呼ばれる）にも一般化できます。 $${\displaystyle \Delta f=\operatorname {tr} {\big (}H(f){\big )}}$$

擬リーマン多様体上で利用可能なラプラス作用素のもう一つの一般化は外微分を使用する。これを用いて「幾何学者のラプラス演算子」は次のように表現される。 $${\displaystyle \Delta f=\delta df.}$$

ここでδは共微分であり、ホッジスター演算子と外微分演算子を用いて表すこともできる。この演算子は、上で定義した「解析者のラプラシアン」とは符号が異なる。より一般的には、「ホッジ」ラプラシアンは微分形式 α上で次のよう に定義される。$${\displaystyle \Delta \alpha =\delta d\alpha +d\delta \alpha .}$$

これはラプラス・ド・ラーム演算子として知られており、ワイツェンベック恒等式によってラプラス・ベルトラミ演算子と関連しています。

ダランベルティアン

ラプラシアンはある特定の方法で非ユークリッド空間に一般化することができ、楕円型、双曲型、超双曲型になることがあります。

ミンコフスキー空間では、ラプラス・ベルトラミ演算子はダランベール演算子 またはダランベール演算 子になります。${\displaystyle \Box }$ $${\displaystyle \square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}.}$$

これはラプラス作用素の一般化であり、基底空間の等長群の下で不変な微分作用素であり、時間独立関数に制限すればラプラス作用素に帰着する。ここでの計量の全体の符号は、作用素の空間部分が負の符号を持つように選択される。これは高エネルギー素粒子物理学における通常の慣例である。ダランベール作用素は波動方程式に現れる微分作用素であるため波動作用素とも呼ばれ、また質量がゼロの場合に波動方程式に帰着する クライン・ゴルドン方程式の一部でもある。

物理学において、空間と時間が異なる単位で測定される場合、計量におけるcという係数が追加で必要になります。例えば、 x方向がメートルで測定され、y方向がセンチメートルで測定される場合にも、同様の係数が必要になります。実際、理論物理学者は通常、方程式を簡略化するために c = 1となるような単位で作業を行います。

ダランベール演算子は擬リーマン多様体上の双曲型演算子に一般化されます。

参照

• ラプラス・ベルトラミ演算子、ユークリッド空間の部分多様体とリーマン多様体および擬リーマン多様体への一般化。
• 微分幾何学におけるラプラシアン。
• 離散ラプラス演算子は、グラフとグリッド上で定義される連続ラプラス演算子の有限差分類似体です。
• ラプラシアンは、画像処理やコンピューター ビジョンでよく使用される演算子です(ガウスのラプラシアン、ブロブ検出器、スケール空間を参照)。
• リーマン幾何学の公式リストには、クリストッフェル記号によるラプラシアンの表現が含まれています。
• ワイルの補題（ラプラス方程式）。
• アーンショウの定理は、安定した静的重力、静電、または磁気懸架は不可能であることを示しています。
• 円筒座標と球座標での Del。
• ラプラシアンが定義される他の状況としては、フラクタル解析、時間スケール計算、離散外部計算などがあります。

注記

1. Styer, Daniel F. (2015年12月1日). 「ラプラシアンの幾何学的意義」. American Journal of Physics . 83 (12): 992– 997. Bibcode :2015AmJPh..83..992S. doi :10.1119/1.4935133. ISSN  0002-9505. 2024年10月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年10月10日閲覧。
2. エヴァンス 1998、§2.2
3. Ovall, Jeffrey S. (2016-03-01). 「ラプラシアンと平均値および極値」(PDF) . The American Mathematical Monthly . 123 (3): 287– 291. doi :10.4169/amer.math.monthly.123.3.287. S2CID 124943537. 2024年10月7日時点 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2020年7月26日閲覧。
4. GhostarchiveとWayback Machineにアーカイブ：パベル・グリンフェルド（2014年4月16日）「フォス＝ワイルの式」YouTube 。 2018年1月9日閲覧。
5. ギルバーグ＆トゥルーディンガー 2001、定理8.6
6. ギルバーグ＆トゥルーディンガー 2001、系8.11
7. MathWorld. 「ベクトルラプラシアン」.
8. Ponce, Augusto C. (2016-10-14). 楕円偏微分方程式、測度、容量. EMS Tracts in Mathematics. 第23巻. EMS Press. doi :10.4171/140. ISBN 978-3-03719-140-8. 2024年11月26日閲覧。

参考文献

• エヴァンス、L.（1998）、偏微分方程式、アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-0772-9
• ファインマン物理学講義 第2巻 第12章 静電的類似体
• ギルバーグ、D.;トゥルーディンガー、N. (2001)、「2次楕円偏微分方程式」、シュプリンガー、ISBN 978-3-540-41160-4。
• Schey, HM (1996), Div, Grad, Curl, and All That , WW Norton, ISBN 978-0-393-96997-9。

さらに読む

• ラプラシアン - リチャード・フィッツパトリック 2006

外部リンク

• 「ラプラス演算子」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「ラプラシアン」。MathWorld。
• 極座標におけるラプラシアンの導出
• フラクタル立方体とカシミール効果に関するラプラス方程式