球面上のベクトル場
How many linearly independent smooth nowhere-zero vector fields can be on an n-sphere

数学において、球面上のベクトル場の議論は、毛玉定理から始まり、除算代数の分類に関する初期の研究に至るまで、微分位相幾何学の古典的な問題であった。

具体的には、次元ユークリッド空間 の球面上に、線形独立な滑らかな零点のないベクトル場がいくつ構築できるか、という問題です。決定的な解答は、1962 年にFrank Adamsによって与えられました。[1]クリフォード代数を使用した直接構成によって、 がn 球面のラドン・フルビッツ数 (定義は後述) である場合、少なくともそのような場が存在することは既にわかっていました。Adams はホモトピー理論と位相的 K 理論[2]を適用して、これ以上独立したベクトル場は見つからないことを証明しました。したがって、 ( ) 次元球面 上に存在する点ごとに線形独立なベクトル場の正確な数は です。 n {\displaystyle n} ρ ( n ) {\displaystyle \rho (n)} ρ ( n ) − 1 {\displaystyle \rho (n)-1} ρ ( n ) − 1 {\displaystyle \rho (n)-1} n − 1 {\displaystyle n-1}

技術的な詳細

詳細には、この問題は「球面」とその接束に適用されます。実際、すべてのエキゾチック球面は同型接束を持つため、ラドン・フルヴィッツ数は 、任意のホモトピー球面の接束の線型独立切断の最大数を決定します。 が奇数の場合はポアンカレ・ホップ指数定理（毛玉定理を参照）によって処理されるため、偶数の場合はその拡張です。アダムスは、( )-球面上の連続（ここでは滑らかな場合も例外ではありません）点ごとの線型独立ベクトル場の最大数は であることを示しました。 ρ ( n ) {\displaystyle \rho (n)} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} n − 1 {\displaystyle n-1} ρ ( n ) − 1 {\displaystyle \rho (n)-1}

体の構成は、 ここでも登場する8を法とする周期性を持つ理論である実クリフォード代数と関連している。グラム・シュミット過程によれば、（点ごとの）線型独立性、あるいは各点で正規直交基底を与える体を求めるのと同じである。

ラドン・フルヴィッツ数

ラドン・フルヴィッツ数は、 ヨハン ・ラドン（1922）とアドルフ・フルヴィッツ（1923）による二次形式に関するフルヴィッツ問題の初期の研究に登場します。[3] ρ ( n ) {\displaystyle \rho (n)}

n = ( 2 a + 1 ) 2 4 d + c , {\displaystyle n=(2a+1)2^{4d+c},}

ここで、 はすべて整数であり、 の場合、[3] a , b , c {\displaystyle a,b,c} 0 ≤ c < 4 {\displaystyle 0\leq c<4}

ρ ( n ) = 2 c + 8 d {\displaystyle \rho (n)=2^{c}+8d} 。

が奇数の場合、 およびとなります。 の最初のいくつかの値は、( OEISのシーケンスA053381より) です。 n {\displaystyle n} c = d = 0 {\displaystyle c=d=0} ρ ( n ) = 1 {\displaystyle \rho (n)=1} ρ ( 2 n ) {\displaystyle \rho (2n)}

2、4、2、8、2、4、2、9、2、4、2、8、2、4、2、10、...

これらの数は、他の関連分野にも登場する。行列理論において、ラドン・フルヴィッツ数は、実行列の線形部分空間の最大サイズを数える。この部分空間では、各非零行列は相似変換、すなわち直交行列とスカラー行列の積となる。二次形式においては、フルヴィッツ問題は二次形式間の乗法恒等式を求める問題である。これらの古典的な結果は、1952年にベノ・エックマンによって再検討された。現在では、符号理論や理論物理学などの分野で応用されている。 n × n {\displaystyle n\times n}

参考文献

  1. ^ James, IM (1957). 「ホワイトヘッド積と球面上のベクトル場」.ケンブリッジ哲学協会数学紀要. 53 (4): 817– 820. doi :10.1017/S0305004100032928. S2CID  119646042.
  2. ^ Adams, JF (1962). 「球面上のベクトル場」Annals of Mathematics . 75 (3): 603– 632. doi :10.2307/1970213. JSTOR  1970213. Zbl  0112.38102.
  3. ^ ab Rajwade, AR (1993). Squares . ロンドン数学会講義ノートシリーズ. 第171巻.ケンブリッジ大学出版局. p. 127. ISBN 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022。
  • ポーテウス, IR (1969).位相幾何学. ヴァン・ノストランド・ラインホールド. pp. 336–352. ISBN 0-442-06606-6. Zbl  0186.06304。
  • ミラー、HR「球面上のベクトル場など（コースノート）」（PDF） 。 2018年11月10日閲覧。
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