ベクトル最適化

ベクトル最適化は、数学的最適化のサブ領域であり、ベクトル値の目的関数を持つ最適化問題を、与えられた半順序付けと一定の制約条件の下で最適化します。多目的最適化問題は、ベクトル最適化問題の特殊なケースです。目的空間は、成分ごとに「以下」の順序付けで半順序付けされた 有限次元ユークリッド空間です。

問題の定式化

数学的に言えば、ベクトル最適化問題は次のように表すことができます。

${\displaystyle C\operatorname {-} \min _{x\in S}f(x)}$

ここで、半順序ベクトル空間についてである。半順序は錐 によって誘導される。は任意の集合であり、実行可能集合と呼ばれる。 ${\displaystyle f:X\to Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle C\subseteq Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$

ソリューションのコンセプト

最小性にはさまざまな概念があり、その中には次のようなものがあります。

• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$ 任意の に対して が成り立つとき、 は弱効率的点（弱最小化点）です。${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -\operatorname {int} C}$
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$ 任意の に対して が存在する場合、 は効率的な点(最小化点)です。${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle f(x)-f({\bar {x}})\not \in -C\backslash \{0\}}$
• ${\displaystyle {\bar {x}}\in S}$ が、閉じた尖った凸錐に関して弱効率的な点である場合、 は適切に効率的な点（適切な最小化点）です。${\displaystyle {\bar {x}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle C\backslash \{0\}\subseteq \operatorname {int} {\tilde {C}}}$

すべての適切な最小化者は最小化者である。そしてすべての最小化者は弱い最小化者である。^[1]

現代の解決概念は、最小値の概念だけでなく、下限達成も考慮に入れています。^[2]

解決方法

• 線形ベクトル最適化問題に対するベンソンのアルゴリズム。^[2]

多目的最適化との関係

多目的最適化問題は次のように記述できる。

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}\operatorname {-} \min _{x\in M}f(x)}$

ここで、およびはの非負直交関数です。したがって、このベクトル最適化問題の最小化点はパレート効率の良い点です。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

参考文献

1. Ginchev, I.; Guerraggio, A.; Rocca, M. (2006). 「スカラー最適化からベクトル最適化へ」(PDF) .数学応用. 51 : 5–36 . doi :10.1007/s10492-006-0002-1. hdl : 10338.dmlcz/134627 . S2CID  121346159.
2. アンドレアス・ローネ (2011)。Infimum および Supremum を使用したベクトル最適化。スプリンガー。ISBN 9783642183508。