超多重項

理論物理学において、超多重項は、拡張された超対称性を持つ可能性のある超対称性代数の表現です。

すると、超体とは、そのような表現で値を持つ超空間上の体である。素朴に、あるいは平坦超空間を考える場合、超体は単に超空間上の関数として見ることができる。正式には、それは付随する超多重束の切断である。

現象論的には、超場は粒子を記述するために使用されます。超対称性場の理論の特徴は、粒子が対を形成することです。これは、ボソンとフェルミオンが対になったスーパーパートナーと呼ばれます。

これらの超対称場は、場が演算子に昇格される超対称量子場理論を構築するために使用されます。

歴史

超体は1974年の論文でアブドゥス・サラムとJAストラスディーによって導入されました。 ^[1] 超体上の演算と部分的な分類は、数ヶ月後にセルジオ・フェラーラ、ジュリアス・ウェス、ブルーノ・ズミノによって発表されました。^[2]

命名と分類

最も一般的に用いられる超多重項は、ベクトル多重項、カイラル多重項（例えば超対称性の場合）、超多重項（例えば超対称性の場合）、テンソル多重項、そして重力多重項である。ベクトル多重項の最高成分はゲージボソン、カイラル多重項または超多重項の最高成分はスピノル、重力多重項の最高成分は重力子である。これらの名称は次元縮小に対して不変となるように定義されているが、ローレンツ群の表現としての場の構成は変化する。 ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=2}$

異なる多重項に対するこれらの名称の用法は、文献によって異なる場合があります。カイラル多重項（最高成分がスピノル）はスカラー多重項と呼ばれることもあり、超対称性においては、ベクトル多重項（最高成分がベクトル）はカイラル多重項と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=2}$

d = 4、N = 1 超対称性における超場

このセクションの表記法は、Figueroa-O'Farrill (2001) の注記に従います。

超対称性における一般的な複素超場は次のように展開できる。 ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+\theta \chi (x)+{\bar {\theta }}{\bar {\chi }}'(x)+{\bar {\theta }}\sigma ^{\mu }\theta V_{\mu }(x)+\theta ^{2}F(x)+{\bar {\theta }}^{2}{\bar {F}}'(x)+{\bar {\theta }}^{2}\theta \xi (x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}}{\bar {\xi }}'(x)+\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D(x)}$ 、

は異なる複素体です。これは既約な超多重体ではないため、既約表現を分離するには異なる制約が必要です。 ${\displaystyle \phi ,\chi ,{\bar {\chi }}',V_{\mu },F,{\bar {F}}',\xi ,{\bar {\xi }}',D}$

カイラル超場

（反）カイラル超場は超対称性の超多重体です。 ${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$

4次元では、最小の超対称性は超空間の概念を用いて記述できる。超空間には、通常の時空座標、、および4つの追加フェルミオン座標が含まれており、これらは2成分（ワイル）スピノルとその共役として変換される。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle x^{\mu}}$ ${\displaystyle \mu =0,\ldots ,3}$ ${\displaystyle \theta _{\alpha },{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}}$ ${\displaystyle \alpha,{\dot {\alpha}}=1,2}$

超対称性において、カイラル超場はカイラル超空間上の関数である。（完全な）超空間からカイラル超空間への射影が存在する。したがって、カイラル超空間上の関数は完全な超空間に引き戻すことができる。このような関数は共変制約を満たす。ここで は共変微分であり、指数表記で次のように表される 。${\displaystyle d=4,{\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle {\overline {D}}\Phi =0}$ ${\displaystyle {\bar {D}}}$

${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}=-{\bar {\partial }}_{\dot {\alpha }}-i\theta ^{\alpha }\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }\partial _{\mu }。$

カイラル超場は次のように展開できる。 ${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

${\displaystyle \Phi (y,\theta )=\phi (y)+{\sqrt {2}}\theta \psi (y)+\theta ^{2}F(y),}$

ここで である。超場はを通してのみに依存するという意味で「共役スピン座標」とは独立である。次の式が成り立つ。${\displaystyle y^{\mu }=x^{\mu }+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$ ${\displaystyle y^{\mu}}$ ${\displaystyle {\bar {D}}_{\dot {\alpha }}y^{\mu }=0.}$

展開は、複素スカラー場 はワイルスピノルであると解釈される。また、慣例的に命名されている補助的な複素スカラー場 も存在する。これはF項であり、いくつかの理論で重要な役割を果たす。 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \psi}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

次に、次の式を代入することで、フィールドを元の座標で表すことができます。 ${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Phi (x,\theta ,{\bar {\theta }})=\phi (x)+{\sqrt {2}}\theta \psi (x)+\theta ^{2}F(x)+i\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}\partial _{\mu }\phi (x)-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\theta ^{2}\partial _{\mu }\psi (x)\sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}-{\frac {1}{4}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}\square \phi (x).}$

反カイラル超場

同様に、カイラル超空間の複素共役である反カイラル超空間や、反カイラル超場も存在します。

反カイラル超場は、 ${\displaystyle \Phi ^{\ダガー }}$ ${\displaystyle D\Phi ^{\dagger }=0,}$

${\displaystyle D_{\alpha }=\partial _{\alpha }+i\sigma _{\alpha {\dot {\alpha }}}^{\mu }{\bar {\theta }}^{\dot {\alpha }}\partial _{\mu }。$

反カイラル超場はカイラル超場の複素共役として構築できます。

カイラル超場からの作用

単一のカイラル超場から定義できる作用については、Wess-Zuminoモデルを参照してください。

ベクトル超場

ベクトル超場は超対称性の超多重体です。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

ベクトル超場（実超場とも呼ばれる）は、現実条件を満たす関数である。このような場は、展開を許す。 ${\displaystyle V(x,\theta ,{\bar {\theta }})}$ ${\displaystyle V=V^{\ダガー }}$

${\displaystyle V=C+i\theta \chi -i{\overline {\theta }}{\overline {\chi }}+{\tfrac {i}{2}}\theta ^{2}(M+iN)-{\tfrac {i}{2}}{\overline {\theta ^{2}}}(M-iN)-\theta \sigma ^{\mu }{\overline {\theta }}A_{\mu }+i\theta ^{2}{\overline {\theta }}\left({\overline {\lambda }}+{\tfrac {i}{2}}{\overline {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\chi \right)-i{\overline {\theta }}^{2}\theta \left(\lambda +{\tfrac {i}{2}}\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }{\overline {\chi }}\right)+{\tfrac {1}{2}}\theta ^{2}{\overline {\theta }}^{2}\left(D+{\tfrac {1}{2}}\Box C\right).}$

構成分野は

• 2つの実スカラー場と${\displaystyle C}$ ${\displaystyle D}$
• 複素スカラー場${\displaystyle M+iN}$
• 2つのワイルスピノル場と${\displaystyle \chi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \lambda ^{\alpha }}$
• 実ベクトル場（ゲージ場）${\displaystyle A_{\mu }}$

これらの変換特性と用途については、超対称ゲージ理論でさらに議論されています。

ゲージ変換を用いると、場とをゼロに設定することができる。これはウェス・ズーミノゲージとして知られている。このゲージでは、展開ははるかに単純な形をとる。 ${\displaystyle C,\chi }$ ${\displaystyle M+iN}$

${\displaystyle V_{\text{WZ}}=\theta \sigma ^{\mu }{\bar {\theta }}A_{\mu }+\theta ^{2}{\bar {\theta }}{\bar {\lambda }}+{\bar {\theta }}^{2}\theta \lambda +{\frac {1}{2}}\theta ^{2}{\bar {\theta }}^{2}D.}$

はのスーパーパートナーであり、は補助スカラー場です。これは慣例的に と呼ばれ、D項として知られています。 ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$

スカラー

スカラーは超場の最高成分となることは決してありません。超場にスカラーが現れるかどうかは、時空の次元に依存します。例えば、10次元N=1理論では、ベクトル多重項はベクトルとマヨラナ・ワイルスピノルのみを含みますが、d次元トーラス上でのその次元縮小は、d個の実スカラーを含むベクトル多重項となります。同様に、11次元理論では、有限個の場を持つ超多重項は重力多重項のみであり、スカラーは含まれません。しかし、d次元トーラス上での最大重力多重項への次元縮小は、スカラーを含みます。

超多重子

超多重項は、拡張された超対称性代数、特に4 次元の超対称性の物質多重項の表現の一種であり、 2 つの複素スカラーA _i、ディラックスピノルψ、およびさらに 2 つの補助複素スカラーF _iを含みます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$

「超多重項」という名前は、 Fayet (1976) が使用したN =2 超対称性を表す古い用語「超対称性」に由来しています。この用語は廃止されましたが、その表現の一部には「超多重項」という名前が今でも使用されています。

拡張超対称性（N > 1）

この節では、拡張超対称性において、一般的に用いられる既約超多重項をいくつか記述する。これらは、超電荷 によって消滅する真空ベクトルが存在するという意味で、最高重み表現構成によって構成される。既約表現の次元は である。質量のない粒子を表す超多重項の場合、物理的根拠から許容される最大値は であるが、繰り込み可能性の場合、許容される最大値は である。^[3]${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle Q^{A},A=1,\cdots ,{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle 2^{\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=8}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

N = 2

ベクトル多重項またはカイラル多重項は、ゲージ場、2つのワイルフェルミオン、およびスカラー（ゲージ群の随伴表現においても変換される）を含む。これらは、ベクトル多重項とカイラル多重項の2つの多重項にまとめることもできる。このような多重項は、ザイバーグ・ウィッテン理論を簡潔に定義するために用いることができる。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle A_{\mu }}$ ${\displaystyle \lambda ,\psi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$ ${\displaystyle W=(A_{\mu },\lambda )}$ ${\displaystyle \Phi =(\phi ,\psi )}$

超多重項またはスカラー多重項は、2 つのワイルフェルミオンと 2 つの複素スカラー、または 2 つのカイラル多重項で構成されます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=2}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=1}$

N = 4

ベクトル多重項には、1つのゲージ場、4つのワイルフェルミオン、6つのスカラー、そしてCPT共役が含まれます。これはN = 4超対称ヤン＝ミルズ理論に現れます。 ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

参照

• 超対称ゲージ理論
• D項
• Fターム

参考文献

1. サラム, アブダス; ストラスディー, J. (1994年5月). スーパーゲージ変換. 第5巻. pp.  404– 409. Bibcode :1994spas.book..404S. doi :10.1142/9789812795915_0047. ISBN 978-981-02-1662-7. 2023年4月3日閲覧。 {{cite book}}:|journal=無視されました (ヘルプ)
2. Ferrara, Sergio; Wess, Julius; Zumino, Bruno (1974). 「スーパーゲージ多重項と超場」 . Phys. Lett. B. 51 ( 3): 239– 241. Bibcode :1974PhLB...51..239F. doi :10.1016/0370-2693(74)90283-4 . 2023年4月3日閲覧。
3. クリッペンドルフ、スヴェン;ケベド、フェルナンド。オリバー、シュロテラー (2010 年 11 月 5 日)。 「超対称性と余剰次元に関するケンブリッジ講義」。arXiv : 1011.1491 [hep-th]。

• フェイエット, P. (1976)、「フェルミ-ボーズ超対称性」、核物理B、113 (1): 135– 155、Bibcode :1976NuPhB.113..135F、doi :10.1016/0550-3213(76)90458-2、MR  0416304
• スティーブン・P・マーティン.超対称性入門, arXiv:hep-ph/9709356.
• 立川裕司.歩行者のためのN=2超対称ダイナミクス, arXiv:1312.2684.
• Figueroa-O'Farrill, JM (2001). 「Busstepp Lectures on Supersymmetry」. arXiv : hep-th/0109172 .