速度フィルター

速度フィルタは、必要な地震波形の移動速度と不要な干渉信号の移動速度の差を利用して干渉信号を除去します。

導入

地球物理学的応用では、地震信号の測定と記録にセンサーが用いられる。^[1]^{[2]個々のセンサー記録よりも高い}信号対雑音比を持つ単一の出力波形を生成するフィルタリング技術は数多く存在する。速度フィルタは、所望の地震波形の移動速度と不要な干渉信号の移動速度の差を利用して干渉信号を除去するように設計されている。^[3]マルチチャンネルフィルタリングによって生成される1次元出力とは対照的に、速度フィルタは2次元出力を生成する。

1つの望ましい広帯域干渉と $Mつの望ましくない広帯域干渉を受信する$ $N$ 個のセンサーアレイを考えます。n $番目$ のセンサーの測定値を次の式でモデル化します。

x n (t) = .mw-parser-output .noitalic{font-style:normal} Σ M m = 0 a mn s m (t - T mn) + ŋ n (t)

1

どこ

$n = 1, 2, ..., N$ ;
$m = 0, 1, ..., M$ ;
$s m (t)$ はアレイを横切って伝わる信号です。
$ŋ n (t) は、センサー間で相関のない、$ $n$ 番目のセンサーにおけるゼロ平均ホワイトランダムノイズを表します

パラメータ $a mn$ と $T mnは$ $、 n$ 番目のセンサーで受信されたときの信号 $s m (t)$ の振幅ゲインと時間遅延です。

一般性を失うことなく、 $s 0 (t)$ が目的の信号であり、 $s 1 (t)、 s 2 (t)、...、 s M (t)が不要な干渉であると仮定します。さらに、$ $T 0 n = 0$ 、 $a 0 n = 1$ と仮定します。これは基本的に、データが時間シフトされて目的の地震信号がすべてのセンサーに同時に現れるように調整され、目的の信号が等しい振幅で現れるようにバランスが取られていることを意味します。信号は記録前にデジタル化され、記録データの時間シーケンスの長さ $K$ は、完全な遅延干渉波形が記録データに含まれるのに十分大きいと仮定します。離散周波数領域では、 $n$ 番目のトレースは次のように表すことができます。

X n (k) = S 0 (k) + Σ M m = 1 a mn S m (k) e - jw k T mn + N n (k)

2

ここで $k = 0, 1, ..., K - 1; w k = (2 π / K)$ はサンプリング角周波数です。

行列表記法を用いると、（２）は次のように表される。

X (k) = A (k) S (k) + N (k)

3

A(k)={\begin{bmatrix}1&1&\dots &1\\a_{11}e^{-jwkT_{11}}&a_{12}e^{-jwkT_{12}}&\dots &a_{1N}e^{-jwkT_{1N}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{M1}e^{-jwkT_{M1}}&\dots &\dots &a_{MN}e^{-jwkT_{MN}}\end{bmatrix}}

4

{\begin{aligned}X'(k)&=[X_{1}(k),\dots ,X_{N}(k)]\\S'(k)&=[S_{1}(k),\dots ,S_{N}(k)]\\N'(k)&=[N_{1}(k),\dots ,N_{N}(k)]\end{aligned}}

5

速度フィルタリング

周波数領域マルチチャンネルフィルタ $F 1 (k)、 F 2 (k)、...、 F N (k)$ をデータに適用すると、次の形式の単一の出力トレースが生成されます。^[4]^[5]

Y(k)=\sum _{n\mathop {=} 1}^{N}F_{N}(k)\mathrm {X} _{n}(k)

6

上記の式は、行列形式では次のように表すことができます。

Y(k)=X'(k)F(k)=S'(k)A'(k)F(k)+N'(k)F(k)

7

ここで、 $F (k)は$ $N \times 1$ ベクトルであり、その要素は個々のチャネルフィルタである。つまり、

F(k)=[F_{1}(k),F_{2}(k),...,F_{N}(k)]

8

^{Chen & Simaan (1990) [6]}^[7]で議論された手順に従うことで、最小二乗法で不要なコヒーレント干渉 $S 1 (k)、 S 2 (k)、 ...、 S M (k)を減衰させながら、$ $Y$ $($ $k$ $)$ 内の所望の信号 $S 0 (k)$ を保持する最適なフィルタベクトル F(k)を設計することができる。このフィルタは、以下の形式で表される。

F(k)={\frac {\{I-[L(k)B_{r}(k)]^{H}[L(k)B_{r}(k)]\}h}{u'\{I-[L(k)B_{r}(k)]^{H}[L(k)B_{r}(k)]\}}}

9

ここで、 $h$ は任意の $N \times1の$ 非ゼロベクトル、 $u = [1,0,...,0]$ 、 $I$ は単位行列、 $B r (k)$ は線形従属行をすべて削除することによって得られる行列の部分行列、 $L (k)$ は次を満たす下三角行列です。

$[L(k)B_{r}(k)][L(k)B_{r}(k)]^{H}=I$

A_{r}(k)={\begin{bmatrix}a_{11}e^{-jwkT_{11}}&\dots &a_{1N}e^{-jwkT_{1N}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{M1}e^{-jwkT_{M1}}&\dots &a_{MN}e^{-jwkT_{MN}}\end{bmatrix}}

10

式6～10で示されるマルチチャンネル処理方式は、1次元の出力トレースを生成します。一方、速度フィルタは2次元フィルタであり、2次元の出力レコードを生成します。

2次元記録は、入力データの少数の重なり合うサブ配列にマルチチャンネル最適フィルタを繰り返し適用する手順によって生成することができる。^[8]^[9]

より具体的には、図 1 に示すように入力データ上をスライドする $W$ チャネルのサブアレイ $（ W << N ）$ $を考えます。サブアレイの位置ごとに、（9）に基づく最適なマルチチャネルフィルタを設計して、対応する出力トレースから不要な干渉を抑制することができます。このフィルタを設計する際には、式（9）でN$ の代わりに $W$ を使用します。したがって、入力レコードのトレースの $1、2、...、$ $Wは出力レコードの最初のトレースを生成し、入力レコードのトレースの$ $K$ $、$ $K$ $+ 1、...、$ $K$ $+$ $W$ $- 1は出力レコードの$ $K$ 番目のトレースを生成し、入力レコードのトレースの $N$ $-$ $W$ $+ 1、$ $N$ $-$ $W$ $+ 2、...、$ $N$ は出力レコードの最後のトレースである $($ $N$ $-$ $W$ $+ 1)番目のトレースを生成します。地球物理学的データでよくあるように、$ $N$ が大きく $W$ が小さい場合は、出力レコードを入力レコードと次元的に同等と見なすことができます。このような方式が効果的に機能するためには、 $Wは$ 可能な限り小さくする必要があることは明らかである。同時に、不要信号に必要な減衰を与えるのに十分な大きさでなければならない。なお、この方式によって最大 $W$ $- 1個の不要干渉を完全に抑制することができる。$ ^[10]^[11]

参考文献

^ JH Justice (1985)、「探査地震学におけるアレイ処理」、S. Haykin編、『Array Signal Processing』、ニュージャージー州エングルウッドクリフス：Prentice-Hall、第2章、6～114頁。
^ EARobinson および TS Durrani (1986)、「Geophysical Signal Processing」、ニュージャージー州エングルウッドクリフス: Prentice-Hall。
^ RLSengbushとMR Foster（1968年2月）、「最適マルチチャネル速度フィルタ」、Geophysics、vol.33、pp.11–35。
^ MT HannaとM. Simaan（1985年12月）、「センサーアレイのための絶対最適フィルタ」、IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing、vol. ASSP-33、pp. 1380–1386。
^ MT HannaとM. Simaan（1985年7月）、「サイドローブ除去のためのアレイフィルタ」、IEEE Journal of Oceanic Engineering、vol. OE-10、pp. 248–254。
^ CM Chen と M. Simaan、「アレイデータに対する複数の干渉を抑制するための周波数領域フィルタ」、 1990 IEEE 音響、音声、信号処理会議(ニューメキシコ州アルバカーキ) の議事録、1990 年 4 月 3 〜 6 日、pp. 1937–1940。
^ CM Chen,センサーアレイにおける複数の望ましくない干渉に対する最適なマルチチャンネルフィルタ（博士論文）, ピッツバーグ大学信号処理・解釈研究所. Rep. SPIL No. 91-01, 1991.
^ M. SimaanとPL Love（1984年3月）、「地震データにおける線形ムーブアウトによるコヒーレント信号の最適抑制」、 Geophysics、第49巻、215〜226頁。
^ MT HannaとM. Simaan（1987年6月）、「マルチチャネルアレイ処理技術を使用した速度フィルタの設計と実装」、 IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing、vol. ASSP-35、pp. 864–877。
^ Chih-Ming Chen と Marwan A. Simaan (1991 年 7 月)、「2 次元地球物理データにおける複数のインターフェースの速度フィルター」、 IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing、Vol 29、No.4、pp. 563–570。
^ Magdy T. Hanna (1998年11月)、「地球物理アレイデータにおける多重干渉減衰のための速度フィルタ」、 IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing、Vol 26、No. 6、pp. 741–748。

[1] JH Justice (1985)、「探査地震学におけるアレイ処理」、S. Haykin編、『Array Signal Processing』、ニュージャージー州エングルウッドクリフス：Prentice-Hall、第2章、6～114頁。

[2] EARobinson および TS Durrani (1986)、「Geophysical Signal Processing」、ニュージャージー州エングルウッドクリフス: Prentice-Hall。

[3] RLSengbushとMR Foster（1968年2月）、「最適マルチチャネル速度フィルタ」、Geophysics、vol.33、pp.11–35。

[4] MT HannaとM. Simaan（1985年12月）、「センサーアレイのための絶対最適フィルタ」、IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing、vol. ASSP-33、pp. 1380–1386。

[5] MT HannaとM. Simaan（1985年7月）、「サイドローブ除去のためのアレイフィルタ」、IEEE Journal of Oceanic Engineering、vol. OE-10、pp. 248–254。

[6] CM Chen と M. Simaan、「アレイデータに対する複数の干渉を抑制するための周波数領域フィルタ」、 1990 IEEE 音響、音声、信号処理会議(ニューメキシコ州アルバカーキ) の議事録、1990 年 4 月 3 〜 6 日、pp. 1937–1940。

[7] CM Chen,センサーアレイにおける複数の望ましくない干渉に対する最適なマルチチャンネルフィルタ（博士論文）, ピッツバーグ大学信号処理・解釈研究所. Rep. SPIL No. 91-01, 1991.

[8] M. SimaanとPL Love（1984年3月）、「地震データにおける線形ムーブアウトによるコヒーレント信号の最適抑制」、 Geophysics、第49巻、215〜226頁。

[9] MT HannaとM. Simaan（1987年6月）、「マルチチャネルアレイ処理技術を使用した速度フィルタの設計と実装」、 IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing、vol. ASSP-35、pp. 864–877。

[10] Chih-Ming Chen と Marwan A. Simaan (1991 年 7 月)、「2 次元地球物理データにおける複数のインターフェースの速度フィルター」、 IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing、Vol 29、No.4、pp. 563–570。

[11] Magdy T. Hanna (1998年11月)、「地球物理アレイデータにおける多重干渉減衰のための速度フィルタ」、 IEEE Transactions on Geoscience and Remote Sensing、Vol 26、No. 6、pp. 741–748。