ヴェロネーゼの表面

数学において、ヴェロネーゼ曲面は5次元射影空間における代数曲面であり、射影平面を完全線型円錐曲線系で埋め込むヴェロネーゼ埋め込みによって実現される。これはジュゼッペ・ヴェロネーゼ（1854–1917）にちなんで名付けられている。これを高次元に一般化したもの、ヴェロネーゼ多様体として知られる。

この曲面は、5次元空間の一般点からの射影によって定義される4次元射影空間への埋め込みを許容する。この曲面の3次元射影空間への一般射影はシュタイナー面と呼ばれる。

意味

ヴェロネーゼ面はマッピングのイメージである

${\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5}}$

与えられた

${\displaystyle \nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]}$

ここで、 は同次座標を表します。この写像はヴェロネーゼ埋め込みとして知られています。${\displaystyle [x:\cdots ]}$ ${\displaystyle \nu}$

モチベーション

ヴェロネーゼ面は、円錐曲線の研究において自然に現れます。円錐曲線は2次平面曲線であり、以下の式で定義されます。

${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0.}$

係数と変数の関係は、係数に関しては線形、変数に関しては二次関係である。ヴェロネーゼ写像は、係数に関しては線形、単項式に関しては線形となる。したがって、ある不動点について、その点が円錐曲線に含まれるという条件は係数に関する線形方程式となり、「ある点を通過することは円錐曲線に線形条件を課す」という主張を形式化する。 ${\displaystyle (A,B,C,D,E,F)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle [x:y:z],}$

ヴェロネーゼ地図

ヴェロネーゼ写像あるいはヴェロネーゼ多様体は、この考え方をn +1個の変数を持つ一般の次数dの写像に一般化したものである。つまり、次数dのヴェロネーゼ写像は、

${\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m}}$

ここで、mは多重集合係数、またはより一般的には二項係数によって与えられ、次のようになります。

${\displaystyle m=\left(\!\!{n+1 \choose d}\!\!\right)-1={n+d \choose d}-1.}$

写像は、次数dのあらゆる可能な単項式（その数は）に写像を送出します。選択可能な変数が存在するため、 となります。また、射影空間には座標が存在するため、 を減算します。2番目の等式は、ソース次元nを固定した場合、ターゲット次元は次数nで主係数が であるdの多項式であることを示しています。${\displaystyle [x_{0}:\ldots :x_{n}]}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x_{0},\ldots,x_{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}}$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle 1/n!.}$

低次では、は への自明な定数写像であり、は 上の恒等写像なので、dは一般に 2 以上とされます。 ${\displaystyle d=0}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{0},}$ ${\displaystyle d=1}$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{n},}$

ヴェロネーゼ地図は座標に依存しない方法で次のように定義できる。

${\displaystyle \nu _{d}:\mathbb {P} (V)\ni [v]\mapsto [v^{d}]\in \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)}}}$

ここで、Vは任意の有限次元ベクトル空間であり、はd次対称冪である。これはV上のスカラー乗法に関してd次同次であり、したがって基底射影空間上の写像に通る。 ${\displaystyle {\rm {{Sym}^{d}V}}}$

ベクトル空間Vが、特性値が零でない体K上に定義されている場合、その定義はV上の多項式の双対空間への写像として理解されるように変更される必要がある。これは、有限特性pを持つ体の場合、Vの元のp乗は有理正規曲線ではなく、当然直線となるためである。（有限特性体上の多項式の扱いについては 、例えば加法多項式を参照）。

有理正規曲線

ヴェロネーゼ多様体は有理正規曲線として知られており、その低次数の例はよく知られています。 ${\displaystyle n=1,}$

• ヴェロネーゼ写像は単に射影直線上の恒等写像である。${\displaystyle n=1,d=1}$
• ヴェロネーゼ多様体はアフィン座標における標準的な放物線である。${\displaystyle n=1,d=2,}$ ${\displaystyle [x^{2}:xy:y^{2}],}$ ${\displaystyle (x,x^{2}).}$
• ヴェロネーゼ多様体は、アフィン座標におけるねじれた3次多様体である。${\displaystyle n=1,d=3,}$ ${\displaystyle [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$ ${\displaystyle (x,x^{2},x^{3}).}$

バイレギュラー

ヴェロネーゼ写像による多様体の像もまた、単なる構成可能集合ではなく、多様体である。さらに、これらは逆写像が存在し、かつ正則であるという意味で同型である。つまり、ヴェロネーゼ写像は双正則である。より正確には、ザリスキー位相における開集合の像もまた開である。

参照

• ヴェロネーゼ曲面は次元2の唯一のセヴェリ多様体である。

参考文献

• ジョー・ハリス『代数幾何学入門』（1992年）Springer-Verlag、ニューヨーク。ISBN 0-387-97716-3