ヴィエタの公式

フランソワ・ヴィエト

数学において、ヴィエタの公式は多項式の係数とその根の和および積を関連付ける。これらの公式はフランソワ・ヴィエト（1540-1603）にちなんで名付けられており、一般的には彼の名前のラテン語形である「フランシスクス・ヴィエタ」で呼ばれる。

基本的な公式

n次 の一般多項式 （係数が実数または複素数で、a _n ≠ 0）は、代数の基本定理により、 n個（必ずしも異なるとは限らない）の複素根r ₁、r ₂、…、r _nを持つ。ヴィエタの公式は、多項式の係数と根r ₁、r ₂、…、r _nの積の符号付き和を次のように関連付けている。 $${\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}$$

$${\displaystyle {\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}}$$

*

ヴィエタの公式は次のようにも書ける。 $${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{nk}}{a_{n}}}}$$

k = 1, 2, ..., nの場合(インデックスi _kは、 k個の根の各積が正確に 1 回使用される ように昇順に並べ替えられます)。

ヴィエタの公式の左側は、根の 基本対称多項式です。

ヴィエタのシステム(*)は、明示的な単純な反復式であるデュラン・ケルナー法を通じてニュートン法で解くことができます。

環への一般化

ヴィエタの公式は、任意の整域Rに係数を持つ多項式で頻繁に用いられます。その場合、商はRの分数体（R において逆行列が成り立つ場合は R 自体にも属する可能性があります）に属し、根は代数的に閉じた拡大で求められます。典型的には、Rは整数環、分数体（分数体）は有理数体、代数的に閉じた体は複素数体です。 ${\displaystyle a_{i}/a_{n}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Vieta の公式は、根を計算しなくても根の間の関係を示すので便利です。

整域ではない可換環上の多項式の場合、 が零因子でなくがとして因数分解できる場合にのみ、Vieta の公式は有効です。例えば、 8 を法とする整数の環では、2 次多項式は 1、3、5、7 の 4 つの根を持ちます。Vieta の公式は、例えば および の場合は正しくありません。なぜならだからです。しかし、は として因数分解でき、 としても因数分解でき、およびまたは およびとすれば、Vieta の公式は成り立ちます。 ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})}$ ${\displaystyle P(x)=x^{2}-1}$ ${\displaystyle r_{1}=1}$ ${\displaystyle r_{2}=3}$ ${\displaystyle P(x)\neq (x-1)(x-3)}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle (x-1)(x-7)}$ ${\displaystyle (x-3)(x-5)}$ ${\displaystyle r_{1}=1}$ ${\displaystyle r_{2}=7}$ ${\displaystyle r_{1}=3}$ ${\displaystyle r_{2}=5}$

例

ヴィエタの公式を二次多項式と三次多項式に適用すると、

二次多項式の根は ${\displaystyle r_{1},r_{2}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{2}+bx+c}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.}$$

これらの方程式の最初のものは、 Pの最小値（または最大値）を見つけるために使用できます。二次方程式 § Vieta の公式を参照してください。

3次多項式の根は ${\displaystyle r_{1},r_{2},r_{3}}$ ${\displaystyle P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ $${\displaystyle r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.}$$

証拠

直接的な証拠

ヴィエタの公式は、等式 （この多項式のすべての根であるため真）を考慮し、右側の積を展開し、方程式の 2 つの要素間 の の各累乗の係数を等しくすることで証明できます。$${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\dots ,r_{n}}$ ${\displaystyle x}$

正式には、項を展開して、 ⁠ ⁠の次数で再グループ化すると、次のようになります。 ${\displaystyle (x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{nk}x^{k}\left(\sum _{\stackrel {(\forall i)\;b_{i}\in \{0,1\}}{b_{1}+\cdots +b_{n}=nk}}r_{1}^{b_{1}}\cdots r_{n}^{b_{n}}\right),}$

ここで、内和はちょうど⁠ ⁠${\displaystyle k}$ 番目の基本対称関数 である。

例として、二次方程式を考えてみましょう。 $${\displaystyle f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=a_{2}(x-r_{1})(x-r_{2})=a_{2}(x^{2}-x(r_{1}+r_{2})+r_{1}r_{2}).}$$

の同一の累乗を比較すると、、およびが見つかります。これらを使用して、たとえば、 に対する Vieta の公式であるおよびを識別できます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a_{2}=a_{2}}$ ${\displaystyle a_{1}=-a_{2}(r_{1}+r_{2})}$ ${\displaystyle a_{0}=a_{2}(r_{1}r_{2})}$ ${\displaystyle r_{1}+r_{2}=-a_{1}/a_{2}}$ ${\displaystyle r_{1}r_{2}=a_{0}/a_{2}}$ ${\displaystyle n=2}$

数学的帰納法による証明

ヴィエタの公式は、以下に示すように帰納法によって証明することもできます。

帰納的仮説:

を次数 の多項式とし、複素根と複素係数を持つものとする。このとき、帰納的仮定は${\displaystyle {P(x)}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {r_{1}},{r_{2}},{\dots },{r_{n}}}$ ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle {a_{n}}\neq 0}$ $${\displaystyle {P(x)}={a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{(a_{n})}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}$$

基本ケース（二次式）:${\displaystyle n=2}$

を二次方程式の係数とし、を定数項とします。同様に、を二次方程式の根とします。分配法則を用いて右辺を展開します。同類項​​を集めます。分配法則を再び適用します。これで、帰納的仮説が に対して真であることが証明されました。 ${\displaystyle {a_{2}},{a_{1}}}$ ${\displaystyle a_{0}}$ ${\displaystyle {r_{1}},{r_{2}}}$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{(x-r_{1})(x-r_{2})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{r_{1}x}-{r_{2}x}+{r_{1}}{r_{2}})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={a_{2}}{({x^{2}}-{({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{r_{1}}{r_{2}})}}$$ $${\displaystyle {a_{2}x^{2}}+{a_{1}x}+a_{0}={{a_{2}}{x^{2}}-{{a_{2}}({r_{1}}+{r_{2}}){x}}+{a_{2}}{({r_{1}}{r_{2}})}}}$$ ${\displaystyle n=2}$

誘導ステップ:

帰納的仮説がすべての に対して成り立つと仮定すると、それはすべての に対して成り立つはずです。因数定理により、 は0 の余りを残して因数分解できます。角括弧内の多項式の根は であることに注意してください。角括弧内の多項式から、主係数を因数分解します。簡単にするために、多項式の係数と定数を と表記します。帰納的仮説を用いると、角括弧内の多項式は と書き直すことができます。分配法則を用いると、同類項を展開してまとめた後、帰納的仮説は に対して成り立つので、 は でなければなりません。${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle {P(x)}={a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}$$ ${\displaystyle {(x-r_{n+1})}}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle r_{1},r_{2},\cdots ,r_{n}}$ $${\displaystyle {P(x)}={(x-r_{n+1})}{[{\frac {{a_{n+1}}{x^{n+1}}+{{a_{n}}{x^{n}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}}{x-r_{n+1}}}]}}$$ ${\displaystyle a_{n+1}}$ ${\displaystyle P(x)}$ $${\displaystyle {P(x)}={(a_{n+{1}})}{(x-r_{n+1})}{[{\frac {{x^{n+1}}+{\frac {{a_{n}}{x^{n}}}{(a_{n+{1}})}}+{\cdots }+{{\frac {a_{1}}{(a_{n+{1}})}}{x}}+{\frac {a_{0}}{(a_{n+{1}})}}}{x-r_{n+1}}}]}}$$ ${\displaystyle \zeta }$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}+{\zeta _{n-1}x^{n-1}}+{\cdots }+{\zeta _{0}}]}}$$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{(x-r_{n+1})}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}}$$ $${\displaystyle P(x)={(a_{n+1})}{({x}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]}{-r_{n+1}}{[{x^{n}}-{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}]})}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{P(x)}={{a_{n+1}}{x^{n+1}}}-{a_{n+1}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}+{r_{n+1}}){x^{n}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n+1}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}}{r_{n+1}})}}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$

結論:両辺を で割ると、Vieta の公式が正しいことが証明されます。 $${\displaystyle {a_{n}}{x^{n}}+{{a_{n-1}}{x^{n-1}}}+{\cdots }+{{a_{1}}{x}}+{{a}_{0}}={{a_{n}}{x^{n}}}-{a_{n}}{({r_{1}}+{r_{2}}+{\cdots }+{r_{n}}){x^{n-1}}}+{\cdots }+{{(-1)^{n}}{({r_{1}}{r_{2}}{\cdots }{r_{n}})}}}$$ ${\displaystyle a_{n}}$

歴史

ヴィエタの公式に類似した手法は、12世紀のイスラム数学者シャラフ・アッディーン・アル＝トゥースィーの著作に見られる。オマル・ハイヤーム、アル＝トゥースィー、アル＝カーシーといった他のイスラム数学者による代数学の進歩が16世紀の代数学者に影響を与えた可能性は高く、その中でもヴィエタが最も顕著であった。^{[ 1 ] [ 2 ]}

これらの公式は、正の根の場合について、 16 世紀フランスの数学者フランソワ・ヴィエトによって導き出されました。

ファンクハウザーが引用した18世紀イギリスの数学者チャールズ・ハットンの意見によれば、^{[ 3 ]}一般原理（正の実根に限定されない）は17世紀フランスの数学者アルベール・ジラールによって初めて理解された。

…[ジラールは]根とその積の和からべき乗の係数を形成するという一般論を理解した最初の人物でした。彼は、あらゆる方程式の根のべき乗の和を求める規則を発見した最初の人物でした。

参照

• 内容（代数）
• デカルトの記号の規則
• ニュートンの恒等式
• ガウス・ルーカスの定理
• 多項式根の性質
• 有理根定理
• 対称多項式と 基本対称多項式

注記

1. Ypma, Tjalling J. (1995). 「ニュートン・ラプソン法の歴史的発展」 . SIAM Review . 37 (4): 534. doi : 10.1137/1037125 . ISSN  0036-1445 . JSTOR  2132904 .
2. 「フランソワ・ヴィエト - 伝記」 .数学史. 2025年1月7日閲覧。
3. (ファンクハウザー 1930 )

参考文献

• 「ヴィエトの定理」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ファンクハウザー、H. グレイ(1930)、「方程式の根の対称関数の歴史に関する短い説明」、アメリカ数学月刊誌、37 (7)、アメリカ数学協会: 357– 365、doi : 10.2307/2299273、JSTOR  2299273
• Vinberg, EB (2003), 『代数学講座』、アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、ISBN 0-8218-3413-4
• Djukić, Dušan; et al. (2006), The IMO compendium: a collection of problems suggests for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004 , Springer, New York, NY, ISBN 0-387-24299-6