ヴィラルソーサークル

ヴィラルソー円はトーラスと平面の交差である

トーラスを特殊な平面で切断すると、ヴィラルソー円と呼ばれる一対の円が現れる。切断面はトーラスの中心を通り、トーラスの2つの対心点で接する。これらの点で円は交差する。

幾何学において、ヴィラルソー円（/ v iː l ɑːr ˈ s oʊ / ）は、トーラスの中心を特殊な角度で斜めに 切ることで生成される一対の円である。

トーラス上の任意の点が与えられたとき、その点を通る4つの円を描くことができます。1つはトーラスの赤道面に平行な平面上にあり、もう1つはその平面に垂直な円です（これらは地球上の緯線と経線に類似しています）。残りの2つはヴィラルソー円です。ヴィラルソー円は、トーラスの中心を通り、2つの対蹠点でトーラスに接する平面とトーラスの交点として得られます。これらすべての平面を考慮すると、トーラス上に2つの円族が得られます。これらの円族はそれぞれ、トーラスの各点を1回だけ覆う互いに素な円で構成され、トーラスの 1次元葉理を形成します。

ヴィラルソー円は、1848 年にそれについて著作を書いたフランスの天文学者で数学者のイヴォン・ヴィラルソー(1813 年 - 1883 年) にちなんで名付けられました。

例

原点を中心とし、長半径5、短半径3のXYZ空間における水平トーラスを考えてみましょう。これは、トーラスが、水平XY平面における半径5の円を中心とする、半径3の垂直円の軌跡であることを意味します。このトーラス上の点は、次の式を満たします。

${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+16)^{2}-100(x^{2}+y^{2}).\,\!}$

z  = 0平面でスライスすると、 2つの同心円x ²  +  y ²  = 2 ²とx ²  +  y ²  = 8 ²（外側の赤道と内側の赤道）が生成されます。x = 0平面でスライスすると 、2つの隣り合った円 ( y  − 5) ²  +  z 2  = 3 ²と ( y  + 5) ²  +  z ²  = 3 ^2が生成されます。

平面 3 y  = 4 zで切断すると、2つのヴィラルソー円の例が得られます。1つは(+3, 0, 0)を中心とし、もう1つは(-3, 0, 0)を中心とし、どちらも半径は5です。これらは媒介変数形式 で次のように表すことができます。

${\displaystyle (x,y,z)=(+3+5\cos \vartheta ,4\sin \vartheta ,3\sin \vartheta )\,\!}$

そして

${\displaystyle (x,y,z)=(-3+5\cos \vartheta ,4\sin \vartheta ,3\sin \vartheta )\,\!}$

スライス面は、トーラスの中心を通る2点でトーラスに接するように選ばれます。スライス面は(0, 16/5, 12/5)と(0, -16/5, -12/5)で接します。スライス角度は、選択されたトーラスの寸法によって一意に決まります。任意の1つの平面をz軸を中心に回転させると、そのトーラスのすべてのヴィラルソー円が得られます。

存在と方程式

トーラス上のヴィラルソー円。下の図では、投影が切断面に直交しているため、円の真の形状が表れています。

ヴィラルソー円の2本の鉛筆で描いたトーラス

ヴィラルソー円（マゼンタ、緑）は、与えられた点（赤）を通ります。任意の点に対して、その点を含むトーラス上に4つの円が存在します。

円の存在は、スライス面がトーラスの2点で接しているという事実から証明できます。トーラスの特徴の1つは、回転面であることです。一般性を失うことなく、回転軸がz軸になるように座標系を選択します（右の図を参照）。yz平面で、中心が(0,  R , 0)である半径rの円から始めます。 この円 をz軸の周りでスイープすると、 yが( x ²  +  y ² ) ^1/2に置き換えられ、平方根をクリアすると、トーラスの4次方程式が生成されます。yz 平面で スイープされた表面の断面には、方程式 $${\displaystyle 0=(yR)^{2}+z^{2}-r^{2}.}$$ $${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2}).}$$ $${\displaystyle 0=(y+R)^{2}+z^{2}-r^{2}.}$$

この円のペアは、2本の共通の内部接線を持ち、その傾きは、斜辺Rと対辺r（接点で直角になる）を持つ直角三角形の原点から求められます。したがって、これらの接線上では、z / yは± r /( R ²  −  r ² ) ^1/2に等しく、プラス記号を選択すると、トーラスに 二接する平面の方程式が得られます。この平面とトーラスの交点を解析的に計算すると、結果として、中心がRで半径がR の対称な円のペアが得られることがわかります。$${\displaystyle yr=z{\sqrt {R^{2}-r^{2}}}.}$$ ${\displaystyle (\pm r,0,0).}$

これらの円のパラメータ記述は $${\displaystyle (x,y,z)={\Big (}{\pm r}+R\cos \vartheta ,\ {\sqrt {R^{2}-r^{2}}}\sin \vartheta ,\ r\sin \vartheta {\Big )}。$$

これらの円は、( r ,0,0)または(−r , 0,0)を中心とするxy平面内の半径Rの円から始めて、この円をx軸を中心にarcsin( r / R )の角度で回転させることによっても得られます。

こうした考え方はCoxeter（1969）に示されています。^{[ 1 ]}

より抽象的で柔軟なアプローチが Hirsch (2002) ^{[ 2 ]}によって、射影設定で 代数幾何学を使用して説明されました。トーラスの同次 4 次方程式でw を0 に 設定すると、「無限遠平面」との交差が得られ、方程式が に簡約されます 。 この交差点は 2 重点であり、実際には 2 回数えられた 2 重点です。さらに、これはすべての二重接平面に含まれます。2 つの接点も 2 重点です。したがって、理論では 4 次でなければならない交差曲線には、4 つの 2 重点が含まれます。ただし、4 次を超える 2 重点を持つ 4 次方程式は因数分解する必要があり (既約にはできない)、対称性により因数は 2 つの合同な円錐曲線、つまり 2 つのヴィラルソーの円 でなければならないこともわかっています。$${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}w^{2}-r^{2}w^{2})^{2}-4R^{2}w^{2}(x^{2}+y^{2}),}$$ $${\displaystyle 0=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}.}$$

ヒルシュはこの議論を円錐曲線によって生成される任意の回転面に拡張し、交差曲線が実数である場合、二接平面との交差により、生成元と同じタイプの 2 つの円錐曲線が生成されなければならないことを示しています。

充填空間とホップファイバ

トーラスは、円S ¹をファイバーとして持つ通常の球面 S 2 上の3^次元球面 S 3 のホップ^ファイブレーションにおいて中心的な役割を果たします。3 次元球面をステレオ射影によってユークリッド 3 次元空間にマッピングすると、ファイバーマップの下のS ²上の緯度円の逆像がトーラスになり、ファイバー自体はヴィラルソーの円になります。^{[ 3 ]}バンコフは、コンピュータグラフィックス画像を使用してこのようなトーラスを研究しました。^{[ 4 ]}ホップファイブレーションを構成する円に関する珍しい事実の 1 つは、各円が、それ自身のトーラス内の円だけでなく、空間全体を満たすトーラスを構成する円を介して、他のすべての円にリンクしていることです。バーガーはこれについての説明と図を示しています。^{[ 5 ]}

その他の特性

マンハイム（1903）は、ヴィラルソー円がトーラスの平行円断面すべてと等角で交わることを示したが、これは1891年の会議でシェルシェール大佐が発表した結果だという。^{[ 6 ]}

参照

• ホップファイブレーション
• トーリックセクション
• ヴェシカ・ピシス

引用

1. コクセター 1969 .
2. ヒルシュ 2002 .
3. Dorst 2019、§6. ホップファイバ化と4Dからの立体投影。
4. バンチョフ 1990 .
5. Berger 1987、pp. 304–305、§18.9: Villarceau円とパラタキシー。
6. マンハイム 1903年。

参考文献

• バンチョフ、トーマス・F. (1990). 『三次元を超えて』 サイエンティフィック・アメリカン・ライブラリー. ISBN 978-0-7167-5025-3。
• バーガー、マルセル (1987).幾何学 II . シュプリンガー. ISBN 978-3-540-17015-0。
• コクセター, HSM (1969).幾何学入門(第2版). Wiley. pp.  132–133 . ISBN 978-0-471-50458-0。
• ヒルシュ, アントン (2002). 「『ヴィラルソー断面』の円錐曲線生成面への拡張」 . Journal for Geometry and Graphics . 6 (2). レムゴー（ドイツ）: Heldermann Verlag: 121– 132. ISSN  1433-8157 .
• マサチューセッツ州マンハイム（1903年）。 「シェルシェルの理論」。Nouvelles Annales de Mathématiques。シリーズ第 4 巻、第 3 巻。パリ: Carilian-Gœury et Vor。ダルモント: 105–107。
• シュタッヘル、ヘルムート (2002). 「ヴィラルソー断面に関するA. ヒルシュの論文に関する考察」 . Journal for Geometry and Graphics . 6 (2). レムゴー（ドイツ）：ヘルダーマン出版：133–139 . ISSN  1433-8157 .
• イヴォン・ヴィラルソー、アントワーヌ・ジョゼフ・フランソワ（1848年）。 「テオレーム・シュル・ル・トーレ」。Nouvelles Annales de Mathématiques。シリーズ 1. 7。パリ: Gauthier-Villars: 345–347 . OCLC: 2449182。
• Dorst, Leo (2019). 「共形ヴィラルソー回転子」 .応用クリフォード代数の進歩. 29 (44). doi : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID  253592159 .

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「ヴィラルソー円」。MathWorld 。
• 三次元球面の平坦トーラス
• （フランス語）トーラスの円（Les cercles du tore）