フォークト記法

数学において、多重線型代数におけるフォークト表記法またはフォークト形式は、対称テンソルをその次数を減らすことによって表す方法です。 ^[1]この考え方にはいくつかの変種と関連した名前があり、マンデル表記法、マンデル–フォークト表記法、ナイ表記法などがあります。ケルビン表記法は、ヘルビッヒ^[2]がケルビン卿の古い考えを復活させたものです。違いは、テンソルの選択された要素に付けられる特定の重みにあります。命名法は、応用分野での伝統的な方法によって異なる場合があります。この表記法は、物理学者のウォルデマール・フォークト^[1]とジョン・ナイ (科学者)にちなんで名付けられました。

例えば、2×2対称テンソルXは3つの異なる要素しか持たず、そのうち2つは対角要素、もう1つは非対角要素です。したがって、Xをベクトルとして表現することで、情報を失うことなく階数を下げられます。

$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}\\x_{12}&x_{22}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{11}\\x_{22}\\x_{12}\end{bmatrix}}.}$$

フォークト表記法は、材料科学において、ランク 2 の応力テンソルとひずみテンソル、およびランク 4 の剛性テンソルとコンプライアンス テンソルの表現を簡素化するために使用されます。

3×3 の応力テンソルとひずみテンソルの完全な形は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}\quad }$ そして。${\displaystyle \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$

ヴォイト表記法では、これらの行列（など） の対称性を利用して、代わりに 6×1 ベクトルとして表現します。${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$

${\displaystyle {\underline {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\quad }$ そして${\displaystyle \quad {\underline {\varepsilon }}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}:={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\\gamma _{23}\\\gamma _{13}\\\gamma _{12}\end{bmatrix}}}$

ここで、、、は工学的せん断ひずみです。 ${\displaystyle \gamma _{12}=2\varepsilon _{12}}$ ${\displaystyle \gamma _{23}=2\varepsilon _{23}}$ ${\displaystyle \gamma _{13}=2\varepsilon _{13}}$

応力とひずみに異なる表現を使用する利点は、スカラー不変性 が維持されることです。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}={\underline {\sigma }}\cdot {\underline {\varepsilon }}}$$

この表記法により、3次元対称の4次剛性、コンプライアンス、テンソルを6×6行列に簡約できるようになりました。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle S}$

$${\displaystyle C_{ijkl}\Rightarrow C_{\alpha \beta }={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}.}$$

記憶術のルール

Voigt 記法を覚えるための 簡単な記憶規則は次のとおりです。

• 2次テンソルを行列形式で書き出す（例では応力テンソル）
• 斜めに打ち消す
• 3列目に続く
• 最初の行の最初の要素に戻ります。

Voigt インデックスは、開始点から終了点まで連続して番号が付けられます (例では、青色の番号)。

下の図はインデックスの順序も示しています。 $${\displaystyle {\begin{matrix}ij&=\\\Downarrow &\\\alpha &=\end{matrix}}{\begin{matrix}11&22&33&23,32&13,31&12,21\\\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\Downarrow &\\1&2&3&4&5&6\end{matrix}}}$$

マンデル記法

2階対称テンソルの場合 、6つの成分のみが区別され、そのうち3つは対角成分であり、残りは非対角成分である。したがって、マンデル記法^[3]では、ベクトル $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}^{M}=\langle \sigma _{11},\sigma _{22},\sigma _{33},{\sqrt {2}}\sigma _{23},{\sqrt {2}}\sigma _{13},{\sqrt {2}}\sigma _{12}\rangle .}$$

マンデル表記法の主な利点は、ベクトルで使用されるのと同じ従来の演算を使用できることです。たとえば、次のようになります。 $${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {\sigma }}={\tilde {\sigma }}^{M}\cdot {\tilde {\sigma }}^{M}=\sigma _{11}^{2}+\sigma _{22}^{2}+\sigma _{33}^{2}+2\sigma _{23}^{2}+2\sigma _{13}^{2}+2\sigma _{12}^{2}.}$$

を満たす4階対称テンソルは3次元空間に81個の成分を持つが、そのうち異なる成分は36個だけである。したがって、マンデル記法では次のように表される。 ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{jikl}}$ ${\displaystyle D_{ijkl}=D_{ijlk}}$ $${\displaystyle {\tilde {D}}^{M}={\begin{pmatrix}D_{1111}&D_{1122}&D_{1133}&{\sqrt {2}}D_{1123}&{\sqrt {2}}D_{1113}&{\sqrt {2}}D_{1112}\\D_{2211}&D_{2222}&D_{2233}&{\sqrt {2}}D_{2223}&{\sqrt {2}}D_{2213}&{\sqrt {2}}D_{2212}\\D_{3311}&D_{3322}&D_{3333}&{\sqrt {2}}D_{3323}&{\sqrt {2}}D_{3313}&{\sqrt {2}}D_{3312}\\{\sqrt {2}}D_{2311}&{\sqrt {2}}D_{2322}&{\sqrt {2}}D_{2333}&2D_{2323}&2D_{2313}&2D_{2312}\\{\sqrt {2}}D_{1311}&{\sqrt {2}}D_{1322}&{\sqrt {2}}D_{1333}&2D_{1323}&2D_{1313}&2D_{1312}\\{\sqrt {2}}D_{1211}&{\sqrt {2}}D_{1222}&{\sqrt {2}}D_{1233}&2D_{1223}&2D_{1213}&2D_{1212}\\\end{pmatrix}}.}$$

アプリケーション

例えば、一般化フックの法則などの材料をシミュレートする構成モデルを含む計算や、有限要素解析^[4]、拡散MRI ^[5]などに役立ちます。

フックの法則は、81個の要素（3×3×3×3）を持つ対称4階剛性テンソルを持つが、このような階数4のテンソルを対称階数2のテンソルに適用すると、別の対称階数2のテンソルが生成されるため、81個の要素すべてが独立しているわけではない。フォークト記法を用いると、このような階数4のテンソルを6×6行列で表すことができる。しかし、フォークト記法では平方和が保存されないため、フックの法則の場合、平方和は幾何学的な意味を持つ。これが、重みが導入される理由である（写像を等長写像にするため）。

ヴォイクト記法とマンデル記法の不変性に関する議論はヘルンヴァイン（2001）に記載されている。^[6]

参照

• ベクトル化（数学）
• フックの法則
• 線形弾性#異方性均質媒体

参考文献

1. ヴォルデマール・フォークト (1910)。 Lehrbuch der Kristallphysik。トイブナー、ライプツィヒ。2016 年11 月 29 日に取得。
2. クラウス・ヘルビッヒ (1994)。探査地震学の異方性の基礎。ペルガモン。ISBN 0-08-037224-4。
3. ジャン・マンデル (1965)。 「WTコイターのプラスチック理論の一般化」。固体と構造の国際ジャーナル。1 (3): 273–295。土井:10.1016/0020-7683(65)90034-x。
4. OC Zienkiewicz、RL Taylor、JZ Zhu (2005).有限要素法：その基礎と原理（第6版）. Elsevier Butterworth—Heinemann. ISBN 978-0-7506-6431-8。
5. Maher Moakher (2009). 「4次テンソルの代数と拡散MRIへの応用」.テンソル場の可視化と処理. 数学と可視化. Springer Berlin Heidelberg. pp.  57– 80. doi :10.1007/978-3-540-88378-4_4. ISBN 978-3-540-88377-7。
6. Peter Helnwein (2001年2月16日). 「対称2次および4次テンソルの圧縮行列表現に関する若干の考察」.応用力学・工学におけるコンピュータ手法. 190 ( 22–23 ): 2753–2770 . Bibcode :2001CMAME.190.2753H. doi :10.1016/s0045-7825(00)00263-2.