フォン・ノイマンの象

フェルミ・フォン・ノイマン象

娯楽数学において、フォン・ノイマンの象とは、わずか4つの固定パラメータから象の形をした平面曲線を描く問題です。物理学者ジョン・フォン・ノイマンとエンリコ・フェルミの議論に端を発し、物理学においては、パラメータが多すぎて過剰適合し、結果としてあらゆる実験データと一致してしまうため、反証不可能かつ非科学的となるモデルを特徴付けるために用いられます。

歴史

2004年のネイチャー誌の記事で、フリーマン・ダイソンは1953年にフェルミと会った時のことを回想している。フェルミはダイソンが提唱していた斬新な理論について議論していた際、厳しい批判を行った。「理論物理学には計算を行う方法が2つある。1つは…計算している過程を明確に物理的に捉えること。もう1つは、正確で自己矛盾のない数学的形式主義を持つこと。君はどちらも持っていない」。ダイソンはこれに対し、自身の理論はフェルミ自身のデータと一致すると反論した。フェルミはダイソンが用いたいくつかの任意のパラメータについて質問し、それが4つあることを知ると、友人のフォン・ノイマンの言葉を引用した。^{[ 1 ]}

「4つのパラメータを使えば象をフィットさせることができます。5つを使えば象の鼻を揺らすことができます。」

彼がここで言いたいのは、ダイソンのシミュレーションは自由パラメータに依存しすぎていて、過剰適合現象を前提としているということだった。「驚愕した」ダイソンはその主張に同意し、学生たちが研究誌に名前を載せられるように論文集を完成させ、別の研究分野へと転向した。^{[ 1 ]}

このフレーズは「象をモデル化する方法は1つだけではない。アクチン細胞骨格の実験駆動型モデリング」のように、無関係な研究論文のタイトルにも使われるほど普及した。^{[ 2 ]}

工事

時が経つにつれ、この問題（4つの複素数を定義して象のような形を描く）の解決は、娯楽数学の話題となりました。1975年に行われた最小二乗関数近似による試みでは、数十の項が必要でした。^{[ 3 ]} 2010年には、3人の物理学者によって4つのパラメータを用いた近似値が発見されました。^{[ 4 ]}

この構成は複素フーリエ解析に基づいている。^{[ 4 ]}

2010 年に発見された曲線は次のようにパラメータ化されます。

${\displaystyle \left\lbrace {\begin{array}{lcccccc}x(t)&=&-60\cos(t)&+30\sin(t)&-8\sin(2t)&+10\sin(3t)\\y(t)&=&50\sin(t)&+18\sin(2t)&-12\cos(3t)&+14\cos(5t)\end{array}}\right.}$

使用される4つの固定パラメータは複雑で、接辞はz ₁ = 50 - 30i、z ₂ = 18 + 8i、z ₃ = 12 - 10i、z ₄ = -14 - 60iである。接辞点z ₅ = 40 + 20iは象の目を作るために追加され、この値は「鼻」の動きのパラメータとして機能している。^{[ 4 ]}

その他のフォン・ノイマン象

フォン・ノイマンは「象」という言葉を線形性や平衡点の同義語としても用いた。象、平衡点、線形システムはいずれも自然界では等しく稀であり、したがってそれらに関する記述は自明ではなく、対応する理論も意味を持つ。象以外のもの（非平衡点や非線形性）に関する記述や理論は、必然的に範囲が広すぎて実用には適さない。^{[ 5 ]}

参照

• 外旋円体
• 曲線フィッティング

参考文献

1. Dyson, Freeman (2004年1月22日). 「エンリコ・フェルミとの会合」 . Nature . 427 (6972): 297. Bibcode : 2004Natur.427..297D . doi : 10.1038/427297a . PMID  14737148 .
2. Ditlev, Jonathon A., Bruce J. Mayer, Leslie M. Loew.象をモデル化する方法は複数ある。アクチン細胞骨格の実験駆動型モデリング（Wayback Machineで2019年9月26日にアーカイブ）. // Biophysical journal 104.3 (2013): 520-532.
3. Wei, James (1975). 「象の最小二乗法」. Chemtech . 5 (2): 128–129 .
4. マイヤー, ユルゲン; カイリー, カレド; ハワード, ジョナサン (2010年5月12日). 「4つの複素パラメータで象を描く」. American Journal of Physics . 78 (6): 648– 649. Bibcode : 2010AmJPh..78..648M . doi : 10.1119/1.3254017 .
5. Christopher T. May.非線形価格設定：理論と応用. John Wiley & Sons, 1999年2月22日. p. 55.

外部リンク

• Wolfram Demonstrations Project サイトの「象の取り付け」