フォン・ノイマンのパラドックス

数学において、フォン・ノイマンのパラドックス（フォン・ノイマンのパラドックス）は、ジョン・フォン・ノイマンにちなんで名付けられたもので、単位正方形などの平面図形を点の集合に分解し、各集合に対して面積保存アフィン変換を施すことで、元の図形と同じ大きさの2つの平面図形が得られるという考え方である。これは1929年にジョン・フォン・ノイマンによって選択公理を仮定して証明された。これは、より初期のバナッハ＝タルスキーのパラドックスに基づいており、バナッハ＝タルスキーのパラドックスはハウスドルフのパラドックスに基づいている。

バナッハとタルスキは、等長変換を用いて二次元図形を分解・再構成した結果は、必ず元の図形と同じ面積になることを証明した。これでは、一つの単位正方形から二つの単位正方形を作ることは不可能である。しかしフォン・ノイマンは、このようないわゆる逆説的分解の鍵は、二つの生成元を持つ自由群を部分群として含む変換群を用いることにあることに気づいた。面積保存変換群（特殊線型群であれ特殊アフィン群であれ）はそのような部分群を含み、これを用いて逆説的分解を行う可能性を開く。

方法の概要

以下は、フォンノイマンによって発見された手法の非公式な説明です。単位元から遠くない 2 つの変換 σ と τ によって生成される、面積保存線形変換の自由群Hがあるとします。自由群とは、そのすべての元が、あるnに対しての形式で一意に表現できることを意味します。ここで、s とs はすべて非ゼロの整数ですが、最初と最後のは例外です。この群は、左側で σ の非ゼロ乗で始まる部分 (この集合をAと呼びます) と、τ の非ゼロ乗で始まる部分 (つまり、がゼロで、この集合をBと呼び、単位元を含みます) の 2 つの部分に分けることができます。 $\sigma ^{u_{1}}\tau ^{v_{1}}\sigma ^{u_{2}}\tau ^{v_{2}}\cdots \sigma ^{u_{n}}\tau ^{v_{n}}$ $u$ $v$ $u$ $v$ $u_{1}$

ユークリッド 2 次元空間の任意の点にHのさまざまな要素を作用させると、その点の軌道と呼ばれるものが得られます。したがって、平面上のすべての点は軌道に分類でき、連続体の濃度を持つ無限数存在します。選択公理を使用して、各軌道から 1 つの点を選び、これらの点の集合をMと呼ぶことができます。原点はHの不動点であるため、ここでは除外します。次に、 MにHのすべての要素を作用させると、平面上の各点 (原点を除く) が 1 回だけ生成されます。 MにAまたはBのすべての要素を作用させると、原点以外のすべての点が和集合となる 2 つの互いに素な集合が得られます。

ここで、単位正方形や単位円板などの図形を取ります。次に、その図形に完全に含まれる別の図形、たとえば原点を中心とする小さな正方形を選択します。大きな図形を小さな図形の複数のコピーで覆うことができますが、いくつかの点は 2 つ以上のコピーで覆われます。次に、大きな図形の各点を小さな図形のコピーの 1 つに割り当てることができます。各コピーに対応する集合をと呼びます。次に、面積保存変換のみを使用して、大きな図形の各点をその内部の点に 1 対 1 でマッピングします。に属する点を取り、正方形の中心が原点になるように移動します。次に、上で定義した集合Aに含まれる点を取り、面積保存演算 σ τ をそれらに作用させます。これにより、それらの点は集合Bに入れられます。次に、 Bに属する点を取り、それらに σ ^{2を作用させます。それらの点は依然として}Bにありますが、これらの点の集合は前の集合とは互いに素になります。この方法で、C _2のA点（中心化後）にはσ ³ τ を、 B点にはσ ⁴を用いるなどして進めていきます。このようにして、大きな図形のすべての点（一部の固定点を除く）を、中心からそれほど離れておらず、大きな図形内にあるB型点に1対1でマッピングしました。次に、 A型点への2番目のマッピングを行います。 $C_{1},C_{2},\dots ,C_{m}$ $C_{1}$ $C_{1}$

この時点で、カントール・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理の方法を適用できます。この定理によれば、集合Dから集合Eへの単射(たとえば、大きな図形からその中のAタイプの点への単射) があり、かつ EからDへの単射(たとえば、図中のAタイプの点からそれら自身への恒等写像) がある場合、 DとEの間には1 対 1 の対応があります。言い換えると、大きな図形からその中のA点のサブセットへの写像があれば、大きな図形からその中のすべてのA点への写像 (一対一) を作成できます。 (領域によっては点がそれら自身に写像され、他の領域では前の段落で説明した写像を使用して点が写像されます。) 同様に、大きな図形からその中のすべてのB点への写像を作成できます。したがってこれを逆に考えると、図形をA 点とB点に分離し、次にこれらをそれぞれ全体の図形 (つまり、両方の種類の点を含む) に写像することができます。

このスケッチでは、固定点の扱い方など、いくつかの点が軽視されています。これを回避するには、より多くのマッピングとより多くの集合が必要であることが判明しました。

結果

正方形のパラドックスは次のように強化することができます。

空でない内部を持つユークリッド平面の任意の 2 つの有界部分集合は、面積保存アフィン写像に関して等分合成可能です。

これは測度の問題に関連する結果をもたらす。フォン・ノイマンは次のように指摘している。

「Infolgedessen gibt es bereits in der Ebene kein nichtnegatives additives Maß (wo das Einheitsquadrat das Maß 1 hat), dass [sic] gegenüber allen Abbildungen von A ₂ invariant wäre.」^{[ 1 ]}

「これに従って、平面内には、 A ₂ [面積保存アフィン変換のグループ]に属するすべての変換に対して不変である非負の加法測度 (単位正方形の測度が 1 であるもの) は存在しません。」

これをもう少し説明すると、特定の変換の下で保存される有限加法測度が存在するかどうかという問題は、どのような変換が許されるかに依存します。平面上の集合のバナッハ測度は、並進と回転によって保存されますが、非等長変換では、多角形の面積を保存する場合でも保存されません。前述のように、平面上の点（原点以外）は、AとBと呼ぶ2つの稠密集合に分割できます。ある多角形の点Aをある面積保存変換によって変換し、点Bを別の面積保存変換によって変換すると、両方の集合は2つの新しい多角形における点Bの部分集合になることができます。新しい多角形は元の多角形と同じ面積を持ちますが、変換された2つの集合は（ B点の一部しか含まないため）以前と同じ測度を持つことはできません。したがって、「有効な」測度は存在しません。

バナッハ＝タルスキー現象の研究過程でフォン・ノイマンが分離した群のクラスは、数学の多くの分野において非常に重要であることが判明した。これらは従属群、つまり不変平均を持つ群であり、すべての有限群とすべての可解群を含む。一般的に、逆説的な分解は、等分解可能性の定義において同値性を表す群が従属的でない場合に生じる。

参照

集合論のパラドックス

参考文献

^ p. 85 のうち: von Neumann, J. (1929)、「Zur allgemeinen Theorie des Masses」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、13 : 73–116、doi : 10.4064/fm-13-1-73-116
^ Laczkovich、Miklós (1999)、「SL ₂ [ R ] に基づく逆説集合」、Ann.大学科学。ブダペスト。エトヴェシュ宗派数学。、42：141～ 145

[1] . 85 のうち: von Neumann, J. (1929)、「Zur allgemeinen Theorie des Masses」(PDF)、Fundamenta Mathematicae、13 : 73–116、doi : 10.4064/fm-13-1-73-116

[2] Laczkovich、Miklós (1999)、「SL ₂ [ R ] に基づく逆説集合」、Ann.大学科学。ブダペスト。エトヴェシュ宗派数学。、42：141～ 145

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フォン・ノイマンのパラドックス

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結果

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