渦格子法
数値流体力学で使用される数値手法
UVLM に基づく空気力学シミュレーション用のオープン ソース フレームワークである Open VOGEL を使用した飛行機のシミュレーション。

渦格子法（VLM）は、数値流体力学において用いられる数値解析手法であり、主に航空機設計の初期段階や大学レベルの空気力学教育において用いられます。VLMは、航空機の翼などの揚力面を、離散的な渦の無限に薄いシートとしてモデル化し、揚力と誘導抗力を計算します。厚みと粘性の影響は無視されます。

VLMは、基本的な幾何学的定義を用いて翼周りの流れを計算できます。長方形の翼であれば、翼幅と翼弦長が分かれば十分です。一方、VLMは、かなり複雑な航空機形状（テーパー、キンク、ねじれ、キャンバー、後縁制御面など、複数の揚力面を持つ形状）の周りの流れを記述できます。

流れ場をシミュレートすることで、シミュレートされた物体の周囲の圧力分布、あるいはVLMの場合は力の分布を抽出できます。この知識は、概念設計段階で航空機の操縦性を評価する上で重要な空力係数とその導関数を計算するために使用されます。翼上の圧力分布の初期推定値に基づいて、構造設計者は翼、垂直安定板、尾翼、その他の揚力面の荷重支持部の設計を開始できます。さらに、VLMは粘性抵抗を計算できませんが、揚力の発生に起因する誘導抵抗を推定できます。したがって、巡航状態では抗力と推力のバランスをとる必要があるため、推進グループはVLMシミュレーションから重要なデータも得ることができます。

歴史的背景

ジョン・デヤングはNASAラングレーワークショップの文書SP-405の中でVLMの背景の歴史を説明しています。[1]

VLMはプラントルの揚力線理論[2]の拡張版であり、航空機の翼を無数の馬蹄渦としてモデル化しています。この名称は、1946年の航空研究会議論文[3]でVM Falknerによって提唱されました。その後、この手法はWP Jones、H. Schlichting、GN Wardらによってさらに発展・改良されてきました。

必要な計算は手作業で実行できますが、VLM は大量の計算を必要とする場合にコンピューターの登場の恩恵を受けました。

揚力線理論では翼ごとに1つの馬蹄渦しか使用されませんが、VLMでは、1943年にフォークナーがこのテーマに関する最初の論文で述べたように、馬蹄渦の格子構造を利用します。[4]使用される渦の数は、必要な圧力分布解像度と、計算される空力係数の精度によって異なります。典型的な渦の数は、航空機の翼全体で約100個です。 1949年にフォークナーが発表した航空研究会議の報告書には、「126格子の標準化以前は84格子の渦が使用されていた」と記載されています（4ページ）。[5]

この方法は、カッツ＆プロトキン[6]、アンダーソン[7] 、バーティン＆スミス[8] 、ホートン＆カーペンター[9]、ドレラ[10]などの主要な空気力学の教科書にわかりやすく記載されています。

理論

渦格子法は、ポテンシャル流とも呼ばれる理想流の理論に基づいています。理想流は自然界で経験される現実の流れを簡略化したものですが、多くの工学応用において、この簡略化された表現は工学的観点から重要な特性をすべて備えています。この手法では、すべての粘性効果が無視されます。乱流、散逸、境界層は全く考慮されません。ただし、揚力誘起抵抗は評価可能であり、特別な注意を払えば、一部の失速現象をモデル化することも可能です。

仮定

渦格子法における問題に関しては、次の仮定が立てられています。

方法

上記の仮定により、流れ場は保存ベクトル場であり、これは摂動速度ポテンシャルが存在し、その全速度ベクトルは次のように与えられる ことを意味する。 φ {\displaystyle \varphi } V {\displaystyle \mathbf {V} }

V ＝ V ∞ + ∇ φ {\displaystyle \mathbf {V} =\mathbf {V} _{\infty }+\nabla \varphi }

そしてそれはラプラス方程式を満たします。 φ {\displaystyle \varphi }

ラプラス方程式は2階線形方程式であり、そのため重ね合わせの原理に従います。つまり、と が線形微分方程式の2つの解である場合、線形結合も定数およびの任意の値の解になります。アンダーソン[7]が述べているように、「回転しない非圧縮性の流れの複雑なフローパターンは、回転しない非圧縮性であるいくつかの基本フローを加算することで合成できます。」このような基本フローは、点ソースまたはシンク、ダブレット、および渦線であり、それぞれがラプラス方程式の解です。これらをさまざまな方法で重ね合わせると、線ソース、渦シートなどを作成できます。渦格子法では、このような基本フローはそれぞれ、ある強度 を持つ馬蹄形渦の速度場です。 φ 1 {\displaystyle \varphi_{1}} φ 2 {\displaystyle \varphi_{2}} c 1 φ 1 + c 2 φ 2 {\displaystyle c_{1}\varphi _{1}+c_{2}\varphi _{2}} c 1 {\displaystyle c_{1}} c 2 {\displaystyle c_{2}} Γ {\displaystyle \Gamma}

航空機モデル

航空機の揚力面は複数の四角形パネルに分割され、各パネルに馬蹄渦とコロケーションポイント（または制御点）が配置される。渦の横断線はパネルの1/4弦の位置にあり、コロケーションポイントは3/4弦の位置にある。渦の強度を決定する。また、各コロケーションポイントには、実際の揚力面のキャンバー面に垂直な法線ベクトルも配置される。 Γ {\displaystyle \Gamma} n {\displaystyle \mathbf {n} }

パネルの問題の場合、コロケーション ポイントでの摂動速度は、空気力学的影響係数 (AIC) マトリックスの観点からすべての馬蹄渦の寄与を合計することによって与えられます。 北 {\displaystyle N} 私 {\displaystyle i} わ 私 j {\displaystyle \mathbf {w} _{ij}}

∇ φ 私 ＝ ∑ j ＝ 1 北 わ 私 j Γ j {\displaystyle \nabla \varphi _{i}=\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}}

自由流速度ベクトルは、自由流速度と迎え角および横滑り角で表されます。 V ∞ {\displaystyle V_{\infty}} α 、 β {\displaystyle \alpha ,\beta }

V ∞ ＝ V ∞ [ コス ⁡ α コス ⁡ β − 罪 ⁡ β 罪 ⁡ α コス ⁡ β ] {\displaystyle \mathbf {V} _{\infty }=V_{\infty }{\begin{bmatrix}\cos \alpha \cos \beta \\-\sin \beta \\\sin \alpha \cos \beta \end{bmatrix}}}

各コロケーション点にはノイマン境界条件が適用され、キャンバー面を横切る法線速度はゼロとなる。別の実装では、速度ポテンシャルに対してディリクレ境界条件を直接適用することもできる。

v 私 ⋅ n 私 ＝ （ V ∞ + ∑ j ＝ 1 北 わ 私 j Γ j ） ⋅ n 私 ＝ 0 {\displaystyle \mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {n} _{i}=\left(\mathbf {V} _{\infty }+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {w} _{ij}\Gamma _{j}\right)\cdot \mathbf {n} _{i}=0}

これは流れの接線条件とも呼ばれます。上記のドット積を評価すると、以下の連立方程式が得られます。新しい正規流速AIC行列はであり、右辺は自由流速と2つの空力角によって形成されます。 1つの 私 j ＝ わ 私 j ⋅ n 私 {\displaystyle a_{ij}=\mathbf {w} _{ij}\cdot \mathbf {n} _{i}} b 私 ＝ V ∞ [ − コス ⁡ α コス ⁡ β 、 罪 ⁡ β 、 − 罪 ⁡ α コス ⁡ β ] ⋅ n 私 {\displaystyle b_{i}=V_{\infty}[-\cos \alpha \cos \beta ,\sin \beta ,-\sin \alpha \cos \beta ]\cdot \mathbf {n} _{i}}

[ 1つの 11 1つの 12 ⋯ 1つの 1 北 1つの 21 ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 1つの 北 1 ⋯ ⋯ 1つの 北 北 ] [ Γ 1 Γ 2 ⋮ Γ 北 ] ＝ [ b 1 b 2 ⋮ b 北 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1N}\\a_{21}&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\a_{N1}&\cdots &\cdots &a_{NN}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Gamma _{1}\\\Gamma _{2}\\\vdots \\\Gamma _{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{N}\end{bmatrix}}}

この連立方程式は、すべての渦の強度について解かれます。原点周りの全力ベクトルと全モーメントベクトルは、すべての馬蹄形渦に作用するすべての力の寄与を合計することで計算されます。ここで、は流体の密度です。 Γ 私 {\displaystyle \Gamma _{i}} F {\displaystyle \mathbf {F} } M {\displaystyle \mathbf {M} } F 私 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}} ρ {\displaystyle \rho }

F 私 ＝ ρ Γ 私 （ V ∞ + v 私 ） × l 私 {\displaystyle \mathbf {F} _{i}=\rho \Gamma _{i}(\mathbf {V} _{\infty }+\mathbf {v} _{i})\times \mathbf {l} _{i}}

F ＝ ∑ 私 ＝ 1 北 F 私 {\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}}

M ＝ ∑ 私 ＝ 1 北 F 私 × r 私 {\displaystyle \mathbf {M} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i}\times \mathbf {r} _{i}}

ここで、は渦の横方向セグメントのベクトルであり、 はこのセグメントの中心位置（共線点ではない） での摂動速度です。 l 私 {\displaystyle \mathbf {l} _{i}} v 私 {\displaystyle \mathbf {v} _{i}} r 私 {\displaystyle \mathbf {r} _{i}}

揚力と誘導抗力は、全力ベクトルの成分から得られる。横滑りがゼロの場合、これらは次のように与えられる。 × 、 y 、 z {\displaystyle x,y,z} F {\displaystyle \mathbf {F} }

D 私 ＝ F × コス ⁡ α + F z 罪 ⁡ α L ＝ − F × 罪 ⁡ α + F z コス ⁡ α {\displaystyle {\begin{array}{rcl}D_{i}&=&\;\;F_{x}\cos \alpha +F_{z}\sin \alpha \\L&=&\!-F_{x}\sin \alpha +F_{z}\cos \alpha \end{array}}}

動的ケースへの拡張

航空機の予備設計には、非定常空力モデルが必要であり、通常は空力弾性解析のために周波数領域で記述されます。一般的に用いられるのは、主翼系をパネルに分割するダブレット格子法です。各パネルには、第一四半期ラインに加速ポテンシャルのダブレットラインが設けられており、これは渦格子法で一般的に行われるものと類似しています。各パネルには、揚力が作用すると想定される荷重点と、空力弾性境界条件が適用される制御点が設けられています。周波数ゼロで評価されるダブレット格子法は、通常、渦格子定式化によって得られます。

参考文献

  1. ^ NASA、「渦格子利用」 NASA SP-405、NASAラングレー、ワシントン、1976年。
  2. ^ Prandtl. L,現代流体力学の航空学への応用、NACA-TR-116、NASA、1923年。
  3. ^ フォークナー、VM、「渦格子理論に基づく計算の精度」、Rep. No. 9621、British ARC、1946年。
  4. ^ フォークナー、VM、「あらゆる形状の表面に対する空気力学的荷重の計算」、R&M 1910、British ARC、1943年。
  5. ^ Falkner. VM、「圧縮性を考慮した2つの翼面荷重計算方法の比較」、R&M 2685、British ARC、1949年。
  6. ^ J. Katz、A. Plotkin、「Low-Speed Aerodynamics」、第2版、Cambridge University Press、Cambridge、2001年。
  7. ^ ab JD Anderson Jr,空気力学の基礎、第2版、McGraw-Hill Inc、1991年。
  8. ^ JJ Bertin、ML Smith、「エンジニアのための空気力学」、第3版、Prentice Hall、ニュージャージー、1998年。
  9. ^ EL Houghton、PW Carpenter、「工学部学生のための空気力学」、第4版、Edward Arnold、ロンドン、1993年。
  10. ^ M. Drela、「Flight Vehicle Aerodynamics」、MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ、2014年。
  • http://web.mit.edu/drela/パブリック/web/avl/
  • https://github.com/OpenVOGEL

出典

  • NASA、「渦格子利用」。NASA SP-405、NASAラングレー、ワシントン、1976年。
  • Prandtl. L,現代流体力学の航空学への応用、NACA-TR-116、NASA、1923年。
  • フォークナー、VM、「渦格子理論に基づく計算の精度」、Rep. No. 9621、British ARC、1946年。
  • J. Katz、A. Plotkin、「Low-Speed Aerodynamics」、第 2 版、Cambridge University Press、Cambridge、2001 年。
  • JD Anderson Jr, 『空気力学の基礎』、第 2 版、McGraw-Hill Inc、1991 年。
  • JJ Bertin、ML Smith、「エンジニアのための空気力学」、第 3 版、Prentice Hall、ニュージャージー、1998 年。
  • EL Houghton、PW Carpenter、「工学部学生のための空気力学」、第 4 版、Edward Arnold、ロンドン、1993 年。
  • Lamar, JE, Herbert, HE, NASA-Langley 渦格子FORTRANコンピュータプログラムの拡張版。第1巻：ユーザーズガイド、NASA-TM-83303、NASA、1982年
  • Lamar, JE, Herbert, HE, NASA-Langley 渦格子FORTRANコンピュータプログラムの拡張版。第2巻：ソースコード、NASA-TM-83304、NASA、1982年
  • Melin, Thomas,線形空力翼アプリケーションのための渦格子MATLAB実装、スウェーデン王立工科大学（KTH）、2000年12月
  • M. Drela, Flight Vehicle Aerodynamics、MIT Press、マサチューセッツ州ケンブリッジ、2014年。
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