渦シート

渦シートとは、流体力学において、流体の速度に不連続性（例えば、ある流体層が別の流体層上で滑り落ちる現象）がある表面を指す用語である。 ^{[ 1 ]}渦シート上では、流速の接線方向成分は不連続であるが、流速の法線方向成分は連続である。接線方向速度の不連続性は、渦シート上の 流れが無限大の渦度を持つことを意味する。

レイノルズ数が高い場合、渦層は不安定になる傾向があります。特に、ケルビン・ヘルムホルツ不安定性を示すことがあります。

渦シートの運動方程式は、複素座標 を用いて定式化される。シートは、 によって媒介変数的に記述される。ここで、 は座標と基準点 間の弧長 、は時間である。はシートの強度、すなわち接線方向不連続面のジャンプを表す。すると、シートによって誘起される速度場は、 ${\displaystyle z=x+iy}$ ${\displaystyle z(s,t)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \gamma (s,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\gamma (s',t)\mathrm {d} s'}{z(s,t)-z(s',t)}}}$

上記の式の積分はコーシー主値積分です。ここで、円弧長を持つ点 とシート内の 基準物質点 との間の積分されたシート強度または循環を と定義します。${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s=0}$

${\displaystyle \Gamma (s,t)=\int \limits _{0}^{s}\gamma (s',t)\mathrm {d} s'\qquad \mathrm {and} \qquad {\frac {\mathrm {d} \Gamma }{\mathrm {d} s}}=\gamma (s,t)}$

ケルビンの循環定理の結果として、シートに外力が作用していない場合、シート内の任意の2つの物質点間の循環は保存されるので、 となる。シートの運動方程式は、変数変換によってとを用いて書き直すことができる。パラメータ は に置き換えられる。つまり、 ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma /\mathrm {d} t=0}$ ${\displaystyle \Gamma}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \Gamma}$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\Gamma '}{z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t)}}}$

この非線形積分微分方程式はバーコフ・ロット方程式と呼ばれます。これは、与えられた初期条件における渦シートの発展を記述します。渦シートに関する詳細は、Saffman (1977) の教科書に記載されています。

渦シートの拡散

渦シートは粘性作用によって拡散する。 における一方向の平面流れを考える。 ${\displaystyle t=0}$

${\displaystyle u={\begin{cases}+U,&{\text{for }}y>0\\-U,&{\text{for }}y<0\end{cases}}}$

に渦層が存在することを示唆している。速度不連続は^{[ 2 ]}に従って滑らかになる。${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle u(y,t)={\frac {U}{2{\sqrt {\pi \nu t}}}}\left[\int _{0}^{\infty }e^{-(sy)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s-\int _{0}^{\infty }e^{-(s+y)^{2}/4\nu t}\mathrm {d} s\right].}$

ここでは動粘性係数である。唯一ゼロでない渦度成分は 方向であり、次式で表される。 ${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \omega _{z}=-{\frac {U}{\sqrt {\pi \nu t}}}e^{-y^{2}/4\nu t}}$ 。

周期境界を持つ渦シート

流れ方向に周期的な境界を持つ平坦な渦シートは、高レイノルズ数における一時的な自由せん断層をモデル化するために用いることができる。周期的な境界の間隔を長さ と仮定する 。すると、渦シートの運動方程式は次のように簡約される。 ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle {\frac {\partial z^{*}}{\partial t}}=-{\frac {\imath }{2}}\int \limits _{0}^{1}\cot \pi (z(\Gamma ,t)-z(\Gamma ',t))\;d\Gamma '}$

パネル法による連続渦シート近似。初期の正弦波摂動による渦シートの巻き上がり。

上記の式の積分はコーシーの主値積分であることに注意する。一定の強度を持つ平坦な渦シートの初期条件は である。平坦な渦シートは平衡解である。しかし、 という形の微小周期擾乱に対しては不安定である。線型理論によれば、フーリエ係数はに比例する速度で指数的に増加する。つまり、フーリエモードの波数が高くなるほど、その増加は速くなる。しかし、線型理論は初期状態を超えてあまり拡張できない。非線形相互作用を考慮に入れると、漸近解析により、大きく有限な （ ただしは臨界値）に対して、フーリエ係数は指数的に減少することが示される。渦シート解は、臨界時点で解析性を失うと予想される。Moore (1979)、および Meiron、Baker、Orszag (1983) を参照。 ${\displaystyle z(\Gamma ,0)=\Gamma }$ ${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }A_{k}\mathrm {e} ^{\imath 2\pi k\Gamma }}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle t<t_{c}}$ ${\displaystyle t_{c}}$ ${\displaystyle A_{k}}$

バーコフ・ロット方程式で与えられる渦シート解は、臨界時間を超えることはできない。渦シートにおける解析性の自発的な喪失は数学的モデリングの結果である。なぜなら、粘性を持つ実流体は、それがいかに小さくても、特異点を発現することは決してないからである。粘性は、実流体において平滑化パラメータまたは正則化パラメータとして作用する。渦シートについては広範囲にわたる研究が行われてきたが、そのほとんどは、特異点除去の有無にかかわらず、離散的または点渦近似によるものである。点渦近似とデルタ正則化を用いて、Krasny (1986) は、渦シートが二重に分岐した螺旋に滑らかに巻き上がることを達成した。点渦は本質的にカオス的であるため、丸め誤差の増加を制御するためにフーリエフィルタが必要である。循環密度の円弧状拡散を伴う渦パネルによる渦シートの連続近似も、シートが二重に分岐した螺旋に巻き上がることを示している。

多くの工学および物理学の応用において、時間的な自由せん断層の成長は重要な関心事である。自由せん断層の厚さは通常、運動量厚さによって測定され、これは次のように定義される。

${\displaystyle \theta =\int \limits _{y=-\infty }^{\infty }\left({\frac {1}{4}}-\left({\frac {\left\langle u\right\rangle }{2U}}\right)^{2}\right)\mathrm {d} y}$

ここで、は自由流の速度です。運動量厚さは長さの次元を持ち、無次元運動量厚さは で与えられます。運動量厚さは渦層の厚さを測定するために使用できます。 ${\displaystyle \left\langle u\right\rangle ={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}\ u(x,y,t)dx}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \theta _{ND}=\theta /L}$

参照

• 渦輪
• ハンバーガーの渦巻きシート

参考文献

1. McGraw-Hill 科学技術用語辞典2012年7月閲覧
2. Drazin, PG, & Riley, N. (2006). ナビエ・ストークス方程式：流れの分類と厳密解（第334号）. ケンブリッジ大学出版局.