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数学において、和田の湖（わだのみずうみ）は、平面または開単位正方形の互いに素な 連結した 3つの開集合であり、直観に反する性質として、すべてが同じ境界を持つという性質を持つ。言い換えれば、いずれかの湖の境界上で任意の点を選択すると、他の2つの湖の境界にもその点が含まれる。
同じ境界を持つ2つ以上の集合は、ワダ性を持つと言われています。例としては、力学系におけるワダ盆地が挙げられます。この性質は現実世界のシステムでは稀です。
和田湖は米山邦三 （1917、60ページ）によって導入され、彼はその発見を和田武夫に帰した。彼の構築は、ブラウワー（1910）による不可分連続体の構築と類似しており、実際には3つの集合の共通境界が不可分連続体となる可能性がある。
和田湖の建設
和田の湖は、乾燥した土地の閉じた単位正方形から始めて、次のルールに従って 3 つの湖を掘ることによって形成されます。
- n = 1, 2, 3,...の日に、湖n をmod 3 (= 0, 1, 2) で拡張し、湖が開いて連結され、残りのすべての陸地から 1/ nの距離以内を通るようにします。これは、残りの陸地が閉じた単位正方形と同相を保つように行う必要があります。
無限の日数が経過した後も、3 つの湖は互いに素に接続された開集合のままであり、残った陸地が 3 つの湖それぞれの境界となります。
たとえば、最初の 5 日間は次のようになります (右の図を参照)。
- すべての乾燥地の√2 / 3以内を通る幅1/3の青い湖を掘ります。
- すべての陸地の√2 /32以内を通る幅1/32の赤い湖を掘ります。
- すべての乾燥地の√2 /33以内を通る幅1/33の緑色の湖を掘ります。
- 青い湖を、陸地全体から√2 / 3/ 4以内を通る幅1/3/4の水路で延長します。（この細い水路は、画像の中央付近にある薄い青い湖と厚い湖を繋いでいます。）
- 赤い湖を、陸地全体から√2 / 35以内を通る幅1/35の水路で延長します。（この細い水路は、画像の左上近くにある細い赤い湖と太い湖を繋いでいます。）
この構成のバリエーションにより、同じ境界を持つ、連結された湖を無限に生成できます。つまり、湖を 1、2、0、1、2、0、1、2、0、... の順序で拡張する代わりに、0、0、1、0、1、2、0、1、2、3、0、1、2、3、4、... の順序で拡張します。
和田盆地
和田盆地は、非線形システムの数学において研究される特殊な吸引盆地である。盆地の境界上のあらゆる点のあらゆる近傍が少なくとも3つの盆地と交差するという性質を持つ盆地は、和田盆地と呼ばれる、あるいは和田性を持つと言われる。和田湖とは異なり、和田盆地はしばしば分断されている。
ワダ盆地の例としては、z 3 − 1のような異なる根を持つ3 次多項式の根を求めるニュートン・ラプソン法の吸引盆地を記述するニュートンフラクタルが挙げられます (図を参照)。
カオス理論における和田盆地
カオス理論では、ワダ・ベイスンが非常に頻繁に出現します。通常、ワダ性は散逸力学系の吸引ベイスンに見られます。しかし、ハミルトン系の出口ベイスンもワダ性を示すことがあります。複数の出口を持つ系のカオス的散乱の文脈では、出口ベイスンがワダ性を示します。MAF Sanjuánら[1]は、ヘノン・ハイレス系において出口ベイスンがこのワダ性を示す ことを示しました。
参照
- 位相の一覧 – 具体的な位相と位相空間の一覧
参考文献
- Brouwer、LEJ (1910)、「Zur Analysis Situs」、Mathematische Annalen、68 (3): 422–434、doi :10.1007/BF01475781
- 米山邦三( 1917)「連続点の集合論」東北数学雑誌、12 : 43–158
さらに読む
- Breban, Romulus; Nusse, H E. (2005)「固定点接線分岐による区間写像におけるWada盆地の生成について」、Physica D、207 ( 1–2 ): 52– 63、Bibcode :2005PhyD..207...52B、doi :10.1016/j.physd.2005.05.012
- クーデーン、イヴ（2006）、「双曲型力学系の図」（PDF）、アメリカ数学会誌、53（1）：8– 13、ISSN 0002-9920、MR 2189945
- ゲルバウム、バーナード・R.; オルムステッド、ジョン・MH (2003)、「分析における反例」、ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー出版、ISBN 0-486-42875-3例10.13
- ホッキング、JG; ヤング、GS (1988) 『トポロジー』ニューヨーク：ドーバー出版、p. 144、ISBN 0-486-65676-4
- ケネディ, J; ヨーク, JA (1991)、「和田盆地」、Physica D、51 ( 1– 3): 213– 225、Bibcode :1991PhyD...51..213K、doi :10.1016/0167-2789(91)90234-Z
- Sweet, D.; Ott, E.; Yorke, JA (1999)、「カオス散乱における複雑なトポロジー：実験室観測」、Nature、399 (6734): 315、Bibcode :1999Natur.399..315S、doi :10.1038/20573
外部リンク
- 和田盆地の実験的実現（写真付き）、andamooka.org
- 和田盆地と和田地所の紹介 www-chaos.umd.edu
- 無限の反射球：和田盆地フラクタル、miqel.com
- 和田盆地：カオス散乱のレンダリング アーカイブ 2012-06-30 at archive.today , astronomy.swin.edu.au
