ワルドのマーチンゲール

確率論において、ワルドのマルチンゲールは、独立同値確率変数の和を研究するために使用されるマルチンゲールにしばしば用いられる。この概念を一連の影響力のある論文で用いた数学者アブラハム・ワルドにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

ワルドのマルチンゲールは、ドリアン・デイド指数関数の離散時間版として考えることができます。

正式な声明

を、モーメント生成関数が有限であるようなiid確率変数の列とし、を、とする。 このとき、${\displaystyle (X_{n})_{n\geq 1}}$ ${\displaystyle M:\theta \mapsto \mathbb {E} (e^{\theta X_{1}})}$ ${\displaystyle \theta >0}$ ${\displaystyle S_{n}=X_{1}+\cdots +X_{n}}$ ${\displaystyle S_{0}=0}$ ${\displaystyle (W_{n})_{n\geq 0}}$

${\displaystyle W_{n}={\frac {e^{\theta S_{n}}}{M(\theta )^{n}}}}$

はワルドのマルチンゲールとして知られるマルチンゲールである。^{[ 4 ]}特に、すべての に対して。 ${\displaystyle \mathbb {E} (W_{n})=1}$ ${\displaystyle n\geq 0}$

参照

• マーチンゲール
• 幾何ブラウン運動
• ドリアン・デイド指数関数
• ワルド方程式

注記

1. Wald, Abraham (1944). 「確率変数の累積和について」 . Ann. Math. Stat . 15 (3): 283– 296. doi : 10.1214/aoms/1177731235 .
2. Wald, Abraham (1945). 「統計的仮説の逐次検定」 . Ann. Math. Stat . 16 (2): 117– 186. doi : 10.1214/aoms/1177731118 .
3. Wald, Abraham (1945).シーケンシャルアナリシス（第1版）. John Wiley and Sons.
4. Gamarnik, David (2013). 「Advanced Stochastic Processes, Lecture 10」 . MIT OpenCourseWare . 2023年6月24日閲覧。