ウォッシュバーンの方程式
毛細管への液体の浸透長さを時間とともに表す式

物理学において、ウォッシュバーンの式は、平行な円筒管の束における毛細管流動を記述する。この式は、いくつかの問題点を伴いながら、多孔質材料への浸透にも拡張される。この式はエドワード・ワイト・ウォッシュバーンにちなんで名付けられた[1]。また、リチャード・ルーカス[2]が3年前に同様の論文を執筆したことから、ルーカス・ウォッシュバーンの式とも呼ばれる。あるいは、 JMベルとFKキャメロンが1906年にこの式の形を発見したことから、ベル・キャメロン・ルーカス・ウォッシュバーンの式とも呼ばれる[3]。

導出

ウォッシュバーン法による粉体濡れ性の測定。
ウォッシュバーン法による粉体濡れ性の測定。

最も一般的な形式では、ルーカス・ウォッシュバーンの式は、液体が毛細管の細孔またはチューブに浸透する長さ ( ) を時間とともに と記述します。ここで、は簡略化された拡散係数です。[4]さまざまな状況に当てはまるこの関係は、ルーカスとウォッシュバーンの式の本質を捉えており、多孔質構造を通じた毛細管浸透と流体輸送が、多くの物理および化学システムで発生する拡散挙動に類似した挙動を示すことを示しています。拡散係数は、浸透する流体の特性だけでなく、毛細管の形状によっても決まります。動粘性と表面張力を持つ液体は、細孔半径が次の関係に従う 距離だけ毛細管に浸透します。 L {\displaystyle L} t {\displaystyle t} L ＝ （ D t ） 1 2 {\displaystyle L=(Dt)^{\frac {1}{2}}} D {\displaystyle D} D {\displaystyle D} η {\displaystyle \eta} γ {\displaystyle \gamma} L {\displaystyle L} r {\displaystyle r}

L ＝ γ r t コス ⁡ （ ϕ ） 2 η {\displaystyle L={\sqrt {\frac {\gamma rt\cos(\phi )}{2\eta }}}}

浸透する液体と固体（管壁）の間の接触角は どこ ですか。 ϕ {\displaystyle \phi }

ウォッシュバーンの式は、力張力計を用いて液体と粉体の接触角を決定する際にもよく用いられる。[5]

多孔質材料の場合、計算された細孔半径の物理的な意味[6]と、この式を固体の接触角の計算に使用できるかどうかについて多くの問題が提起されている[7] 。この式は、重力場 がない場合の円筒管内の毛細管流に対して導出されたものであるが、毛細管力が重力よりも大幅に大きい場合、多くの場合、十分な精度を示す。 r {\displaystyle r}

1921年の論文で、ウォッシュバーンは円管内の流体の運動にポアズイユの法則を適用した。管内の流体の長さに対する差容積の式を代入すると、次の式が得られる。 l {\displaystyle l} d V ＝ π r 2 d l {\displaystyle dV=\pi r^{2}dl}

δ l δ t ＝ ∑ P 8 η l （ r 2 + 4 ϵ r ） {\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum P}{8\eta l}}(r^{2}+4\epsilon r)}

ここで、 は大気圧、静水圧、毛細管力による等価圧力などの関係する圧力の合計です。は液体の粘度、 は滑り係数で、濡れた材料の場合は0と仮定されます。は毛細管の半径です。これらの圧力は次のように表すことができます。 ∑ P {\displaystyle \sum P} P あ {\displaystyle P_{A}} P h {\displaystyle P_{h}} P c {\displaystyle P_{c}} η {\displaystyle \eta} ϵ {\displaystyle \epsilon } r {\displaystyle r}

P h ＝ h g ρ − l g ρ sin ⁡ ψ {\displaystyle P_{h}=hg\rho -lg\rho \sin \psi }
P c = 2 γ r cos ⁡ ϕ {\displaystyle P_{c}={\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi }

ここで、は液体の密度、は表面張力です。は水平軸に対する管の角度です。は毛細管材料に対する液体の接触角です。これらの式を代入すると、流体が管に浸透する距離を表す一次微分方程式が得られます。 ρ {\displaystyle \rho } γ {\displaystyle \gamma } ψ {\displaystyle \psi } ϕ {\displaystyle \phi } l {\displaystyle l}

δ l δ t = [ P A + g ρ ( h − l sin ⁡ ψ ) + 2 γ r cos ⁡ ϕ ] ( r 2 + 4 ϵ r ) 8 η l {\displaystyle {\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[P_{A}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{2}+4\epsilon r)}{8\eta l}}}

ウォッシュバーン定数

ウォッシュバーン定数はウォッシュバーンの方程式に含まれる場合があります。

計算方法は以下のとおりです。

10 4 [ μ m c m ] [ N m 2 ] 68947.6 [ d y n e s c m 2 ] = 0.1450 ( 38 ) {\displaystyle {\frac {10^{4}\left[\mathrm {\frac {\mu m}{cm}} \right]\left[\mathrm {\frac {N}{m^{2}}} \right]}{68947.6\left[\mathrm {\frac {dynes}{cm^{2}}} \right]}}=0.1450(38)} [8] [9]

流体慣性

ウォッシュバーン方程式の導出において、液体の慣性は無視できるものとして考慮されている。これは、長さが時間の平方根に依存することから明らかであり、 tが小さい値の場合、任意の大きな速度dL/dtを与える。ウォッシュバーン方程式の改良版であるボサンケット方程式は、液体の慣性を考慮している。[10] L {\displaystyle L} L ∝ t {\displaystyle L\propto {\sqrt {t}}}

アプリケーション

インクジェット印刷

液体が自身の毛細管圧力によって流れる基質への浸透は、ウォッシュバーンの式の簡略版を使用して計算できます。[11] [12]

l = [ r cos ⁡ θ 2 ] 1 2 [ γ η ] 1 2 t 1 2 {\displaystyle l=\left[{\frac {r\cos \theta }{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}}

ここで、表面張力と粘度の比は、インクが基板に浸透する速度を表します。実際には、溶媒の蒸発によって多孔質層への液体の浸透範囲が制限されるため、インクジェット印刷の物理現象を効果的にモデル化するには、限られた毛細管浸透における蒸発効果を考慮したモデルを用いることが適切です。 [ γ η ] 1 2 {\displaystyle \left[{\tfrac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}}

食べ物

物理学者でイグノーベル賞受賞者のレン・フィッシャーによると、ウォッシュバーンの式はビスケットなどのより複雑な材料に対して非常に正確である可能性があるとのことです。[13] [14]全国ビスケット浸しの日と呼ばれる非公式の祝賀行事の後、いくつかの新聞記事ではこの式がフィッシャーの式 として引用されました。[15]

新しい毛細管ポンプ

従来の毛細管ポンプにおける流動挙動はウォッシュバーンの式に従います。最近、液体の粘度に依存せず一定の流量でポンプ流量が一定となる新しい毛細管ポンプ[16] [17] [18] [19]が開発されました。これは、従来の毛細管ポンプ（流動挙動はウォッシュバーン式、つまり流量が一定ではない）に比べて大きな利点があります。これらの新しい毛細管ポンプの概念は、ラテラルフロー試験の性能を向上させる大きな可能性を秘めています。

参照

参考文献

  1. ^ Edward W. Washburn (1921). 「毛細管流のダイナミクス」 . Physical Review . 17 (3): 273. Bibcode :1921PhRv...17..273W. doi :10.1103/PhysRev.17.273.
  2. ^ ルーカス、R. (1918)。 「Ueber das Zeitgesetz des Kapillaren Aufstiegs von Flussigkeiten」。コロイドZ。23 : 15.土井:10.1007/bf01461107. S2CID  97596580。
  3. ^ Bell, JM & Cameron, FK (1906). 「毛細管空間を通る液体の流れ」J. Phys. Chem . 10 (8): 658– 674. doi :10.1021/j150080a005.
  4. ^ Liu, M.; et al. (2016). 「多孔質媒体における蒸発制限放射状毛細管浸透」(PDF) . Langmuir . 32 (38): 9899– 9904. doi :10.1021/acs.langmuir.6b02404. PMID  27583455.
  5. ^ Alghunaim, Abdullah; Kirdponpattara, Suchata; Newby, Bi-min Zhang (2016). 「粉体の接触角と濡れ性を測定するための技術」. Powder Technology . 287 : 201– 215. doi :10.1016/j.powtec.2015.10.002.
  6. ^ Dullien, FAL (1979).多孔質媒体：流体輸送と細孔構造. ニューヨーク: アカデミック・プレス. ISBN 978-0-12-223650-1。{{cite book}}: CS1 maint: publisher location (link)
  7. ^ Marco, Brugnara; Claudio, Della Volpe; Stefano, Siboni (2006). 「多孔質材料の濡れ性。II. ウォッシュバーンの式から接触角を求めることは可能か？」Mittal, KL (編). 『接触角、濡れ性、および接着』Mass. VSP.
  8. ^ Micromeritics、「Autopore IV ユーザーマニュアル」、2000年9月。セクションB、付録D：データ整理、D-1ページ。（この参考文献では1N/m2の加算は示されておらず、単に暗示されているだけであることに注意してください。）
  9. ^ Micromeritics, Akima, Hiroshi (1970). 「局所的手順に基づく新しい補間法と滑らかな曲線フィッティング法」(PDF) . Journal of the ACM . 17 (4): 589– 602. doi :10.1145/321607.321609. S2CID  33862277.
  10. ^ Schoelkopf, Joachim; Matthews, G. Peter (2000). 「紙コーティング構造への液体吸収に対する慣性の影響」. Nordic Pulp & Paper Research Journal . 15 (5): 422– 430. doi :10.3183/npprj-2000-15-05-p422-430. S2CID  36690492.
  11. ^ Oliver, JF (1982). 「紙表面の濡れと浸透」.複写技術におけるコロイドと表面. ACSシンポジウムシリーズ. 第200巻. pp.  435– 453. doi :10.1021/bk-1982-0200.ch022. ISBN 978-0-8412-0737-0. ISSN  1947-5918。
  12. ^ Leelajariyakul, S.; Noguchi, H.; Kiatkamjornwong, S. (2008). 「繊維素材へのインクジェット印刷用表面改質・マイクロカプセル化顔料インク」. Progress in Organic Coatings . 62 (2): 145– 161. doi :10.1016/j.porgcoat.2007.10.005. ISSN  0300-9440.
  13. ^ 「1999年イグノーベル賞授賞式」。improbable.com。Improbable Research 。 2015年10月7日閲覧。ビスケットを浸す最適な方法を発見したレン・フィッシャー。
  14. ^ バーブ・ナタリー (1998年11月25日). 「ダンクで失敗はもうない」. bbc.co.uk. BBCニュース. 2015年10月7日閲覧。
  15. ^ フィッシャー、レン (1999年2月11日). 「物理学はビスケットを取る」. Nature . 397 (6719): 469.書誌コード:1999Natur.397..469F. doi : 10.1038/17203 . S2CID  4404966.ウォッシュバーンは、メディアが彼の研究を「フィッシャー方程式」と改名したことを知ったら、墓の中で身をよじるだろう。
  16. ^ 郭偉進;ジョナス・ハンソン。ワウター・ファン・デル・ワインガート (2016)。 「粘度に依存しない紙のマイクロ流体吸収」(PDF)。MicroTAS 2016、アイルランド、ダブリン。
  17. ^ Weijin Guo; Jonas Hansson; Wouter van der Wijngaart (2016). 「液体サンプルの粘度に依存しない毛細管ポンプ作用」Langmuir . 32 (48): 12650– 12655. doi :10.1021/acs.langmuir.6b03488. PMID  27798835. S2CID  24662688.
  18. ^ Weijin Guo; Jonas Hansson; Wouter van der Wijngaart (2017). 「液体サンプルの粘度と表面エネルギーに依存しない一定流量のキャピラリーポンプ」. 2017 IEEE 30th International Conference on Micro Electro Mechanical Systems (MEMS). IEEE MEMS 2017, ラスベガス, USA. pp.  339– 341. doi :10.1109/MEMSYS.2017.7863410. ISBN 978-1-5090-5078-9. S2CID  13219735。
  19. ^ 郭偉進;ジョナス・ハンソン。ワウター・ファン・デル・ワインガート (2018)。 「液体の表面エネルギーや粘度に依存しない毛細管ポンピング」。マイクロシステムとナノエンジニアリング。4 (1): 2. Bibcode :2018MicNa...4....2G。土井：10.1038/s41378-018-0002-9。PMC 6220164。PMID  31057892。 
  • ウォッシュバーン法による粉体濡れ性測定
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