ウェーブレット変換

JPEG2000で使用される2D離散ウェーブレット変換の例

数学において、ウェーブレット級数とは、二乗積分可能な（実数値または複素数値の）関数を、ウェーブレットによって生成される特定の直交級数で表現したものである。本稿では、直交ウェーブレットと積分ウェーブレット変換の形式的かつ数学的な定義を示す。[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

意味

関数は、ヒルベルト基底、つまり実数直線上の 二乗可積分関数のヒルベルト空間の完全な直交系を定義するために使用できる場合、直交ウェーブレットと呼ばれます。ψ∈L2（R）{\displaystyle \psi \,\in \,L^{2}(\mathbb {R} )}

ヒルベルト基底は、 整数 に対するの二項変換と拡大による関数の族として構築されます。 {ψjけ:j、け∈Z}{\displaystyle \{\psi _{jk}:\,j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} \}}ψ{\displaystyle \psi \,}ψjけ（×）＝2j2ψ（2j×−け）、{\displaystyle \psi _{jk}(x)=2^{\frac {j}{2}}\psi \left(2^{j}xk\right),}j、け∈Z{\displaystyle j,\,k\,\in \,\mathbb {Z} }

上の標準内積のもとでこの族が正規直交系である場合、 それは正規直交系である。 ここでクロネッカーのデルタである。 L2（R）{\displaystyle L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}⟨f、グラム⟩＝∫−∞∞f（×）グラム（×）¯d×、{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}dx,}⟨ψjけ、ψlメートル⟩＝∫−∞∞ψjけ（×）ψlメートル（×）¯d×、＝δjlδけメートル、{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{jk},\psi _{lm}\rangle &=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{jk}(x){\overline {\psi _{lm}(x)}}dx,\\&=\delta _{jl}\delta _{km},\end{aligned}}}δjl{\displaystyle \delta _{jl}\,}

完全性は、すべての関数が次のように基底に展開できる 場合に満たされる。f∈L2（R）{\displaystyle f\,\in \,L^{2}\left(\mathbb {R} \right)}

f（×）＝∑j、け＝−∞∞cjけψjけ（×）{\displaystyle f(x)=\sum _{j,k=-\infty }^{\infty }c_{jk}\psi _{jk}(x)}

級数の収束はノルム の収束と理解される。 のこのような表現はウェーブレット級数として知られている。これは、直交ウェーブレットが自己双対 であることを意味する。 f{\displaystyle f}

積分ウェーブレット変換は次のように定義される 積分変換である。 ウェーブレット係数は次のように与えられる。 [Wψf]（1つの、b）＝1|1つの|∫−∞∞ψ（×−b1つの）¯f（×）d×{\displaystyle \left[W_{\psi }f\right](a,b)={\frac {1}{\sqrt {|a|}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\psi \left({\frac {x-b}{a}}\right)}}f(x)dx\,}cjk{\displaystyle c_{jk}}cjk=[Wψf](2−j,k2−j){\displaystyle c_{jk}=\left[W_{\psi }f\right]\left(2^{-j},k2^{-j}\right)}

ここで、はバイナリ拡大または2 項拡大と呼ばれ、 はバイナリ位置または2 項位置です。 a=2−j{\displaystyle a=2^{-j}}b=k2−j{\displaystyle b=k2^{-j}}

原理

ウェーブレット変換の基本的な考え方は、変換によって時間拡張のみが可能であり、形状は変更できないという点です。そのため、適切な基底関数の選択には制約が生じます。時間拡張の変更は、基底関数の対応する解析周波数に適合することが期待されます。信号処理の不確定性原理に基づき、

ΔtΔω≥12{\displaystyle \Delta t\Delta \omega \geq {\frac {1}{2}}}

ここで、 は時間と角周波数（、は常振動数）を表します。 t{\displaystyle t}ω{\displaystyle \omega }ω=2πf{\displaystyle \omega =2\pi f}f{\displaystyle f}

必要な時間分解能が高いほど、周波数分解能は低くする必要があります。分析ウィンドウの拡張範囲が広いほど、 の値は大きくなります。 Δt{\displaystyle \Delta t}

大きい ときはΔt{\displaystyle \Delta t}

  1. 時間解像度が悪い
  2. 優れた周波数分解能
  3. 低周波数、大きなスケーリング係数

小さい ときはΔt{\displaystyle \Delta t}

  1. 優れた時間解像度
  2. 周波数分解能が悪い
  3. 高周波数、小さなスケーリング係数

言い換えれば、基底関数は、関数がフィルタリングされたシステムのインパルス応答と見なすことができます。変換された信号は、時間と周波数に関する情報を提供します。したがって、ウェーブレット変換は短時間フーリエ変換と同様の情報を含みますが、ウェーブレットの特別な特性が追加されており、これは基底関数の解析周波数が高いほど時間分解能に現れます。フーリエ変換とウェーブレット変換における、周波数が上昇するにつれて時間分解能が異なる様子を以下に示します。ただし、周波数が上昇するにつれて周波数分解能は低下し、時間分解能は増加することに注意してください。このフーリエ不確定性原理の帰結は、図には正しく示されていません。 ψ{\displaystyle \psi }x(t){\displaystyle x(t)}

これは、ウェーブレット変換が高周波の時間分解能に優れている一方で、ゆっくり変化する関数の場合は周波数分解能が優れていることを示しています。

別の例: STFT とウェーブレット変換を使用した 3 つの重ね合わせた正弦波信号の分析。y(t)=sin⁡(2πf0t)+sin⁡(4πf0t)+sin⁡(8πf0t){\displaystyle y(t)\;=\;\sin(2\pi f_{0}t)\;+\;\sin(4\pi f_{0}t)\;+\;\sin(8\pi f_{0}t)}

ウェーブレット圧縮

ウェーブレット圧縮は、画像圧縮（場合によっては動画圧縮や音声圧縮にも）に適したデータ圧縮方式です。代表的な実装としては、静止画用のJPEG 2000、DjVu、ECW 、 JPEG XS、CineForm、BBCのDiracなどが挙げられます。ウェーブレット圧縮の目的は、画像データをファイル内のスペースを可能な限り小さくすることです。ウェーブレット圧縮には、ロスレス圧縮とロッシー圧縮があります。[ 5 ]

方法

まずウェーブレット変換が適用されます。これにより、画像のピクセル数と同じ数の係数が生成されます（つまり、変換のみであるため、圧縮はまだ行われていません）。これらの係数は、情報が統計的に少数の係数に集中しているため、より簡単に圧縮できます。この原理は変換符号化と呼ばれます。その後、係数は量子化され、量子化された値はエントロピー符号化またはランレングス符号化されます。

ウェーブレット圧縮の1Dおよび2Dアプリケーションでは、「ウェーブレットフットプリント」と呼ばれる手法がいくつか使用されている。[ 6 ] [ 7 ]

評価

画像圧縮の要件

ほとんどの自然画像では、低周波信号のスペクトル密度は高くなります。[ 8 ]その結果、低周波信号（参照信号）の情報は一般的に保持され、詳細信号の情報は破棄されます。画像圧縮と再構成の観点から、ウェーブレット変換は画像圧縮を行う際に以下の基準を満たす必要があります。

  • よりオリジナルな画像を参照信号に変換することが可能。
  • 参照信号に基づく最高忠実度の再構築。
  • 参照信号のみから再構成された画像にアーティファクトが発生してはなりません。

シフト変動とリンギング動作の要件

ウェーブレット画像圧縮システムはフィルタとデシメーションを含むため、線形シフトバリアントシステムとして説明できます。典型的なウェーブレット変換図を以下に示します。

変換システムには、2つの分析フィルタ（ローパスフィルタとハイパスフィルタ）、デシメーションプロセス、補間プロセス、および2つの合成フィルタ（および）が含まれます。圧縮および再構成システムでは、通常、画像圧縮用の分析フィルタと再構成用の合成フィルタである低周波成分が関係します。このようなシステムを評価するには、インパルスを入力し、その再構成を観察することができます。最適なウェーブレットは、シフト分散とサイドローブが最小となるウェーブレットです。厳密なシフト分散を持つウェーブレットは現実的ではありませんが、シフト分散がわずかなウェーブレットを選択することは可能です。たとえば、2つのフィルタのシフト分散を比較することができます。[ 9 ]h0(n){\displaystyle h_{0}(n)}h1(n){\displaystyle h_{1}(n)}g0(n){\displaystyle g_{0}(n)}g1(n){\displaystyle g_{1}(n)}h0(n){\displaystyle h_{0}(n)}g0(n){\displaystyle g_{0}(n)}δ(n−ni){\displaystyle \delta (n-n_{i})}h(n−ni){\displaystyle h(n-n_{i})}h(n−ni){\displaystyle h(n-n_{i})}

ウェーブレット画像圧縮のための双直交フィルタ
長さ フィルタ係数 規則性
ウェーブレットフィルタ1 H0 9 .852699, .377402, -.110624, -.023849, .037828 1.068
G0 7 .788486, .418092, -.040689, -.064539 1.701
ウェーブレットフィルタ2 H0 6 .788486, .047699, -.129078 0.701
G0 10 .615051, .133389, -.067237, .006989, .018914 2.068

2 つのフィルターのインパルス応答を観察すると、2 番目のフィルターは入力場所に対する感度が低い (つまり、シフトの変化が少ない) ことがわかります。

画像圧縮と再構成におけるもう一つの重要な問題は、システムの振動的な動作です。この振動的な動作は、再構成画像に深刻な望ましくないアーティファクトをもたらす可能性があります。これを実現するには、ウェーブレットフィルタのピーク対サイドローブ比を大きくする必要があります。

これまで、画像圧縮システムの1次元変換について議論してきました。この問題は2次元にも拡張可能であり、より一般的な用語として「シフト可能マルチスケール変換」が提案されています。[ 10 ]

インパルス応答の導出

前述のように、インパルス応答は画像圧縮/再構成システムの評価に使用できます。

入力シーケンス に対して、 1段階の分解後の参照信号 は係数2でデシメーションされ、 はローパスフィルタです。同様に、次の参照信号は係数2でデシメーションされ、 によって得られます。L段階の分解（およびデシメーション）の後、すべてのサンプルから1つを保持することで解析応答が得られます。 x(n)=δ(n−ni){\displaystyle x(n)=\delta (n-n_{i})}r1(n){\displaystyle r_{1}(n)}x(n)∗h0(n){\displaystyle x(n)*h_{0}(n)}h0(n){\displaystyle h_{0}(n)}r2(n){\displaystyle r_{2}(n)}r1(n)∗h0(n){\displaystyle r_{1}(n)*h_{0}(n)}2L{\displaystyle 2^{L}}hA(L)(n,ni)=fh0(L)(n−ni/2L){\displaystyle h_{A}^{(L)}(n,n_{i})=f_{h0}^{(L)}(n-n_{i}/2^{L})}

一方、信号x(n)を再構成するために、参照信号 を考慮することができます。 について詳細信号がゼロに等しい場合、前のステージ（ステージ）における参照信号は となり、これは で補間および畳み込みを行うことで得られます。同様に、この手順を反復してステージ における参照信号を取得します。L回の反復後、参照信号と再構成された信号 を関連付ける合成インパルス応答 が計算されます。rL(n)=δ(n−nj){\displaystyle r_{L}(n)=\delta (n-n_{j})}di(n){\displaystyle d_{i}(n)}1≤i≤L{\displaystyle 1\leq i\leq L}L−1{\displaystyle L-1}rL−1(n)=g0(n−2nj){\displaystyle r_{L-1}(n)=g_{0}(n-2n_{j})}rL(n){\displaystyle r_{L}(n)}g0(n){\displaystyle g_{0}(n)}r(n){\displaystyle r(n)}L−2,L−3,....,1{\displaystyle L-2,L-3,....,1}hs(L)(n,ni)=fg0(L)(n/2L−nj){\displaystyle h_{s}^{(L)}(n,n_{i})=f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-n_{j})}rL(n){\displaystyle r_{L}(n)}

全体的な L レベルの分析/合成システムを取得するには、分析応答と合成応答を以下のように組み合わせます。

hAS(L)(n,ni)=∑kfh0(L)(k−ni/2L)fg0(L)(n/2L−k){\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})=\sum _{k}f_{h0}^{(L)}(k-n_{i}/2^{L})f_{g0}^{(L)}(n/2^{L}-k)}。

最後に、全体的なインパルス応答のピーク対第 1 サイドローブ比と平均第 2 サイドローブを使用して、ウェーブレット画像圧縮のパフォーマンスを評価できます。 hAS(L)(n,ni){\displaystyle h_{AS}^{(L)}(n,n_{i})}

ウェーブレット変換を用いたウェーブレット圧縮法は、音声における打楽器音などの過渡現象や、夜空の星の画像などの2次元画像における高周波成分の表現に適しています。これは、データ信号の過渡的要素を、より広く普及している離散コサイン変換などの他の変換を用いた場合よりも少ない情報量で表現できることを意味します。

制限事項

ウェーブレット変換は理論的な利点を有するものの、その実用的な限界により、ウェーブレット圧縮は局所的な変化や過渡信号の解析に限定されてきました。数十年にわたる研究にもかかわらず、音声や動画といった一般的なマルチメディア向けのウェーブレットベースの圧縮システムは、現在の離散コサイン変換ベースのシステムの効率性と知覚品質に一貫して匹敵するものではありません。[ 11 ]

音声や心電図のような1次元データの場合、ウェーブレットは過渡信号（音楽におけるドラムの打撃音や心拍リズムの鋭いピークなど、突発的で孤立したイベント）の表現と圧縮に優れています。例えば、離散ウェーブレット変換は心電図（ECG）信号の圧縮に効果的に適用されています。[ 12 ]しかし、一般的な音声信号の大部分を占める滑らかで周期的な信号の場合、フーリエ変換を用いた周波数領域の調波解析によって、より良い圧縮率と音質が得られます。過渡特性と周期特性の両方を持つデータの圧縮は、ウェーブレットと従来の調波解析を組み合わせたハイブリッド手法で行うことができます。例えば、Vorbis音声コーデックは、一般的に滑らかで周期的な音声を圧縮するために主に修正離散コサイン変換を使用していますが、過渡特性の再現性を向上させるためにハイブリッドウェーブレットフィルタバンクを追加することができます。[ 13 ]

高次元データの場合、ウェーブレット圧縮は大きな課題に直面します。例えば動画では、イントラコーディングや動き補償（空間的および時間的に隣接するものに基づいて画像の一部を予測する）といった最新の圧縮技術、そして混合ブロックサイズや動的ブロックサイズは、ウェーブレットの重複特性のために非常に複雑になります。この複雑さは処理能力の増加と速度低下につながり、広く普及するには現実的ではありません。さらに、ウェーブレットはPSNRなどの従来の指標では高いスコアを獲得できるかもしれませんが、DCTブロックはウェーブレットではしばしば欠けている鮮明さを生み出すため、同等の主観的品質を実現するにはより高いビットレートが必要になります。[ 11 ]

フーリエ変換と時間周波数解析との比較

変身表現入力
フーリエ変換X^(f)=∫−∞∞x(t)e−i2πftdt{\displaystyle {\hat {X}}(f)=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-i2\pi ft}\,dt}f{\displaystyle f} ： 頻度
時間周波数解析X(t,f){\displaystyle X(t,f)}t{\displaystyle t}時間;頻度 f{\displaystyle f}
ウェーブレット変換X(a,b)=1a∫−∞∞Ψ(t−ba)¯x(t)dt{\displaystyle X(a,b)={\frac {1}{\sqrt {a}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {\Psi \left({\frac {t-b}{a}}\right)}}x(t)\,dt}a{\displaystyle a}スケーリング;時間シフト係数 b{\displaystyle b}

ウェーブレットは、特定の周波数を調べる際に計算量を削減できる点でフーリエ変換よりも若干有利です。しかし、ウェーブレット変換の方が感度が高いことは稀で、実際、一般的なモルレウェーブレットは、ガウス窓関数を用いた短時間フーリエ変換と数学的に同一です。 [ 14 ]例外は、既知の非正弦波形状の信号（例えば心拍）を探す場合です。この場合、マッチングウェーブレットを用いることで、標準的なSTFT/モルレ解析よりも優れた性能を発揮できます。[ 15 ]

その他の実用的な応用

ウェーブレット変換は、信号の周波数とそれに関連する時間情報を提供するため、様々な分野で非常に便利に応用できます。例えば、歩行解析のための加速度信号処理、[ 16 ]、断層検出[ 17 ] 、地滑りの季節的変位解析[ 18 ] 、低消費電力ペースメーカーの設計、そして超広帯域（UWB）無線通信[ 19 ] 、[ 20 ] 、[ 21 ]などです。

  1. 軸 の離散化c−τ{\displaystyle c-\tau }

    次のような周波数と時間の離散化を適用しました。

    cn=c0nτm=m⋅T⋅c0n{\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}&=c_{0}^{n}\\\tau _{m}&=m\cdot T\cdot c_{0}^{n}\end{aligned}}}

    形式のウェーブレットに至る、基底ウェーブレットの離散式は次のようになります。

    Ψ(k,n,m)=1c0n⋅Ψ[k−mc0nc0nT]=1c0n⋅Ψ[(kc0n−m)T]{\displaystyle \Psi (k,n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[{\frac {k-mc_{0}^{n}}{c_{0}^{n}}}T\right]={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}

    このような離散ウェーブレットは変換に使用できます。

    YDW(n,m)=1c0n⋅∑k=0K−1y(k)⋅Ψ[(kc0n−m)T]{\displaystyle Y_{DW}(n,m)={\frac {1}{\sqrt {c_{0}^{n}}}}\cdot \sum _{k=0}^{K-1}y(k)\cdot \Psi \left[\left({\frac {k}{c_{0}^{n}}}-m\right)T\right]}
  2. FFT（高速フーリエ変換）による実装

    ウェーブレット変換表現から明らかなように（下図参照）

    YW(c,τ)=1c⋅∫−∞∞y(t)⋅Ψ(t−τc)dt{\displaystyle Y_{W}(c,\tau )={\frac {1}{\sqrt {c}}}\cdot \int _{-\infty }^{\infty }y(t)\cdot \Psi \left({\frac {t-\tau }{c}}\right)\,dt}

    ここで、はスケーリング係数であり、時間シフト係数を表す。 c{\displaystyle c}τ{\displaystyle \tau }

    既に述べたように、ウェーブレット変換は関数とウェーブレット関数 の畳み込みに対応します。畳み込みは周波数領域における乗算として実装できます。この実装アプローチにより、以下の式が得られます。y(t){\displaystyle y(t)}

    • FFTによる信号のフーリエ変換y(k){\displaystyle y(k)}
    • 離散スケーリング係数の選択cn{\displaystyle c_{n}}
    • この係数によるウェーブレット基底関数のスケーリングと、それに続くこの関数のFFTcn{\displaystyle c_{n}}
    • 最初のステップの変換された信号YFFTとの乗算
    • 積を時間領域に逆変換すると、異なる離散値と離散値に対して次の式が得られる。YW(c,τ){\displaystyle Y_{W}(c,\tau )}τ{\displaystyle \tau }cn{\displaystyle c_{n}}
    • 2番目のステップに戻り、すべての離散スケーリング値が処理されるまでcn{\displaystyle c_{n}}
    ウェーブレット変換には、特定の目的に応じて様々な種類があります。ウェーブレット変換の完全なリストも参照してください。一般的なウェーブレット変換は以下の通りです：メキシカンハットウェーブレット、ハールウェーブレット、ドーブシーウェーブレット、三角ウェーブレット。
  3. 電力システムにおける故障検出[ 22 ]
  4. 領域全体で滑らかさが大きく変化する関数の局所適応型統計推定、より具体的にはウェーブレット領域でスパースな関数の推定。[ 23 ]

時間因果ウェーブレット

時間信号をリアルタイムで処理するには、ウェーブレットフィルタが未来の信号値にアクセスしないこと、そして時間遅延を最小限に抑えることが不可欠です。時間因果ウェーブレット表現は、Szuら[ 24 ]とLindeberg [ 25 ]によって開発されており、後者の手法はメモリ効率の高い時間再帰実装も備えています。

シンクロスクイーズ変換

シンクロスクイーズド変換は、従来のウェーブレット変換で得られた時間周波数表現の時間分解能と周波数分解能を大幅に向上させることができる。[ 26 ] [ 27 ]

参照

参考文献

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