内生性（計量経済学）

計量経済学において、内生性とは、説明変数が誤差項と相関している状況を広く指す。^{[ 1 ]}

内生性とは、簡単に言えば、ある事象を結果として説明するために用いる要因や原因が、その事象自体によっても影響を受けていることを意味します。例えば、教育は所得に影響を与える可能性がありますが、所得もまた、人が受ける教育の量に影響を与える可能性があります。このような場合、分析によって因果関係が誤って推定される可能性があります。変化を引き起こしていると考えられるものも、結果の影響を受けており、結果の信頼性が低下します。

この概念は同時方程式モデルに由来しており、経済モデル内で値が決定される変数（内生的）と事前に決定されている変数（外生的）を区別するものである。 ^{[ a ] [ 2 ]}

推定において同時性を無視すると、ガウス・マルコフ定理の外生性条件に違反するため、偏りのある矛盾した推定値が得られる。この問題は非実験研究ではしばしば見落とされ、因果推論の妥当性と信頼性の高い政策提言を導き出す能力を制限している。^{[ 3 ]}

内生性に対処するための一般的な解決策には、内生的説明変数と相関しているが誤差項とは相関していない変数を導入することで一貫性のある推定値を提供する、道具変数手法の使用が含まれます。

同時性に加えて、観測されていない変数や省略された変数が独立変数と従属変数の両方を交絡させている場合、または独立変数が誤差を伴って測定されている場合には、説明変数と誤差項の間に相関が生じる可能性がある。^{[ 4 ]}

外生性の定義

確率モデルでは、通常の外生性、逐次外生性、強い／厳密な外生性という概念を定義できます。外生性は、変数（複数可）がパラメータ に対して外生的であるという形で表現されます。変数がパラメータ に対して外生的であっても、パラメータ に対して内生的である場合があります。 ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \alpha}$ ${\displaystyle \beta}$

説明変数が確率的ではない場合、それらの変数はすべてのパラメータに対して強い外生的になります。

独立変数が回帰モデルの誤差項と相関している場合、最小二乗法（OLS）による回帰係数の推定値はバイアスを持つ。しかし、相関が同時発生していない場合は、係数推定値は依然として一貫性を持つ可能性がある。バイアスを補正する方法は数多くあり、操作変数回帰やヘックマン選択補正などが挙げられる。

静的モデル

内生性の一般的な原因は次のとおりです。

省略された変数

この場合、内生性は制御されていない交絡変数、つまりモデル内の独立変数と誤差項の両方と相関する変数に起因します。（同様に、省略された変数は独立変数に影響を与え、従属変数には別々に影響を与えます。）

推定すべき「真の」モデルは

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\gamma z_{i}+u_{i}}$

しかし、回帰モデルでは省略されている（おそらく直接測定する方法がないからだろう）。そして、実際に推定されるモデルは次のようになる。 ${\displaystyle z_{i}}$

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}}$

ここで（したがって、項は誤差項に吸収されています）。 ${\displaystyle \varepsilon _{i}=\gamma z_{i}+u_{i}}$ ${\displaystyle z_{i}}$

との相関が0 でなく、 が別々に影響を及ぼす場合（つまり）、 は誤差項 と相関します。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \gamma \neq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varepsilon }$

ここで、はおよびに対して外生的ではありません。 が与えられている場合、の分布は、およびだけでなく、および にも依存するからです。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \gamma }$

測定誤差

独立変数の完全な測定が不可能であると仮定する。つまり、 を観測する代わりに、実際には を観測する。ここで は測定誤差、つまり「ノイズ」である。この場合、次式で表されるモデルが用いられる。 ${\displaystyle x_{i}^{*}}$ ${\displaystyle x_{i}=x_{i}^{*}+\nu _{i}}$ ${\displaystyle \nu _{i}}$

${\displaystyle y_{i}=\alpha +\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{i}}$

観測量と誤差項を用いて次のように表すことができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{i}&=\alpha +\beta (x_{i}-\nu _{i})+\varepsilon _{i}\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+(\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+u_{i}\quad ({\text{where }}u_{i}=\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\end{aligned}}}$

と は両方ともに依存するため相関しており、 の OLS 推定値は下方にバイアスされます。 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle \beta }$

従属変数の測定誤差は内生性を引き起こしませんが、誤差項の分散を増加させます。 ${\displaystyle y_{i}}$

同時性

2 つの変数が共決定され、それぞれが次の「構造」方程式に従って他方に影響を与えるとします。

${\displaystyle y_{i}=\beta _{1}x_{i}+\gamma _{1}z_{i}+u_{i}}$

${\displaystyle z_{i}=\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}y_{i}+v_{i}}$

どちらかの方程式を単独で推定すると内生性が生じる。最初の構造方程式の場合、 となる。 を仮定して を解くと 、${\displaystyle E(z_{i}u_{i})\neq 0}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle 1-\gamma _{1}\gamma _{2}\neq 0}$

${\displaystyle z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}v_{i}+{\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}u_{i}}$ 。

とが無相関であると仮定すると、 ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} (z_{i}u_{i})={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (u_{i}u_{i})\neq 0}$ 。

したがって、どちらかの構造方程式を推定する試みは、内生性によって妨げられることになります。

動的モデル

内生性の問題は、因果プロセスの時系列分析において特に重要です。因果システム内の一部の要因は、 t期におけるその値が、 t − 1期における因果システム内の他の要因の値に依存することがよく あります。例えば、害虫の蔓延レベルが、ある期間においては他のすべての要因とは独立しているものの、前期における降雨量と施肥量の影響を受けると仮定します。この場合、害虫の蔓延は当該期間においては外生的であるものの、時間の経過 とともに内生的になる、という表現が適切でしょう。

厳密な外生性

モデルをy  =  f ( x ,  z ) +  uとする。変数x がパラメータ に対して逐次外生的であり、y がグレンジャーの意味でx を引き起こしていない場合、変数x はパラメータ に対して強外生的／厳密に外生的である。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

弱い外生性

弱い外生性は、回帰変数の現在値と過去値を与えられた場合、構造誤差項の条件付き期待値がゼロであることを要求する識別仮定である。^{[ 5 ]} これは、説明変数の周辺分布を分析する必要なく、条件付き確率モデルのみから関心パラメータに関する統計的推論が有効に導かれるかどうかを判断するために使用される。^{[ 6 ]}厳密な外生性 は、フィードバック効果のためにマクロ経済データや金融データではしばしばあり得ないが、弱い外生性はこれらの分野で用いられる標準的な識別仮定である。^{[ 5 ]}

この概念はJean-François Richard (1980) によって形式化され、 Robert F. Engle、David F. Hendry、Richard (1983)によってEconometricaでさらに分析されました。

変数は、 と表記される特定の関心パラメータの集合に対して弱外生的であり、の周辺密度には^{[ 6 ]}を推定する上で有用な情報が含まれていない場合、つまり ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle \psi =(\phi _{1},\phi _{2})}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle \psi }$

• 関心のあるパラメータは条件付きモデル（）のパラメータにのみ依存し、周辺モデル（ ）のパラメータには依存しない。${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$
• パラメータと変動は無関係でなければならない。つまり、の許容範囲は、${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$

線形回帰フレームワークは次のように定義されます。 ここで、 は結果変数、は回帰変数（ の過去の値を含む可能性があります）、は構造誤差項です。これは、誤差が現在および過去の回帰変数に対して直交することを意味します。これは、次のモーメント条件によって表現できます。 ${\displaystyle z_{t}=x_{t}^{\top }\beta +\epsilon _{t}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle x_{t}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle \epsilon _{t}}$

${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon _{t}\mid x_{t},x_{t-1},\dots ]=0}$

この条件により、誤差が回帰変数の将来の実現値と相関することが可能になり、ある期間の結果変数が将来の期間の回帰変数の値に影響を与えるというフィードバックメカニズムが適応されます。^{[ 5 ]}

これは厳密な外生性とは対照的であり、より制限的な仮定では、誤差項は、過去、現在、および将来の値を含む回帰変数の完全なセットを条件としてゼロの条件付き期待値を持つことが要求されます^{[ 5 ]}、つまり、 サンプルのサイズです。 ${\displaystyle \mathbb {E} [\epsilon _{t}\mid x_{0},x_{1},...,x_{T}]=0}$ ${\displaystyle T}$

同様に、弱い外生性では、回帰変数と遅延応答変数が事前に決定され、現在の期間より前に決定される必要があります。

弱外生変数の一般的な例としては、信用制約と合理的期待を考慮したモデルにおける消費が挙げられる。この場合、消費は事前に決定されているものの、厳密に外生的ではない。予測不可能なマイナスの所得ショックは、過去の（そして場合によっては現在の）消費とは無相関であるが、将来の消費とは確実に相関する。つまり、個人はより貧しい状況に対応するために将来の消費を調整せざるを得なくなり、相関が生じる。ショックが現在の消費に影響を与える場合、事前決定性（ここではラグのみとして定義）は、潜在的な操作変数、すなわち変数のラグ付き値を提供する。

事前に決定された変数の存在は、 Arellano-Bond 推定量における動機付け要因です。

参照

• 好循環と悪循環
• 異質性
• 従属変数と独立変数

脚注

1. 例えば、単純な需要供給モデルにおいて、均衡需要量を予測する場合、生産者は需要に応じて価格を調整し、消費者も価格に応じて需要を調整するため、価格は内生的である。この場合、需要曲線と供給曲線が特定されると、価格変数は完全に内生的となる。一方、消費者の嗜好や選好の変化は、需要曲線の外生的シフトを表す

参考文献

1. ウッドリッジ、ジェフリー・M. (2009). 『計量経済学入門：現代的アプローチ』（第4版）. オーストラリア：サウスウェスタン社. p. 88. ISBN 978-0-324-66054-8。
2. Kmenta, Jan (1986). 『計量経済学の要素』（第2版）. ニューヨーク: MacMillan. pp.  652–653 . ISBN 0-02-365070-2。
3. アントナキス, ジョン; ベンダハン, サミュエル; ジャカール, フィリップ; ラリヴ, ラファエル (2010年12月). 「因果関係の主張について：レビューと提言」(PDF) .リーダーシップ・クォータリー. 21 (6): 1086– 1120. doi : 10.1016/j.leaqua.2010.10.010 . ISSN 1048-9843 . 
4. ジョンストン、ジョン(1972).計量経済学的手法（第2版）. ニューヨーク: マグロウヒル. pp.  267–291 . ISBN 0-07-032679-7。
5. ミクシェワ、アンナ;ミッケル、ソルブステン（2025年5月）。「弱い外生性を伴う線形回帰」。量的経済学。16 (2): 367–403。土井: 10.3982/QE2622。
6. ヘンドリー、デイヴィッド・F. (1995). 「外生性と因果関係」.動的計量経済学(オンライン版). オックスフォード大学出版局. ISBN 9780198283164. 2025年12月16日閲覧。

さらに読む

• グリーン、ウィリアム・H. (2012).計量経済分析（第6版）. アッパー・サドル・リバー: ピアソン. ISBN 978-0-13-513740-6。
• ケネディ、ピーター（2008年）『計量経済学入門』（第6版）モールデン：ブラックウェル、139頁。ISBN 978-1-4051-8257-7。
• クメンタ、ヤン(1986). 『計量経済学の要素』（第2版）. ニューヨーク: マクミラン. pp.  651–733 . ISBN 0-02-365070-2。

外部リンク

• 内生性：不都合な真実。ジョン・アントナキス教授のYouTubeポッドキャスト
• マーク・トーマによるYouTubeでの同時性バイアスに関する講義
• セス・ゴーディンの内生性に関するシンプルな見解