弱められた弱形

弱化弱形式 （またはW2形式）[ 1 ]は、メッシュフリー法や有限要素法の設定に基づく一般的な数値解析法の定式化に用いられる 。これらの数値解析法は、固体力学だけでなく流体力学の問題 にも適用できる。

説明

簡単にするために、議論には弾性問題 (2 次 PDE) を選択します。[ 2 ]また、よく知られている弱形式と強形式 を参照すると、議論が最も都合がよくなります。近似解の強定式化では、変位関数が 2 次微分可能であると仮定する必要があります。弱定式化では、線形形式と双線形形式を作成し、弱ステートメントを満たす特定の関数 (近似解) を検索します。双線形形式は、1 次微分のみを持つ関数の勾配を使用します。したがって、仮定される変位関数の連続性に関する要件は、強定式化よりも弱くなります。離散形式 (有限要素法、または FEM など) では、仮定される変位関数に対する十分な要件は、問題領域全体で区分的に連続していることです。これにより、要素を使用して関数を構築することができ (ただし、すべての要素インターフェイスにわたって連続していることは確認する必要があります)、強力な FEM につながります。

さて、弱められた弱（W2）定式化では、この要件をさらに緩和します。仮定された関数のみ（勾配さえも含まない）を用いて双線形形式を形成します。これは、いわゆる一般化勾配平滑化法[ 3 ]を用いることで実現されます。この手法では、適切なG空間内にある不連続関数の特定のクラスについて、変位関数の勾配を近似することができます。[ 4 ] 仮定された変位関数に対して1次微分さえも実際に行う必要がないため、関数の整合性に関する要件はさらに緩和され、弱められた弱、すなわちW2定式化が実現されます。

歴史

弱められた弱形式の体系的な理論の発展はメッシュフリー法の研究から始まりました。[ 2 ]これは比較的新しい理論ですが、ここ数年で急速に発展しました。

W2製剤の特徴

  1. W2定式化は、三角形メッシュに適した様々な（均一な）「ソフト」モデルを定式化する可能性を提供します。三角形メッシュは自動生成できるため、メッシュの再生成が容易になり、モデリングとシミュレーションの自動化が促進されます。これは、完全自動化された計算手法の開発という私たちの長期目標にとって非常に重要です。
  2. さらに、W2モデルは、力駆動問題における上界解を生成するのに十分なほど（均一な方法で）柔軟にすることができます。剛性モデル（例えば、完全に互換性のあるFEMモデル）と組み合わせることで、解を両側から容易に制限することができます。これにより、三角形メッシュを生成できる限り、一般的に複雑な問題における誤差推定が容易になります。これは、いわゆる認証解を生成する上で重要です。
  3. W2 モデルは、体積ロックなしで構築でき、他の種類のロック現象も発生しない可能性があります。
  4. W2モデルは、変位関数の変位勾配を個別に仮定する自由度を提供し、超高精度かつ超収束性のモデルの構築を可能にします。エネルギー収束率が2である線形モデルを構築できる可能性があります。
  5. W2 モデルはメッシュの歪みに対してあまり敏感ではないことがよくあります。
  6. W2モデルは低次手法に有効であることが判明

既存のW2モデル

一般的な W2 モデルは、平滑化点補間法 (または S-PIM) です。[ 5 ] S-PIM には、ノードベース (NS-PIM または LC-PIM として知られる)、[ 6 ]エッジベース (ES-PIM)、[ 7 ]およびセルベース (CS-PIM) があります。[ 8 ] NS-PIM は、いわゆる SCNI 手法を使用して開発されました。[ 9 ]その後、NS-PIM は上限解と体積ロックフリーを生成できることが発見されました。[ 10 ] ES-PIM は精度に優れていることがわかっており、CS-PIM は NS-PIM と ES-PIM の中間の挙動を示します。 さらに、W2 の定式化では、形状関数の作成に多項式とラジアル基底関数を使用できます (G1 空間内にある限り、不連続な変位関数に対応S-FEMはS-PIMの線形版ですが、S-PIMのほとんどの特性を備えつつ、はるかに単純化されています。NS-FEM、ES-FEM、CS-FEMの派生型も存在します。S-PIMの主要な特性はS-FEMにも見られます。[ 11 ] S-FEMモデルは以下のとおりです。

アプリケーション

W2 モデルの用途の一部は次のとおりです。

  1. 固体、構造物、圧電体の力学​​[ 22 ] [ 23 ]
  2. 破壊力学と亀裂伝播; [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ]
  3. 熱伝達; [ 28 ] [ 29 ]
  4. 構造音響学; [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]
  5. 非線形問題および接触問題; [ 33 ] [ 34 ]
  6. 確率解析; [ 35 ]
  7. 適応分析; [ 36 ] [ 18 ]
  8. 相変化問題; [ 37 ]
  9. 結晶塑性モデリング[ 38 ]
  10. 限定的な分析。[ 39 ]

参照

参考文献

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  3. ^ Liu GR、「一般化勾配平滑化手法と幅広い計算手法のガラーキン定式化のための平滑化双線形形式」、 International Journal of Computational Methods、第5巻、第2号、199–236、2008年
  4. ^ Liu GR、「G空間理論について」、 International Journal of Computational Methods、第6巻第2号、257–289、2009年
  5. ^ Liu, GR 第2版：2009 Mesh Free Methods、CRC Press。978-1-4200-8209-9
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