ワイブル係数
ワイブル分布の無次元パラメータ

ワイブル係数は、ワイブル分布の無次元パラメータです。これは確率密度関数（PDF）の幅を表し、係数が高いほど分布が狭くなるという特性があります。使用例としては、生物学的破壊解析や脆性材料の破壊解析などが挙げられます。これらの解析では、係数は材料の破壊強度のばらつきを記述するために使用されます。

意味

材料の破損を予測する例におけるワイブル分布のCDF、σ 0 = 50 MPa

累積分布関数(CDF) として表されるワイブル分布は、次のように定義されます。

F （ × ） ＝ 1 − 経験 ⁡ （ − （ × − × あなた × 0 ） メートル ） {\displaystyle F(x)=1-\exp \left(-\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m}\right)}

ここで、mはワイブル係数である。[1] は、データをワイブル分布に当てはめる際に求められるパラメータであり、データの約67%が含まれる入力値を表す。mが増加すると、CDF分布はにおけるステップ関数に近づき、これは次式で定義される確率密度関数（PDF）のより鋭いピークと相関する。 × 0 {\displaystyle x_{0}} × 0 {\displaystyle x_{0}}

f （ × ） ＝ （ メートル × 0 ） （ × − × あなた × 0 ） メートル − 1 経験 ⁡ （ − （ × − × あなた × 0 ） メートル ） {\displaystyle f(x)=\left({\frac {m}{x_{0}}}\right)\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m-1}\exp \left(-\left({\frac {x-x_{u}}{x_{0}}}\right)^{m}\right)}

材料の破損を予測する例におけるワイブル分布のPDF、σ 0 = 50 MPa
ワイブル係数が4と10、特性強度が40 MPaと120 MPaの双峰ワイブル分布のPDF

故障解析では、この分布[2]を、サンプルの故障確率FのCDFとして、印加応力σの関数として、次の形式で使用することが多い。

F （ σ ） ＝ 1 − 経験 ⁡ [ − （ σ σ 0 ） メートル ] {\displaystyle F(\sigma )=1-\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{m}\right]}

試料の破壊応力σは、上記の式の特性値に代入されます。初期特性値は0、つまり材料の無応力平衡状態と仮定されます。 × {\displaystyle x} × あなた {\displaystyle x_{u}}

ワイブルCDFのプロット図では、ワイブル係数の値が変化するにもかかわらず、プロットされた関数はすべて、分布の特性強度である応力値50 MPaで交差していることが注目に値します。また、ワイブルPDFのプロット図では、ワイブル係数が高くなるとプロット内の傾きが急になることも注目に値します。

ワイブル分布は多峰性を持つこともあり、その場合、複数の値と複数の係数mが報告されます。二峰性ワイブル分布のCDFは、材料破壊解析に適用された場合、以下の形になります[3]。 × 0 {\displaystyle x_{0}}

F （ σ ） ＝ 1 − ϕ 経験 ⁡ [ − （ σ σ 01 ） メートル 1 ] − （ 1 − ϕ ） 経験 ⁡ [ − （ σ σ 02 ） メートル 2 ] {\displaystyle F(\sigma )=1-\phi \exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}}\right]-(1-\phi )\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}}\right]}

これは、2つの異なるモードで破損する材料を表しています。この式において、m 1は第1モードの弾性係数、m 2は第2モードの弾性係数です。Φ は、サンプルセットのうち第1モードで破損するサンプルの割合です。対応するPDFは次のように定義されます。 f （ σ ） ＝ ϕ （ メートル 1 σ 01 ） （ σ σ 01 ） メートル 1 − 1 経験 ⁡ [ − （ σ σ 01 ） メートル 1 ] + （ 1 − ϕ ） （ メートル 2 σ 02 ） （ σ σ 02 ） メートル 2 − 1 経験 ⁡ [ − （ σ σ 02 ） メートル 2 ] {\displaystyle f(\sigma )=\phi \left({\frac {m_{1}}{\sigma _{01}}}\right)\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}-1}\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{01}}}\right)^{m_{1}}\right]+(1-\phi )\left({\frac {m_{2}}{\sigma _{02}}}\right)\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}-1}\exp \left[-\left({\frac {\sigma }{\sigma _{02}}}\right)^{m_{2}}\right]}

ワイブル係数が4と10、特性強度が40 MPaと120 MPaの双峰ワイブル分布のCDF

この記事の図には、特性強度の値が 40 MPa と 120 MPa、ワイブル係数が 4 と 10、Φ の値が 0.5 であるバイモーダル ワイブル PDF と CDF の例がプロットされており、各破損モードで破損する試験片の 50% に相当します。

CDFの線形化

累積ワイブル分布関数の補数は次のように表すことができます。

P ＝ 1 − F {\displaystyle P=1-F}

ここで、Pは与えられた応力値に対する標本の生存確率に対応する。したがって、次の式が成り立つ。

P （ σ ） ＝ 1 − [ 1 − 経験 ⁡ [ − （ σ σ 0 ） メートル ] ] ＝ 経験 ⁡ [ − （ σ σ 0 ） メートル ] {\displaystyle P(\sigma )=1-\left[1-\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]\right]=\exp \left[-({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}})^{m}\right]}

ここで、mはワイブル係数です。確率を応力に対してプロットすると、上図に示すように、グラフはシグモイド曲線になります。指数関数が自然対数の底であるという事実を利用すると、上記の式は次のように変形できます。

上に示した Weibull CDF の線形化。

ln ⁡ [ ln ⁡ （ 1 1 − F ） ] ＝ ln ⁡ [ （ σ σ 0 ） メートル ] {\displaystyle \ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=\ln \left[\left({\frac {\sigma }{\sigma _{0}}}\right)^{m}\right]}

これは対数の性質を利用すると次のように表現することもできます。

ln ⁡ [ ln ⁡ ( 1 1 − F ) ] = m ln ⁡ ( σ ) − m ln ⁡ ( σ 0 ) {\displaystyle \ln \left[\ln \left({\frac {1}{1-F}}\right)\right]=m\ln(\sigma )-m\ln(\sigma _{0})}

この式の左辺を応力の自然対数の関数としてプロットすると、ワイブル係数 m の傾きと x 切片を持つ線形プロットを作成できます 。 ln ⁡ ( σ 0 ) {\displaystyle \ln(\sigma _{0})}

上に示したCDFの線形化プロットを見ると、すべての関数の特性強度が同じ値を持つため、すべての直線がX軸と同じ点で交差していることがわかります。傾きが変化する理由は、ワイブル係数の値が異なるためです。

測定

標準化団体は、ワイブルパラメータの値の測定と報告、および強度データのその他の統計分析に関する複数の標準を作成しています。

  • ASTM C1239-13: 先進セラミックスの一軸強度データの報告とワイブル分布パラメータの推定に関する標準規格[4]
  • ASTM D7846-21: 先進グラファイトの単軸強度データの報告とワイブル分布パラメータの推定に関する標準規格[5]
  • ISO 20501:2019 ファインセラミックス（先端セラミックス、先端テクニカルセラミックス） - 強度データのワイブル統計[6]
  • ANSI DIN EN 843-5:2007 先端技術セラミックス - モノリシックセラミックスの室温での機械的特性 - パート5：統計分析[7]

ワイブル分布をデータセットに適用する場合、まずデータポイントを順位付けする必要があります。破壊解析の用途では、試験片の破壊強度は昇順、つまり最低強度から最高強度へと順位付けされます。次に、測定された各破壊強度に破壊確率が割り当てられます。ASTM C1239-13 [4]では、以下の式が用いられています。

F ( σ ) = i − 0.5 N {\displaystyle F(\sigma )={\frac {i-0.5}{N}}}

ここで、 はランク付けされた試験片番号、はサンプル内の試験片の総数です。これを破壊強度に対してプロットすることで、ワイブル累積分布関数が得られます。ワイブルパラメータ、弾性率、および特性強度は、フィッティングまたは上記の線形化法を用いて求めることができます。 i {\displaystyle i} N {\displaystyle N} F {\displaystyle F}

出版された作品からの使用例

ワイブル統計は、セラミックスなどの脆性材料によく用いられます。 [8] [9]材料工学において、ワイブル係数は信頼性の重要な指標として機能し、370種類以上の材料についてその値がまとめられています。例えば、構造用ガラス繊維では、ワイブル係数は2.3から7の範囲にあると報告されています。[10]また、気象学など他の分野にも応用されており、風速はワイブル統計を用いて記述されることがよくあります。[11] [12] [13]

セラミックスおよび脆性材料

セラミックスやその他の脆性材料の場合、サンプルが破壊するまでに耐えられると測定される最大応力は、試験条件が同じであっても、サンプルごとに異なる場合があります。これは、脆性破壊プロセスがこれらの弱い点から発生するため、脆性サンプルの表面または本体に存在する物理的な欠陥の分布に関係しています。線形弾性破壊力学の分野では、応力拡大係数とグリフィス基準という概念の発展により、脆性破壊を説明するために多くの研究が行われてきました。欠陥が一貫して均一に分布している場合、サンプルは、欠陥が不規則に密集している場合よりも均一に動作します。材料の強度を説明するときはこれを考慮する必要があり、強度は特定の 1 つの値としてではなく、値の分布として表すのが最適です。

脆いセラミック材料の多数の小さなサンプルを用いて強度測定を行った場合を考えてみましょう。サンプル間の測定値のばらつきが小さい場合、計算されたワイブル係数は高くなり、単一の強度値がサンプル間の性能を適切に表すものとなります。このことから、材料自体に固有の欠陥であれ製造工程に起因する欠陥であれ、物理的欠陥は材料全体に均一に分布していると結論付けられます。測定値のばらつきが大きい場合、計算されたワイブル係数は低くなります。これは、欠陥が不均一に密集していることを示しており、測定された強度は概して弱く、ばらつきがあることを示しています。ワイブル係数の低い部品から作られた製品は信頼性が低く、強度のばらつきも大きくなります。製造工程を慎重に行った場合、25mm長の光ファイバを張力下で試験した結果、最大98のワイブル係数が得られた例もあります。[14]

いくつかの一般的な材料のワイブル係数を示す表が提供されています。ただし、ワイブル係数は強度データから得られるフィッティングパラメータであるため、報告値は情報源によって異なる可能性があることにご注意ください。また、ワイブル係数はサンプルの準備と試験方法に固有のものであり、分析や製造プロセスの変更に伴い変更される可能性があります。

一般的な材料のワイブル係数表
材料 ワイブル係数
窒化シリコン 20 [9]
炭化ケイ素 18 [9]
窒化アルミニウム 10 [9]
酸化アルミニウム（98％） 10 [9]
酸化アルミニウム（99％） 10 [9]
ジルコニア強化アルミナ（ZTA） 13 [9]
炭化ホウ素 12 [9]
二ホウ化チタン 11 [9]
ジルコニア 15 [9]

有機材料

有機脆性材料を調査する研究では、ヒトの象牙質やアワビの真珠層などの天然セラミックスにおけるワイブル係数の一貫性と変動性が強調されています。ヒトの象牙質[15]サンプルの研究によると、ワイブル係数は歯内のさまざまな深さや場所で安定しており、平均値は約 4.5、範囲は 3 ～ 6 です。係数の変動は、個々の歯間で欠陥の個数に差があることを示唆しており、これは試料調製中にランダムに生じた欠陥が原因であると考えられます。欠陥の分布や応力感受性の変化により、加齢とともにワイブル係数が低下する可能性があるという推測があります。象牙質の破壊は通常、これらの欠陥から始まり、その起源は内因性または外因性で、窩洞形成、摩耗、損傷、周期的荷重などの要因によって生じます。

アワビの貝殻に関する研究では、その独特な構造的適応が明らかにされており、構造に垂直な方向の引張強度を犠牲にして、貝殻の配列に平行な方向の強度を高めている。アワビの真珠層サンプルのワイブル係数[16]は1.8と測定されており、これは試料間の強度に中程度のばらつきがあることを示す。

準脆性材料

準脆性材料のワイブル係数は、破壊力学モデルで確立されているように、エネルギー障壁スペクトルの傾きの減少と相関している。この関係により、亀裂相互作用や欠陥誘起劣化などの要因を考慮しながら、破壊エネルギー障壁スペクトルの傾きとワイブル係数の両方を決定することができる。準脆性材料のワイブル係数には、温度依存性や、亀裂相互作用または応力場相互作用による変動が観察される。損傷の蓄積はワイブル係数の急激な減少を招き、損傷が増加するにつれてワイブル係数が小さくなる右シフト分布を示す。[17]

品質分析

ワイブル分析は、製品の品質管理や「寿命分析」[18]にも用いられます。ワイブル係数が高いほど、企業は製品の寿命をより確実に予測し、保証期間を決定する際に活用することができます。

脆性材料の特性評価の他の方法

脆性材料の強度を決定するためのさらなる方法は、Wikibook の投稿「3 つのパラメータのワイブル統計を使用した最弱リンクの決定」で説明されています。

参考文献

  1. ^ Weibull, Waloddi (1951). 「幅広い適用性を持つ統計分布関数」(PDF) . Journal of Applied Mechanics . 18 (3): 293. Bibcode :1951JAM....18..293W. doi :10.1115/1.4010337.
  2. ^ Chiang, Yet-ming; Birnie, Dunbar P.; Kingery, WD (1997). Physical ceramics . MIT series in materials science & engineering. New York: J. Wiley. ISBN 978-0-471-59873-2。
  3. ^ Loidl, Dieter; Paris, Oskar; Rennhofer, H.; Müller, Martin; Peterlik, Herwig (2007年11月). 「スキンコア構造と炭素繊維の強度の二峰性ワイブル分布」 . Carbon . 45 (14): 2801– 2805. Bibcode :2007Carbo..45.2801L. doi :10.1016/j.carbon.2007.09.011. ISSN  0008-6223.
  4. ^ ab 「ASTM C1239-13: 先端セラミックスの単軸強度データの報告およびワイブル分布パラメータの推定に関する標準規格」ASTM . 2013 – ASTM Compass経由。
  5. ^ 「先進グラファイトの単軸強度データの報告およびワイブル分布パラメータの推定に関する標準的方法」ASTM 2021 – ASTM Compass経由。
  6. ^ 「ISO 20501:2019 ファインセラミックス（先端セラミックス、先端テクニカルセラミックス） - 強度データのワイブル統計」国際標準化機構（ISO）2019年3月 – Iso.orgより。
  7. ^ 「先端技術セラミックス - モノリシックセラミックスの室温での機械的特性 - パート5：統計分析」アメリカ規格協会、2007年。
  8. ^ Quinn, JB; Quinn, GD (2010年2月). 「歯科材料の強度評価におけるワイブル統計量の実用的かつ体系的なレビュー」. Dental Materials . 26 (2): 135– 147. doi :10.1016/j.dental.2009.09.006. PMC 3086645. PMID 19945745  . 
  9. ^ abcdefghij マイヤーズ, マーク; チャウラ, クリシャン (1998). 『材料の機械的挙動』（第2版）ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-86675-0。
  10. ^ 小野 健 (2019年4月). 「ワイブル係数の簡易推定法と強度データによる検証」.応用科学. 9 (8): 1575–1614 . doi : 10.3390/app9081575 .
  11. ^ Conradsen, K.; Nielsen, LB; Prahm, LP (1984). 「風速分布推定のためのワイブル統計量のレビュー」. Journal of Climate and Applied Meteorology . 23 (8): 1173– 1183. Bibcode :1984JApMe..23.1173C. doi : 10.1175/1520-0450(1984)023<1173:ROWSFE>2.0.CO;2 . ISSN  0733-3021. JSTOR  26181388.
  12. ^ Pavia, Edgar G.; O'Brien, James J. (1986-10-01). 「海上風速のワイブル統計」. Journal of Applied Meteorology and Climatology . 25 (10): 1324– 1332. Bibcode :1986JApMe..25.1324P. doi : 10.1175/1520-0450(1986)025<1324:WSOWSO>2.0.CO;2 . ISSN  1520-0450.
  13. ^ Carta, JA; Ramirez, P. (2007). 「風速分布推定のための2成分混合ワイブル統計量の分析」 .再生可能エネルギー. 32 (3): 518– 531. Bibcode :2007REne...32..518C. doi :10.1016/j.renene.2006.05.005 – Elsevier Science Direct経由.
  14. ^ マシューソン, M. ジョン; クルクジャン, チャールズ R.; グラティ, スレッシュ T. (1986年11月). 「曲げによる光ファイバーの強度測定」 .アメリカセラミックス協会誌. 69 (11): 815– 821. doi :10.1111/j.1151-2916.1986.tb07366.x. ISSN  0002-7820.
  15. ^ クイン、ジャネット・B.；クイン、ジョージ・D.（2010年2月）「歯科材料の強度報告におけるワイブル統計量の実用的かつ体系的なレビュー」歯科材料26 (2): 135– 147. doi :10.1016/j.dental.2009.09.006. ISSN  0109-5641. PMC 3086645. PMID 19945745  . 
  16. ^ Lin, Albert Yu-Min; Meyers, Marc André (2009年12月). 「アワビ真珠層の界面せん断強度」 . Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials . 2 (6): 607– 612. doi :10.1016/j.jmbbm.2009.04.003. ISSN  1751-6161. PMID  19716105.
  17. ^ Qi, Chengzhi; Lu, Chunsheng; Chanyshev, AI; Li, Xiaozhao; Qu, Xiaolei (2023年6月). 「準脆性材料のワイブル強度分布係数の決定に関する予備的研究」. Geohazard Mechanics . 1 (2): 103– 109. Bibcode :2023GeohM...1..103Q. doi : 10.1016/j.ghm.2023.05.002 . ISSN  2949-7418.
  18. ^ 「ワイブル分析 | Quality-One」2018年2月20日. 2024年4月27日閲覧。
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Weibull_modulus&oldid=1321740369"