ワイエルシュトラス点

数学において、複素数 上に定義された非特異代数曲線上のワイエルシュトラス点 とは、 上に極が のみに制限された関数が、リーマン・ロッホの定理によって予測されるよりも多く存在するような点である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$

この概念はカール・ワイエルシュトラスにちなんで名付けられました。

ベクトル空間を考える

${\displaystyle L(0),L(P),L(2P),L(3P),\dots }$

ここで はにおける位数が少なくとも であり、他の極を持たない有理型関数の空間である。次の3つのことが分かっている。 上の定数関数のため次元は少なくとも1である。次元は非減少である。そしてリーマン・ロッホの定理から、次元は右に移動するにつれて最終的にちょうど1だけ増加する。実際、が の種数である場合、 - 番目 の項からの次元は${\displaystyle L(kP)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle -k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle l(kP)=k-g+1,}$ のために${\displaystyle k\geq 2g-1.}$

したがって、我々の配列に関する知識は

${\displaystyle 1,?,?,\dots ,?,g,g+1,g+2,\dots .}$

? 要素について分かっていることは、各回で最大 1 ずつ増分できるということです（これは単純な議論です。 の次元は最大 1 です。これは、 と がで同じ次数の極を持つ場合、定数を選択して先頭項をキャンセルすると、 はより低い次数の極を持つためです）。ここには疑問符が付いているので、 またはの場合はこれ以上の議論は必要なく、ワイエルシュトラス点も生じません。 ${\displaystyle L(nP)/L((n-1)P)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f+cg}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 2g-2}$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle 1}$

したがって と仮定する。増加するステップと、増加しないステップが存在する。 の非ワイエルシュトラス点は、増分がすべて可能な限り右に寄ったときに発生する。つまり、シーケンスは次のようになる。 ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle g-1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle 1,1,\dots ,1,2,3,4,\dots ,g-1,g,g+1,\dots .}$

それ以外の場合はワイエルシュトラス点である。に対するワイエルシュトラスギャップとは、上のどの関数もにおいてのみ の極を持たないようなの値である。ギャップ列は ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle 1,2,\dots ,g}$

非ワイエルシュトラス点の場合、この式は少なくとも1つのより大きな数を含みます。ワイエルシュトラス点の場合、この式は少なくとも1つのより大きな数を含みます。（ワイエルシュトラスのギャップ定理（Lückensatz）とは、ギャップが存在する必要があるという定理です。） ${\displaystyle g}$

例えば、超楕円曲線の場合、 のみ に二重極を持つ関数が存在する。その冪乗は の位数の極を持ち、以下同様である。したがって、そのような関数はギャップ列を持つ 。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 4,6}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle 1,3,5,\dots ,2g-1.}$

一般的にギャップ配列が

${\displaystyle a,b,c,\dots }$

ワイエルシュトラス点の 重さは

${\displaystyle (a-1)+(b-2)+(c-3)+\dots .}$

これは計数定理によって導入される。リーマン面上のワイエルシュトラス点の重みの和は${\displaystyle g(g^{2}-1).}$

例えば、上記の超楕円ワイエルシュトラス点は重み を持つ。したがって、（最大で）個存在する。超楕円曲線から射影直線への次数2の分岐被覆の分岐点はすべて超楕円ワイエルシュトラス点であり、これらにより種数 の超楕円曲線上のワイエルシュトラス点はすべて網羅される。 ${\displaystyle g(g-1)/2.}$ ${\displaystyle 2(g+1)}$ ${\displaystyle 2g+2}$ ${\displaystyle g}$

ギャップに関するさらなる情報はクリフォードの定理を適用することで得られる。関数の乗算は、ギャップのない部分に数値半群構造を与え、アドルフ・フルヴィッツの古い疑問は、発生する半群の特徴づけを求めていた。1980年にR.-O.ブッフヴァイツは新たな必要条件を発見し、種数16の曲線上の点でギャップのない部分の半群として現れない、16個のギャップを持つ非負整数の部分半群の例を示した（ ^{[ 1 ]}を参照）。正特性体上の非特異曲線に対するワイエルシュトラス点の定義は、1939年にFKシュミットによって与えられた。

肯定的な特徴

より一般的には、特性 の代数閉体上に定義された非特異代数曲線 において、有限個以外の点のギャップ数は固定された列である。これらの点は非ワイエルシュトラス点と呼ばれる。ギャップ列が異なるすべての点はワイエルシュトラス点と呼ばれる。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p\geq 0}$ ${\displaystyle \epsilon_{1},...,\epsilon_{g}.}$ ${\displaystyle C}$

ならば、曲線は古典曲線と呼ばれます。そうでなければ、非古典曲線と呼ばれます。標数ゼロでは、すべての曲線は古典曲線です。 ${\displaystyle \epsilon_{1},...,\epsilon_{g}=1,...,g}$

エルミート曲線は非古典的曲線の一例です。エルミート曲線は、有限体上の射影曲線であり、方程式 （ただしは素数冪） によって定義されます。${\displaystyle GF(q^{2})}$ ${\displaystyle y^{q}+y=x^{q+1}}$ ${\displaystyle q}$

注記

1. アイゼンバッド＆ハリス 1987、499ページ。

参考文献

• P. グリフィス、J. ハリス(1994). 『代数幾何学の原理』ワイリー・クラシックス・ライブラリー. ワイリー・インターサイエンス. pp.  273– 277. ISBN 0-471-05059-8。
• Farkas; Kra (1980).リーマン面. 数学大学院テキスト. Springer-Verlag. pp.  76–86 . ISBN 0-387-90465-4。
• アイゼンバッド, デイヴィッド; ハリス, ジョー (1987). 「ワイエルシュトラス点の存在、分解、および極限」. Invent. Math . 87 (3): 495– 515. doi : 10.1007/bf01389240 . S2CID  122385166 .
• ガルシア、アルナルド。パウロ、ヴィアナ (1986)。 「ワイエルシュトラスは特定の非古典的曲線上に点を置く」。数学のアーカイブ。46 (4): 315–322。土井: 10.1007/BF01200462。S2CID  120983683。
• Voskresenskii, VE (2001) [1994], 「ワイエルシュトラス点」 ,数学百科事典, EMS Press