計量マトリックス
数学的重量装置
計量マトリックスは、複数の物体の個々の重量を最適に測定するために使用されるため、このように呼ばれています。[1] [2]

数学において、順序と重みの重み付け行列とは、次のような集合の要素を持つ行列のことです。 n {\displaystyle n} わ {\displaystyle w} W {\displaystyle W} { 0 、 1 、 − 1 } {\displaystyle \{0,1,-1\}}

W W T ＝ わ 私 n {\displaystyle WW^{\mathsf {T}}=wI_{n}}

ここではの転置行列であり、は の位数の単位行列である。重みは行列の次数とも呼ばれる。便宜上、位数と重みの重み付け行列は と表記されることが多い。[3] W T {\displaystyle W^{\mathsf {T}}} W {\displaystyle W} 私 n {\displaystyle I_{n}} n {\displaystyle n} わ {\displaystyle w} n {\displaystyle n} わ {\displaystyle w} W （ n 、 わ ） {\displaystyle W(n,w)}

計量マトリックスは、複数の物体の個々の重量を最適に測定するために用いられることから、このように呼ばれています。計量装置が天秤である場合、複数の物体を一度に計量し、その際に天秤の反対側の皿にいくつかの物体を載せて計量値から差し引くことで、測定値の統計的変動を最小限に抑えることができます。[1] [2]

プロパティ

いくつかの特性は定義から直接得られます。 がの場合、次のようになります。 W {\displaystyle W} W （ n 、 わ ） {\displaystyle W(n,w)}

  • の行は互いに直交しています。同様に、列も互いに直交しています。 W {\displaystyle W}
  • の各行と各列には、ゼロ以外の要素が正確に含まれます。 W {\displaystyle W} わ {\displaystyle w}
  • W T W ＝ わ 私 {\displaystyle W^{\mathsf {T}}W=wI} 定義は を意味しているため、はの逆数です。 W − 1 ＝ わ − 1 W T {\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{\mathsf {T}}} W − 1 {\displaystyle W^{-1}} W {\displaystyle W}
  • 詳細 W ＝ ± わ n / 2 {\displaystyle \det W=\pm w^{n/2}} ここでは の行列式です。 詳細 W {\displaystyle \det W} W {\displaystyle W}

重み付け行列は、ゼロ要素を許さないアダマール行列の一般化である。 [3] 2つの特別なケースとして、aはアダマール行列[3]であり、aは会議行列と同等である。 W （ n 、 n ） {\displaystyle W(n,n)} W （ n 、 n − 1 ） {\displaystyle W(n,n-1)}

アプリケーション

実験デザイン

計量行列は、複数の物体の重量を測定する問題に由来しています。測定装置の統計的分散が の場合、物体の重量を測定し、そこから（同様に不正確である）風袋重量を差し引くと、最終的な測定値の分散は となります。[4]物体の異なるサブセットを測定することで、推定重量の精度を高めることができます。特に、物体を反対側の計量皿に置き、測定値からその重量を差し引くことができる天秤を使用する場合は、精度が向上します。 σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} 北 {\displaystyle N} 2 σ 2 {\displaystyle 2\sigma ^{2}}

順序行列は、試験における物体（風袋重量を含む）の配置を表すために使用できます。天秤の左皿が測定値に加算され、右皿が測定値から減算されるとします。この行列の各要素は以下のようになります。 n {\displaystyle n} W {\displaystyle W} n {\displaystyle n} n {\displaystyle n} わ 私 j {\displaystyle w_{ij}}

わ 私 j ＝ { 0 もし  私 th 裁判  j オブジェクトは測定されませんでした 1 もし  私 th 裁判  j オブジェクトは左のパンに置かれました − 1 もし  私 th 裁判  j オブジェクトは右のパンに置かれました  {\displaystyle w_{ij}={\begin{cases}0&{\text{i 番目の試行で j 番目の物体が測定されなかった場合}}\\1&{\text{i 番目の試行で j 番目の物体が左の皿に置かれた場合}}\\-1&{\text{i 番目の試行で j 番目の物体が右の皿に置かれた場合}}\\\end{cases}}}

各試行の測定値の列ベクトルを 、これらの測定値に対する誤差をそれぞれ独立かつ同一分布の分散、各物体の真の重量の列ベクトルを とします。すると、以下の式が得られます。 y {\displaystyle \mathbf {y} } n {\displaystyle n} ϵ {\displaystyle \mathbf {\epsilon } } σ 2 {\displaystyle \sigma ^{2}} θ {\displaystyle \mathbf {\theta } } n {\displaystyle n}

y ＝ W θ + ϵ {\displaystyle \mathbf {y} =W\mathbf {\theta } +\mathbf {\epsilon } }

がフルランクであると仮定すると、最小二乗法を使用して真の重みの推定値を計算できます。 W {\displaystyle W}

θ ^ ＝ （ W T W ） − 1 W T y {\displaystyle \mathbf {\hat {\theta }} =(W^{T}W)^{-1}W^{T}\mathbf {y} }

推定ベクトルの分散は より小さくなることはなく、 が重み付け行列である場合にのみ最小となる。 [4] [5] θ ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {\theta }} } σ 2 / n {\displaystyle \sigma ^{2}/n} W {\displaystyle W}

光学測定

入射光（4）のスペクトル測定には、重み付けマトリックスに基づく光学マスク（3）が用いられる。マトリックスの対応する要素に応じて、光は吸収されるか、2つの強度検出器（1,2）のいずれかに透過される。[6]

重み付け行列は、分光計、画像スキャナ[6] 、光多重化システム[5]などの工学技術に用いられます。これらの機器の設計には、光学マスクと光の強度を測定する2つの検出器が含まれます。マスクは、光を最初の検出器に透過させるか、吸収するか、2番目の検出器に向けて反射するかを選択できます。2番目の検出器の測定値は最初の検出器の測定値から差し引かれるため、これら3つのケースはそれぞれ重み付け行列の要素が1、0、-1であることに対応します。これは本質的に前のセクションと同じ測定問題であるため、重み付け行列の有用性も当てはまります。[6]

直交設計

が正の整数である、 の順序と 型の直交計画は、 の要素が の集合に含まれる行列であり、は可換変数である。さらに、直交計画は以下の条件を満たす必要がある。 n {\displaystyle n} （ s 1 、 … 、 s あなた ） {\displaystyle (s_{1},\dots ,s_{u})} s 私 {\displaystyle s_{i}} n × n {\displaystyle n\times n} { 0 、 ± × 1 、 … 、 ± × あなた } {\displaystyle \{0,\pm x_{1},\dots ,\pm x_{u}\}} × 私 {\displaystyle x_{i}}

X X T ＝ ∑ 私 ＝ 0 あなた s 私 × 私 2 {\displaystyle XX^{T}=\sum _{i=0}^{u}s_{i}x_{i}^{2}}

この制約は、 の行が直交し、各行に がちょうど 回出現することとも等価である。[7]直交設計は と表記される。[8] 1変数の直交設計は重み付け行列であるため、2つの研究分野は関連している。[7]この関連により、重み付け行列によって新しい直交設計を発見することができる。[9] X {\displaystyle X} s 私 {\displaystyle s_{i}} × 私 {\displaystyle x_{i}} お D （ n ; s 1 、 … 、 s あなた ） {\displaystyle \mathrm {OD} (n;s_{1},\dots ,s_{u})}

例

重み付け行列を表示する場合、記号は-1を表すために使用されることに注意してください。以下に例を示します。 − {\displaystyle -}

これは: W （ 2 、 2 ） {\displaystyle W(2,2)}

（ 1 1 1 − ） {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}}

これは: W （ 4 、 3 ） {\displaystyle W(4,3)}

（ 1 1 1 0 1 − 0 1 1 0 − − 0 1 − 1 ） {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&-&0&1\\1&0&-&-\\0&1&-&1\end{pmatrix}}}

これは: W ( 7 , 4 ) {\displaystyle W(7,4)}

( 1 1 1 1 0 0 0 1 − 0 0 1 1 0 1 0 − 0 − 0 1 1 0 0 − 0 − − 0 1 − 0 0 1 − 0 1 0 − 1 0 1 0 0 1 − − 1 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&0&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&1&-\\0&1&0&-&1&0&1\\0&0&1&-&-&1&0\end{pmatrix}}}

別の： W ( 7 , 4 ) {\displaystyle W(7,4)}

( − 1 1 0 1 0 0 0 − 1 1 0 1 0 0 0 − 1 1 0 1 1 0 0 − 1 1 0 0 1 0 0 − 1 1 1 0 1 0 0 − 1 1 1 0 1 0 0 − ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}-&1&1&0&1&0&0\\0&-&1&1&0&1&0\\0&0&-&1&1&0&1\\1&0&0&-&1&1&0\\0&1&0&0&-&1&1\\1&0&1&0&0&-&1\\1&1&0&1&0&0&-\end{pmatrix}}}

これは巡回行列、すなわち各行が前の行の巡回シフトである。このような行列は と呼ばれ、その最初の行によって決定される。巡回重み付け行列は、その代数構造により分類が容易になるため、特に興味深い。確かに、 次数と重みの巡回重み付け行列は平方重みでなければならないことがわかっている。したがって、重みは許容され、重みは完全に分類されている。[10] 巡回重み付け行列の 2 つの特別な（実際には極端な）ケースは、(A)次数が 5 未満でなければ存在しないと推測される巡回アダマール行列である。この推測、すなわち Ryser によって最初に提起された巡回アダマール予想は、多くの次数に対して真であることがわかっているが、まだ解決されていない。(B)が素数ベキであり、有限射影平面の補行列に符号を付けることによってこのような巡回重み付け行列を取得できる場合、重みと最小次数 が存在する。のすべての未分類が分類されたので、最初の未分類ケースは です。一般的な重み付け行列（循環行列ではないことは確かです）の最初の未分類ケースは です。 C W ( n , k ) {\displaystyle CW(n,k)} n {\displaystyle n} k {\displaystyle k} 1 , 4 , 9 , 16 , . . . {\displaystyle 1,4,9,16,...} k ≤ 25 {\displaystyle k\leq 25} C W ( n , k ) {\displaystyle CW(n,k)} k = s 2 {\displaystyle k=s^{2}} n {\displaystyle n} s {\displaystyle s} C W ( n , k ) {\displaystyle CW(n,k)} k ≤ 25 {\displaystyle k\leq 25} C W ( 105 , 36 ) {\displaystyle CW(105,36)} W ( 35 , 25 ) {\displaystyle W(35,25)}

等価

2つの重み付け行列は、行列の行と列を順列に並べたり反転させたりすることで、一方から他方が得られる場合、等価であるとみなされます。重み付け行列の分類は、 の場合だけでなく、 の場合にも完全です。[11]しかし、循環重み付け行列の分類を除いて、これを超える分類はほとんど行われていません。[12] [13] w ≤ 5 {\displaystyle w\leq 5} n ≤ 15 {\displaystyle n\leq 15}

存在

重み付け行列に関する未解決の大きな疑問の一つは、その存在である。つまり、と のどの値に対してが存在するのか？ の存在については、次のような予想が提案されている。[7] n {\displaystyle n} w {\displaystyle w} W ( n , w ) {\displaystyle W(n,w)} W ( n , w ) {\displaystyle W(n,w)}

  1. 2 つの整数の平方の合計である場合に限り、が存在します。 n ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}} W ( n , w ) {\displaystyle W(n,w)} w < n − 1 {\displaystyle w<n-1}
  2. の場合、各 に対してが存在します。 n ≡ 0 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}} W ( n , w ) {\displaystyle W(n,w)} w < n {\displaystyle w<n}
  3. すると、 3 つの整数の平方の合計であるすべての直交設計が存在します。 n ≡ 4 ( mod 8 ) {\displaystyle n\equiv 4{\pmod {8}}} O D ( n ; 1 , 1 ) {\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,1)} k < n {\displaystyle k<n} k {\displaystyle k}
  4. ならば、すべての に対して直交設計が存在します。 n ≡ 0 ( mod 8 ) {\displaystyle n\equiv 0{\pmod {8}}} O D ( n ; 1 , k ) {\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)} k < n {\displaystyle k<n}
  5. の場合、となるようなすべての に対して直交計画が存在し、これは整数です。 n ≡ 2 ( mod 4 ) {\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}} O D ( n ; 1 , k ) {\displaystyle \mathrm {OD} (n;1,k)} k < n − 1 {\displaystyle k<n-1} k = a 2 {\displaystyle k=a^{2}} a {\displaystyle a}

最後の3つの予想は直交設計に関する記述であるが、直交設計の存在は重みを持つ順序の重み付け行列の存在と同等であることが証明されている。[7] O D ( n ; s 1 , … , s u ) {\displaystyle \mathrm {OD} (n;s_{1},\dots ,s_{u})} X 1 , … , X u {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{u}} n {\displaystyle n} X i {\displaystyle X_{i}} s i {\displaystyle s_{i}}

重み付け行列に関して同様に重要でありながら見落とされがちな質問は、それらの列挙です。つまり、与えられたとに対して、 はいくつあるでしょうか。 n {\displaystyle n} w {\displaystyle w} W ( n , w ) {\displaystyle W(n,w)}

参考文献

  1. ^ ab Raghavarao, Damaraju (1960). 「計量設計のいくつかの側面」.数理統計年報. 31 (4). 数理統計研究所: 878–884 . doi : 10.1214/aoms/1177705664 . ISSN  0003-4851.
  2. ^ ab Seberry, Jennifer (2017). 「いくつかの代数的および組み合わせ的非存在結果」.直交計画. シュプリンガー・インターナショナル・パブリッシング. pp.  7– 17. doi :10.1007/978-3-319-59032-5_2. ISBN 978-3-319-59031-8。
  3. ^ abc Geramita, Anthony V.; Pullman, Norman J.; Wallis, Jennifer S. (1974). 「重み付け行列の族」.オーストラリア数学会報. 10 (1). Cambridge University Press (CUP): 119– 122. doi : 10.1017/s0004972700040703 . ISSN  0004-9727. S2CID  122560830.
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  11. ^ 原田 正明; 宗正 明弘 (2012). 「重み付け行列と自己直交符号の分類について」. J. Combin. Designs . 20 : 40–57 . arXiv : 1011.5382 . doi :10.1002/jcd.20295. S2CID  1004492.
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  13. ^ Arasu、KT;ヒン・リョン、カ；ルン・マー、シウ。ナバヴィ、アリ。レイ・チョードリ、DK (2006)。 「重み 16 循環重み付け行列のすべての可能な次数の決定」。有限体とその応用。12 (4): 498–538。土井: 10.1016/j.ffa.2005.06.009。
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