ウェンデルの定理

幾何学的確率論において、ジェームズ・G・ウェンデルにちなんで名付けられたウェンデルの定理は、次元超球面上に一様かつランダムに分布するN個の点がすべて、その超球面の同じ「半分」に位置する確率を与える。言い換えれば、原点を境界とする半空間が存在し、そこにN個の点がすべて含まれる確率を求めるものである。ウェンデルの定理によれば、その確率は^{[ 1 ]}である。${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle p_{n,N}=2^{-N+1}\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}.}$

この命題は、原点がN点の凸包に含まれない確率と等価であり、 R ⁿ上の原点を中心に対称な任意の確率分布に対して成り立つ。特に、原点を中心に回転不変な分布はすべてこれに該当する。 ${\displaystyle p_{n,N}}$

これは本質的には、超平面が一般的な位置でそれを領域に分割するというシュレーフリの定理の確率的再述である。^{[ 2 ]}${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle 2\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {N-1}{k}}}$

参考文献

1. ウェンデル, ジェームズ・G. (1962)、「幾何学的確率の問題」、Math. Scand.、11 : 109–111、doi : 10.7146/math.scand.a-10655
2. Cover, Thomas M.; Efron, Bradley (1967年2月). 「幾何確率と超球面上のランダム点」 .数理統計年報. 38 (1): 213– 220. doi : 10.1214/aoms/1177699073 . ISSN 0003-4851 .