ワイルの不等式

線形代数学において、ワイルの不等式は、摂動を受けたエルミート行列の固有値の変化に関する定理である。この定理は、摂動を受けたエルミート行列の固有値を推定するために用いられる。

摂動に関するワイルの不等式

を 次元の内積空間上のエルミート行列とし、スペクトルを の降順に並べる。これらの固有値は（エルミート行列の固有値として）実数であるため、順序付け可能であることに注意されたい。^{[ 1 ]}${\textstyle A,B}$ ${\textstyle V}$ ${\textstyle n}$ ${\textstyle \lambda _{1}\geq ...\geq \lambda _{n}}$

ワイル不等式—$${\displaystyle \lambda_{i+j-1}(A+B)\leq \lambda_{i}(A)+\lambda_{j}(B)\leq \lambda_{i+jn}(A+B)}$$

証拠

最小最大定理によれば、次元 の任意の に対して、となる単位ベクトルが存在することが示されれば十分です。 ${\textstyle W\subset V}$ ${\textstyle i+j-1}$ ${\textstyle w}$ ${\textstyle \langle w,(A+B)w\rangle \leq \lambda _{i}(A)+\lambda _{j}(B)}$

最小最大原理により、余次元 を持つベクトルが存在し、 となります。同様に、余次元 を持つベクトルも存在します。ここで、は余次元 を持つため、 と非自明な交差を持ちます。 とすると、目的のベクトルが得られます。 ${\textstyle W_{A}}$ ${\textstyle (i-1)}$ $${\displaystyle \lambda _{i}(A)=\max _{x\in W_{A};\|x\|=1}\langle x,Ax\rangle }$$ ${\textstyle W_{B}}$ ${\textstyle j-1}$ ${\textstyle W_{A}\cap W_{B}}$ ${\textstyle \leq i+j-2}$ ${\textstyle W}$ ${\textstyle w\in W\cap W_{A}\cap W_{B}}$

2 番目は、否定を取ることによって 1 番目から派生したものです。

ワイルの不等式は、エルミート行列のスペクトルが摂動に対して安定であることを述べている。具体的には、以下の式が成り立つ。^{[ 1 ]}

系（スペクトル安定性）—ここでは演算子ノルムです。 $${\displaystyle \lambda_{k}(A+B)-\lambda_{k}(A)\in [\lambda_{n}(B),\lambda_{1}(B)]}$$ $${\displaystyle |\lambda_{k}(A+B)-\lambda_{k}(A)|\leq \|B\|_{op}}$$ $${\displaystyle \|B\|_{op}=\max(|\lambda _{1}(B)|,|\lambda _{n}(B)|)}$$

専門用語では、 は演算子ノルムを持つエルミート行列の空間上でリプシッツ連続であると言われます。 ${\displaystyle \lambda_{k}}$

固有値と特異値間のワイル不等式

の特異値と固有値が となるように並べるとする。すると ${\displaystyle A\in \mathbb {C} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle \sigma _{1}(A)\geq \cdots \geq \sigma _{n}(A)\geq 0}$ ${\displaystyle |\lambda _{1}(A)|\geq \cdots \geq |\lambda _{n}(A)|}$

${\displaystyle |\lambda_{1}(A)\cdots \lambda_{k}(A)|\leq \sigma_{1}(A)\cdots \sigma_{k}(A)}$

の場合、 の場合も同様である。 ^{[ 2 ]}${\displaystyle k=1,\ldots ,n}$ ${\displaystyle k=n}$

アプリケーション

スペクトルの摂動の推定

エルミート行列 と が行列 だけ異なるとする。が小さいとは、スペクトルノルムが何らかの小さな に対してを満たすという意味で小さいと仮定する。すると、 のすべての固有値は絶対値で で有界となる。ワイルの不等式を適用すると、エルミート行列MとNのスペクトルは^{[ 3 ]}の意味で近いことがわかる。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \|R\|_{2}\leq \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle |\mu_{i}-\nu_{i}|\leq\epsilon\qquad\foralli=1,\ldots,n.}$

ただし、この固有値摂動の境界は、非エルミート行列（より正確には、非正規行列）では一般に偽であることに注意してください。反例として、を任意に小さくし、 ${\displaystyle t>0}$

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}0&0\\1/t^{2}&0\end{bmatrix}},\qquad N=M+R={\begin{bmatrix}0&1\\1/t^{2}&0\end{bmatrix}},\qquad R={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

の固有値およびはを満たしません。 ${\displaystyle \mu _{1}=\mu _{2}=0}$ ${\displaystyle \nu _{1}=+1/t,\nu _{2}=-1/t}$ ${\displaystyle |\mu _{i}-\nu _{i}|\leq \|R\|_{2}=1}$

特異値に対するワイルの不等式

を とする行列とする。その特異値はエルミート拡大行列 の正の固有値である。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p\times n}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq n}$ ${\displaystyle \sigma _{k}(M)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p+n)\times (p+n)}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&M\\M^{*}&0\end{bmatrix}}.}$

したがって、エルミート行列に対するワイルの固有値摂動不等式は、特異値の摂動にも自然に拡張される。^{[ 1 ]}この結果は、加法摂動による行列の特異値の摂動の境界を与える。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle |\sigma _{k}(M+\Delta )-\sigma _{k}(M)|\leq \sigma _{1}(\Delta )}$

ここで、最大の特異値はスペクトルノルムと一致することに注意してください。 ${\displaystyle \sigma _{1}(\Delta )}$ ${\displaystyle \|\デルタ \|_{2}}$

注記

1. Tao, Terence (2010-01-13). 「254A, Notes 3a: Eigenvalues and sums of Hermitian matrices」 . Terence Taoのブログ. 2015年5月25日閲覧。
2. ロジャー・A・ホーン、チャールズ・R・ジョンソン『行列解析のトピックス』ケンブリッジ社、第1版、1991年、171ページ
3. ワイル、ヘルマン。「Das asymptotische Vereilungsgesetz der Eigenwerte Linear Partieller Differentialgleichungen (mit einer Anwendung auf die Theorie der Hohlraumstrahlung)」。 Mathematische Annalen 71、no. 4 (1912): 441-479。

参考文献

• マトリックス理論、ジョエル・N・フランクリン（ドーバー出版、1993年）ISBN 0-486-41179-6
• 「Das asymptotische Vereilungsgesetz der Eigenwerte Linear Partieller Differentialgleichungen」、H. Weyl、Math. Ann.、71 (1912)、441–479