ウィーナー・ホップ法

ウィーナー・ホップ法は、応用数学において広く用いられている数学的手法である。当初はノルベルト・ウィーナーとエーバーハルト・ホップによって積分方程式系を解く手法として開発されたが、現在では同一境界上で混合境界条件を持つ2次元偏微分方程式を解く手法として広く用いられている。一般的に、この手法は変換された関数の複素解析的性質を利用する。通常は標準的なフーリエ変換が用いられるが、メリン変換など他の変換を用いた例も存在する。

一般に、支配方程式と境界条件は変換され、これらの変換を使用して、複素関数のペア（通常は下付き文字「+」と「-」で表記）が定義されます。これらの関数は、それぞれ複素平面の上部と下部で解析的であり、これらの領域では多項式よりも速く増加しません。これらの 2 つの関数は、複素平面の特定の領域（通常は実数直線を含む細い帯）でも一致します。解析接続により、これら 2 つの関数が複素平面全体で解析的な単一の関数を定義することが保証され、リウヴィルの定理により、この関数は未知の多項式（多くの場合、ゼロまたは定数）であることが示されます。境界のエッジとコーナーでの条件を解析することで、この多項式の次数を決定できます。

ウィーナー・ホップ分解

ウィーナー・ホップ法に現れる基本方程式は次の形式である。

あ（α）Ξ+（α）+B（α）Ψ−（α）+C（α）＝0、{\displaystyle A(\alpha )\Xi _{+}(\alpha )+B(\alpha )\Psi _{-}(\alpha )+C(\alpha )=0,}

ここで、、は既知の正則関数であり、関数、は未知であり、方程式は複素平面上の帯状領域において成立する。を求めることはウィーナー・ホップ問題と呼ばれる。[ 1 ]あ{\displaystyle A}B{\displaystyle B}C{\displaystyle C}Ξ+（α）{\displaystyle \Xi _{+}(\alpha )}Ψ−（α）{\displaystyle \Psi _{-}(\alpha )}τ−<私メートル（α）<τ+{\displaystyle \tau _{-}<{\mathfrak {Im}}(\alpha )<\tau _{+}}α{\displaystyle \alpha}Ξ+（α）{\displaystyle \Xi _{+}(\alpha )}Ψ−（α）{\displaystyle \Psi _{-}(\alpha )}

多くのウィーナー・ホップ問題における重要なステップは、任意の関数を、上記で概説した望ましい性質を持つ2つの関数に分解することです。一般的には、これは次のように記述できます。 Φ{\displaystyle \Phi }Φ±{\displaystyle \Phi _{\pm}}

Φ+（α）＝12π私∫C1Φ（z）dzz−α{\displaystyle \Phi _{+}(\alpha )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{1}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }}}

そして

Φ−（α）＝−12π私∫C2Φ（z）dzz−α、{\displaystyle \Phi _{-}(\alpha )=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{2}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }},}

ここで等高線と等高線は実数直線に平行であるが、それぞれ点の上と下を通過する。[ 2 ]C1{\displaystyle C_{1}}C2{\displaystyle C_{2}}z＝α{\displaystyle z=\alpha }

同様に、任意のスカラー関数は、まず対数をとり、次に和分解を行うことで、+/− 関数の積、すなわち に分解できる。行列関数の積分解（弾性波などの多峰性結合系で発生する）は、対数が明確に定義されておらず、分解が非可換であると予想されるため、はるかに問題が多い。可換分解の小さなサブクラスはKhrapkovによって得られ、様々な近似法も開発されている。 K（α）＝K+（α）K−（α）{\displaystyle K(\alpha)=K_{+}(\alpha)K_{-}(\alpha)}

例

線形偏微分方程式を考える

L×yf（×、y）＝0、{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{xy}f(x,y)=0,}

ここで、は、ある所定の関数g ( x )に対して、 y  = 0の混合条件の下で、 xとyに関する微分を含む線形演算子である。 L×y{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{xy}}

f＝グラム（×） のために ×≤0、fy＝0 いつ ×>0{\displaystyle f=g(x){\text{ }}x\leq 0 の場合、\quad f_{y}=0{\text{ }}x>0 の場合}

そして無限大、つまりf  → 0で減衰します。 ×→∞{\displaystyle {\boldsymbol {x}}\rightarrow \infty }

xに関してフーリエ変換を行うと、次の常微分方程式が得られる。

Lyf^（け、y）−P（け、y）f^（け、y）＝0、{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{y}{\widehat {f}}(k,y)-P(k,y){\widehat {f}}(k,y)=0,}

ここで、はy導関数のみを含む線形演算子であり、P ( k,y )はyとk の既知の関数であり、 Ly{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{y}}

f^（け、y）＝∫−∞∞f（×、y）e−私け×d×。{\displaystyle {\widehat {f}}(k,y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x.}

この常微分方程式の、無限遠での必要な減衰を満たす特定の解をF ( k , y )とすると、一般解は次のように表される。

f^（け、y）＝C（け）F（け、y）、{\displaystyle {\widehat {f}}(k,y)=C(k)F(k,y),}

ここでC ( k )はy =0の境界条件によって決定される未知の関数である。

鍵となるアイデアは、複素平面の下半分と上半分で解析的な2つの別々の関数に分割することです 。f^{\displaystyle {\ワイドハット {f}}}f^+{\displaystyle {\ワイドハット {f}}_{+}}f^−{\displaystyle {\ワイドハット {f}}_{-}}

f^+（け、y）＝∫0∞f（×、y）e−私け×d×、{\displaystyle {\widehat {f}}_{+}(k,y)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x,}
f^−（け、y）＝∫−∞0f（×、y）e−私け×d×。{\displaystyle {\widehat {f}}_{-}(k,y)=\int _{-\infty }^{0}f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x.}

境界条件は次のように表される。

グラム^（け）+f^+（け、0）＝f^−（け、0）+f^+（け、0）＝f^（け、0）＝C（け）F（け、0）{\displaystyle {\widehat {g\,}}(k)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}_{-}(k,0)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}(k,0)=C(k)F(k,0)}

そして、 について微分すると、 y{\displaystyle y}

f^−′（け、0）＝f^−′（け、0）+f^+′（け、0）＝f^′（け、0）＝C（け）F′（け、0）。{\displaystyle {\widehat {f}}'_{-}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)+{\widehat {f}}'_{+}(k,0)={\widehat {f}}'(k,0)=C(k)F'(k,0).}

利回りの 排除C(k){\displaystyle C(k)}

g^(k)+f^+(k,0)=f^−′(k,0)/K(k),{\displaystyle {\widehat {g\,}}(k)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)/K(k),}

どこ

K(k)=F′(k,0)F(k,0).{\displaystyle K(k)={\frac {F'(k,0)}{F(k,0)}}.}

ここで、は関数の積と、それぞれ上半平面と下半平面で解析的な 関数に分解できます。K(k){\displaystyle K(k)}K−{\displaystyle K^{-}}K+{\displaystyle K^{+}}

正確に言うと 、K(k)=K+(k)K−(k),{\displaystyle K(k)=K^{+}(k)K^{-}(k),}

log⁡K−=12πi∫−∞∞log⁡(K(z))z−kdz,Im⁡k>0,{\displaystyle \log K^{-}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(K(z))}{z-k}}\,{\textrm {d}}z,\quad \operatorname {Im} k>0,}
log⁡K+=−12πi∫−∞∞log⁡(K(z))z−kdz,Im⁡k<0.{\displaystyle \log K^{+}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(K(z))}{z-k}}\,{\textrm {d}}z,\quad \operatorname {Im} k<0.}

（これは、となるようにスケーリングされることもあることに注意すること。）また、 を、それぞれ下半平面と上半平面で解析的な 2つの関数との和に分解する。K{\displaystyle K}1{\displaystyle 1}k→∞{\displaystyle k\rightarrow \infty }K+g^{\displaystyle K^{+}{\widehat {g\,}}}G+{\displaystyle G^{+}}G−{\displaystyle G^{-}}

K+(k)g^(k)=G+(k)+G−(k).{\displaystyle K^{+}(k){\widehat {g\,}}(k)=G^{+}(k)+G^{-}(k).}

これは因数分解と同じ方法で行うことができます 。 したがって、K(k).{\displaystyle K(k).}

G+(k)+K+(k)f^+(k,0)=f^−′(k,0)/K−(k)−G−(k).{\displaystyle G^{+}(k)+K_{+}(k){\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)/K_{-}(k)-G^{-}(k).}

さて、上式の左辺は下半平面において解析的であり、右辺は上半平面において解析的であるため、解析接続は、それぞれの半平面において左辺または右辺と一致する整関数の存在を保証する。さらに、上式の両辺の関数はkが大きくなると減衰することが示されるため、リウヴィルの定理を適用すると、この整関数は恒等的にゼロであることが示される。したがって、

f^+(k,0)=−G+(k)K+(k),{\displaystyle {\widehat {f}}_{+}(k,0)=-{\frac {G^{+}(k)}{K^{+}(k)}},}

など

C(k)=K+(k)g^(k)−G+(k)K+(k)F(k,0).{\displaystyle C(k)={\frac {K^{+}(k){\widehat {g\,}}(k)-G^{+}(k)}{K^{+}(k)F(k,0)}}.}

参照

注記

  1. ^ノーブル 1958、§4.2。
  2. ^ノーブル 1958、第1章。

参考文献

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