ウィンナーソーセージ
細長いウィンナーソーセージの3次元図
2次元の短くて太いウィンナーソーセージ

確率論の分野において、ウィーナーソーセージとは、ブラウン運動の軌跡の、時刻tまでの近傍であり、ブラウン運動から一定距離内にあるすべての点をとったものを指します。中心線がブラウン運動である、一定半径のソーセージとして視覚化できます。ウィーナーソーセージは、ウィーナー過程との関連性から、 MDドンスカーとSRシュリニヴァサ・バラダン （1975年） によってノーバート・ウィーナーにちなんで命名されました。また、ドイツ語で「ウィーン人」を意味する「Wiener」をもじった語呂合わせでもあります。

ウィンナーソーセージは、ブラウン運動の最も単純な非マルコフ汎関数の一つである。その応用分野には、熱伝導を含む確率的現象が含まれる。これはフランク・スピッツァー （1964年）によって初めて記述され、マーク・カックとホアキン・マツダック・ラッティンガー （1973年、1974年）によってボーズ＝アインシュタイン凝縮の結果を説明するために用いられ、 MDドンスカーとSRスリニヴァサ・バラダン （1975年）によって証明が発表された。

定義

半径δ、長さtのウィンナーソーセージWδ ( t )は、ユークリッド空間内の ブラウン運動経路b上の集合値確率変数であり、次のように定義される。

Wδ（t）（b）{\displaystyle W_{\delta }(t)({b})}は、0≤ x ≤ tのパスb上の点b ( x )から距離 δ 以内にある点の集合です。

音量

ウインナーソーセージが細くなる（δ→0）ときの体積（ルベーグ測度）| W δ ( t )|の挙動については多くの研究が行われてきました。スケールを変更することで、これは本質的に、ソーセージが長くなる（t →∞）ときの体積を研究することと同等になります。

スピッツァー（1964）は、3次元ではソーセージの体積の期待値は

E（|Wδ（t）|）＝2πδt+4δ22πt+4πδ3/3.{\displaystyle E(|W_{\delta }(t)|)=2\pi \delta t+4\delta ^{2}{\sqrt {2\pi t}}+4\pi \delta ^{3}/3.}

次元dが少なくとも3のとき、ウィンナーソーセージの体積は

δd−2πd/22t/Γ（（d−2）/2）{\displaystyle \delta ^{d-2}\pi ^{d/2}2t/\Gamma ((d-2)/2)}

tが無限大に近づくにつれて、この式はとに置き換えられます。スピッツァーの弟子であるホイットマン (1964)は、球 よりも一般的なコンパクト集合で与えられる断面積を持つウィンナーソーセージの一般化について同様の結果を証明しました。 8t/π{\displaystyle {\sqrt {8t/\pi }}}2πt/ログ⁡（t）{\displaystyle 2{\pi }t/\log(t)}

参考文献

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