一般性を失うことなく
一般性を失うことなく（じゅうせいせいけんしつ、 WOLOG、 WLOG、 wlogと略されることが多いが、あまり一般的ではないが、一般性を失うことなく、あるいは一般性を失うことなくと表現される）は、数学で頻繁に使用される表現である。この用語は、後に続くものが任意に選ばれ、前提が特定のケースに限定されるが、一般に証明の妥当性には影響しないという仮定を示すために使用される。他のケースは提示されたものと十分に類似しているため、それらを証明することは本質的に同じ論理に従う。 [ 1 ]その結果、特定のケースについて証明が与えられれば、それを他のすべてのケースの結論を証明するために適応させることは自明である。
多くのシナリオでは、対称性の存在によって「一般性を失うことなく」の使用が可能になります。[ 2 ]たとえば、実数のある特性P ( x , y ) がxとyについて対称であること、つまりP ( x , y ) がP ( y , x ) と等価であることがわかっている場合、 P ( x , y ) がすべてのxとyに対して成り立つことを証明する際に、「一般性を失うことなく」x ≤ yを仮定できます。 この仮定では一般性が失われません。x ≤ y ⇒ P ( x , y ) の場合が証明されたら、xとyを入れ替えることで他の場合、y ≤ x ⇒ P ( y , x ) が証明され、 Pの対称性によってP ( x , y )が示され、すべての場合にP ( x , y ) が成り立つことが示されるためです。
一方、そのような対称性や他の形式の同等性が確立できない場合、「一般性を失うことなく」の使用は誤りであり、例示による証明の例、つまり代表的でない例を証明することによって主張を証明するという論理的誤謬に相当する可能性がある。 [ 3 ]
例
3 つの物体がそれぞれ赤または青に塗られている場合、同じ色の物体が少なくとも 2 つ存在する必要があります。
証明：
一般性を失うことなく、最初の物体が赤色であると仮定します。他の2つの物体のいずれかが赤色であれば、これで完了です。赤色でない場合は、他の2つの物体は両方とも青色でなければならず、それでも完了です。
上記の議論が成り立つのは、別の仮定、すなわち最初の物体が青であるという仮定、あるいは同様に「赤」と「青」という単語が証明の文言において自由に置き換えられるという仮定を置いた場合でも、全く同じ推論が適用できるからです。したがって、この場合、「一般性を失うことなく」という表現は有効です。
参照
参考文献
- ^チャートランド, ゲイリー; ポリメニ, アルバート D.;チャン, ピン(2008). 『数学的証明／上級数学への移行』（第2版）. ピアソン/アディソン・ウェスレー. pp. 80– 81. ISBN 978-0-321-39053-0。
- ^ダイクストラ、エドガー W. (1997)。 「WLOG、または順序のないペアの悲惨さ (EWD1223)」。ブロイではマンフレッド。ビルギット・シーダー編（編）。プログラム開発における数学的手法(PDF)。 NATO ASI シリーズ F: コンピューターおよびシステム科学。 Vol. 158. スプリンガー。 pp. 33–34 .土井: 10.1007/978-3-642-60858-2_9。ISBN 978-3-642-64588-4。
- ^ 「3変数における非巡回不等式」 www.cut-the-knot.org . 2019年10月21日閲覧。
外部リンク
