Theorem of matrix ranks
数学 、特に 線形代数 において 、ウッドベリー行列恒等式（ Woodbury Matrix Identity ）は、 マックス・A・ウッドベリー [1] [2] にちなんで名付けられ、 ある 行列のランク k 補正の逆行列は 、元の行列の逆行列にランク k 補正を施すことで計算できるというものである。この公式は、 行列逆行列の補題 、 シャーマン・モリソン・ウッドベリー公式 、あるいは単に ウッドベリー公式 とも呼ばれる。しかし、この恒等式はウッドベリー報告以前のいくつかの論文にも登場している。 [3] [4]
ウッドベリー行列の恒等式は [5]
(
A
+
U
C
V
)
−
1
=
A
−
1
−
A
−
1
U
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
,
{\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},}
ここで 、 A 、 U 、 C 、 Vは 適合行列 です 。A は n × n 、 C は k × k 、 U は n × k 、 V は k × nです。これは ブロック単位の逆行列変換 を用いて導出できます 。
この恒等式は主に行列に使用されますが、一般 環 や Ab カテゴリ でも成立します。
ウッドベリー行列恒等式は、線形方程式の逆行列と解を安価に計算することを可能にする。しかし、この公式の 数値安定性 についてはほとんど知られていない。その誤差範囲に関する公表された結果は存在しない。逸話的証拠 [6] は、一見無害な例（元の行列と修正された行列の両方が 条件付きで ある場合）であっても、発散する可能性があることを示唆している。
議論 この結果を証明するために、まずはより単純な例から証明しましょう。AとCを単位行列Iに置き換えると 、 もう少し 単純 な 別 の 単位行列が得られます。
この 簡約された単位行列
から元の方程式を復元するには 、 を、 を と置き換えます 。
(
I
+
U
V
)
−
1
=
I
−
U
(
I
+
V
U
)
−
1
V
.
{\displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V.}
U
{\displaystyle U}
A
−
1
U
{\displaystyle A^{-1}U}
V
{\displaystyle V}
C
V
{\displaystyle CV}
この恒等式自体は、2つのより単純な恒等式の組み合わせと見ることができます。最初の恒等式は
このようにして得られ、
同様にし
て得られます
。2番目の恒等式は、いわゆる プッシュスルー恒等式 [7] で、右側に
を、 左側に
を乗じる
ことで得られます
。
I
=
(
I
+
P
)
−
1
(
I
+
P
)
=
(
I
+
P
)
−
1
+
(
I
+
P
)
−
1
P
,
{\displaystyle I=(I+P)^{-1}(I+P)=(I+P)^{-1}+(I+P)^{-1}P,}
(
I
+
P
)
−
1
=
I
−
(
I
+
P
)
−
1
P
,
{\displaystyle (I+P)^{-1}=I-(I+P)^{-1}P,}
(
I
+
P
)
−
1
=
I
−
P
(
I
+
P
)
−
1
.
{\displaystyle (I+P)^{-1}=I-P(I+P)^{-1}.}
(
I
+
U
V
)
−
1
U
=
U
(
I
+
V
U
)
−
1
{\displaystyle (I+UV)^{-1}U=U(I+VU)^{-1}}
U
(
I
+
V
U
)
=
(
I
+
U
V
)
U
{\displaystyle U(I+VU)=(I+UV)U}
(
I
+
V
U
)
−
1
{\displaystyle (I+VU)^{-1}}
(
I
+
U
V
)
−
1
{\displaystyle (I+UV)^{-1}}
すべてをまとめると、
最初の等式と 2 番目の等式は、それぞれ最初の恒等式と 2 番目の恒等式から生じます。
(
I
+
U
V
)
−
1
=
I
−
U
V
(
I
+
U
V
)
−
1
=
I
−
U
(
I
+
V
U
)
−
1
V
.
{\displaystyle \left(I+UV\right)^{-1}=I-UV\left(I+UV\right)^{-1}=I-U\left(I+VU\right)^{-1}V.}
特殊なケース がベクトルのとき 、この恒等式は シャーマン・モリソンの公式 に簡約されます。
V
,
U
{\displaystyle V,U}
スカラーの場合、簡約版は単純に
1
1
+
u
v
=
1
−
u
v
1
+
v
u
.
{\displaystyle {\frac {1}{1+uv}}=1-{\frac {uv}{1+vu}}.}
和の逆数 n = k かつ U = V = I n が単位行列である
場合、
(
A
+
B
)
−
1
=
A
−
1
−
A
−
1
(
B
−
1
+
A
−
1
)
−
1
A
−
1
=
A
−
1
−
A
−
1
(
A
B
−
1
+
I
)
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(A+B\right)^{-1}&=A^{-1}-A^{-1}\left(B^{-1}+A^{-1}\right)^{-1}A^{-1}\\[1ex]&=A^{-1}-A^{-1}\left(AB^{-1}+{I}\right)^{-1}.\end{aligned}}}
上記の式の右辺の項を統合し続けると、 Huaの恒等式が得られる。
(
A
+
B
)
−
1
=
A
−
1
−
(
A
+
A
B
−
1
A
)
−
1
.
{\displaystyle \left({A}+{B}\right)^{-1}={A}^{-1}-\left({A}+{A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1}.}
同じアイデンティティのもう一つの有用な形は
(
A
−
B
)
−
1
=
A
−
1
+
A
−
1
B
(
A
−
B
)
−
1
,
{\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}={A}^{-1}+{A}^{-1}{B}\left({A}-{B}\right)^{-1},}
これは、上記のものとは異なり、 が特異 で あっ ても有効であり 、
の スペクトル半径 が1未満の
場合にとなる再帰構造を持ちます。つまり、上記の和が収束する場合、 は に等しくなります 。
B
{\displaystyle B}
(
A
−
B
)
−
1
=
∑
k
=
0
∞
(
A
−
1
B
)
k
A
−
1
{\displaystyle \left({A}-{B}\right)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left({A}^{-1}{B}\right)^{k}{A}^{-1}}
A
−
1
B
{\displaystyle A^{-1}B}
(
A
−
B
)
−
1
{\displaystyle (A-B)^{-1}}
この形式は、 Bが A の摂動で ある摂動展開で使用できます 。
バリエーション
二項逆定理 A 、 B 、 U 、 V がそれぞれ
n × n 、 k × k 、 n × k 、 k × n の大きさの行列である 場合、
(
A
+
U
B
V
)
−
1
=
A
−
1
−
A
−
1
U
B
(
B
+
B
V
A
−
1
U
B
)
−
1
B
V
A
−
1
{\displaystyle \left(A+UBV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1}}
ただし、 A と B + BVA −1 UBは 非特異である。後者の非特異性は、 B −1が B ( I + VA −1 UB ) に等しく 、後者の階数が B の階数を超えることができないため、B −1が存在することを必要とする。 [7]
B は逆数であるため、 右辺の括弧内の逆数を挟む 2つの B項は ( B −1 ) −1 に置き換えることができ、 その結果、元のウッドベリー恒等式が得られます。
B が特異で非正則な 場合のバリエーション: [7]
(
A
+
U
B
V
)
−
1
=
A
−
1
−
A
−
1
U
(
I
+
B
V
A
−
1
U
)
−
1
B
V
A
−
1
.
{\displaystyle (A+UBV)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U(I+BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}.}
A が特異な特定のケースについても公式が存在する 。 [8]
半正定値行列の擬似逆行列 一般に、ウッドベリーの恒等式は、1つ以上の逆元が（ムーア・ペンローズ）擬似逆元 に置き換えられた場合、成立しない 。しかし、 とが 半正定値 であり 、 （それ 自体が半正定値であることを意味する）場合、次の式が一般化を与える： [9] [10]
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
V
=
U
H
{\displaystyle V=U^{\mathrm {H} }}
A
+
U
C
V
{\displaystyle A+UCV}
(
X
X
H
+
Y
Y
H
)
+
=
(
Z
Z
H
)
+
+
(
I
−
Y
Z
+
)
H
X
+
H
E
X
+
(
I
−
Y
Z
+
)
,
Z
=
(
I
−
X
X
+
)
Y
,
E
=
I
−
X
+
Y
(
I
−
Z
+
Z
)
F
−
1
(
X
+
Y
)
H
,
F
=
I
+
(
I
−
Z
+
Z
)
Y
H
(
X
X
H
)
+
Y
(
I
−
Z
+
Z
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\left(XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} }\right)^{+}&=\left(ZZ^{\mathrm {H} }\right)^{+}+\left(I-YZ^{+}\right)^{\mathrm {H} }X^{+\mathrm {H} }EX^{+}\left(I-YZ^{+}\right),\\Z&=\left(I-XX^{+}\right)Y,\\E&=I-X^{+}Y\left(I-Z^{+}Z\right)F^{-1}\left(X^{+}Y\right)^{\mathrm {H} },\\F&=I+\left(I-Z^{+}Z\right)Y^{\mathrm {H} }\left(XX^{\mathrm {H} }\right)^{+}Y\left(I-Z^{+}Z\right),\end{aligned}}}
ここで、 は と書くことができます。なぜなら、任意の半正定値行列は、 ある に対して と 等しいからです 。
A
+
U
C
U
H
{\displaystyle A+UCU^{\mathrm {H} }}
X
X
H
+
Y
Y
H
{\displaystyle XX^{\mathrm {H} }+YY^{\mathrm {H} }}
M
M
H
{\displaystyle MM^{\mathrm {H} }}
M
{\displaystyle M}
派生
直接的な証拠 この式は、ウッドベリー恒等式の右側にある逆行列を掛けると恒等行列になることを
確認すれば証明できます。
(
A
+
U
C
V
)
{\displaystyle (A+UCV)}
(
A
+
U
C
V
)
[
A
−
1
−
A
−
1
U
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
]
=
{
I
−
U
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
}
+
{
U
C
V
A
−
1
−
U
C
V
A
−
1
U
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
}
=
{
I
+
U
C
V
A
−
1
}
−
{
U
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
+
U
C
V
A
−
1
U
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
}
=
I
+
U
C
V
A
−
1
−
(
U
+
U
C
V
A
−
1
U
)
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
=
I
+
U
C
V
A
−
1
−
U
C
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
=
I
+
U
C
V
A
−
1
−
U
C
V
A
−
1
=
I
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(A+UCV\right)\left[A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right]\\={}&\left\{I-U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}+\left\{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\\={}&\left\{I+UCVA^{-1}\right\}-\left\{U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\\={}&I+UCVA^{-1}-\left(U+UCVA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\\={}&I+UCVA^{-1}-UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\\={}&I+UCVA^{-1}-UCVA^{-1}\\={}&I.\end{aligned}}}
代替証明
代数的証明
まず、これらの有用なアイデンティティを考えてみましょう。
U
+
U
C
V
A
−
1
U
=
U
C
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
=
(
A
+
U
C
V
)
A
−
1
U
(
A
+
U
C
V
)
−
1
U
C
=
A
−
1
U
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}U+UCVA^{-1}U&=UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)=\left(A+UCV\right)A^{-1}U\\\left(A+UCV\right)^{-1}UC&=A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}\end{aligned}}}
今、
A
−
1
=
(
A
+
U
C
V
)
−
1
(
A
+
U
C
V
)
A
−
1
=
(
A
+
U
C
V
)
−
1
(
I
+
U
C
V
A
−
1
)
=
(
A
+
U
C
V
)
−
1
+
(
A
+
U
C
V
)
−
1
U
C
V
A
−
1
=
(
A
+
U
C
V
)
−
1
+
A
−
1
U
(
C
−
1
+
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&=\left(A+UCV\right)^{-1}\left(A+UCV\right)A^{-1}\\&=\left(A+UCV\right)^{-1}\left(I+UCVA^{-1}\right)\\&=\left(A+UCV\right)^{-1}+\left(A+UCV\right)^{-1}UCVA^{-1}\\&=\left(A+UCV\right)^{-1}+A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.\end{aligned}}}
LDU分解からの導出
まず行列A
の下の要素を消去する（ A は逆行列であると仮定 ）
と 、次の式が
得られます。
[
A
U
V
C
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}}
[
I
0
−
V
A
−
1
I
]
[
A
U
V
C
]
=
[
A
U
0
C
−
V
A
−
1
U
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&U\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}}
同様に、 C の上の要素を消去すると 、
[
A
U
V
C
]
[
I
−
A
−
1
U
0
I
]
=
[
A
0
V
C
−
V
A
−
1
U
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\V&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}}
上記の2つを組み合わせると、
[
I
0
−
V
A
−
1
I
]
[
A
U
V
C
]
[
I
−
A
−
1
U
0
I
]
=
[
A
0
0
C
−
V
A
−
1
U
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}}
右側に移動すると、
ブロック行列を上三角行列、対角行列、下三角行列に LDU 分解したものが得られます。
[
A
U
V
C
]
=
[
I
0
V
A
−
1
I
]
[
A
0
0
C
−
V
A
−
1
U
]
[
I
A
−
1
U
0
I
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I&0\\VA^{-1}&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}}
両辺を反転すると
[
A
U
V
C
]
−
1
=
[
I
A
−
1
U
0
I
]
−
1
[
A
0
0
C
−
V
A
−
1
U
]
−
1
[
I
0
V
A
−
1
I
]
−
1
=
[
I
−
A
−
1
U
0
I
]
[
A
−
1
0
0
(
C
−
V
A
−
1
U
)
−
1
]
[
I
0
−
V
A
−
1
I
]
=
[
A
−
1
+
A
−
1
U
(
C
−
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
−
A
−
1
U
(
C
−
V
A
−
1
U
)
−
1
−
(
C
−
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
(
C
−
V
A
−
1
U
)
−
1
]
(
1
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}&={\begin{bmatrix}I&A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&0\\VA^{-1}&I\end{bmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&0\\0&\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}\\[8pt]&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}U\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}&-A^{-1}U\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\\-\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}&\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(1)} \end{aligned}}}
逆のやり方でも同様にできる（ C が逆行列である限り）すなわち
[
A
U
V
C
]
=
[
I
U
C
−
1
0
I
]
[
A
−
U
C
−
1
V
0
0
C
]
[
I
0
C
−
1
V
I
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I&UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\C^{-1}V&I\end{bmatrix}}}
再び両辺を反転すると、
[
A
U
V
C
]
−
1
=
[
I
0
C
−
1
V
I
]
−
1
[
A
−
U
C
−
1
V
0
0
C
]
−
1
[
I
U
C
−
1
0
I
]
−
1
=
[
I
0
−
C
−
1
V
I
]
[
(
A
−
U
C
−
1
V
)
−
1
0
0
C
−
1
]
[
I
−
U
C
−
1
0
I
]
=
[
(
A
−
U
C
−
1
V
)
−
1
−
(
A
−
U
C
−
1
V
)
−
1
U
C
−
1
−
C
−
1
V
(
A
−
U
C
−
1
V
)
−
1
C
−
1
+
C
−
1
V
(
A
−
U
C
−
1
V
)
−
1
U
C
−
1
]
(
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}&={\begin{bmatrix}I&0\\C^{-1}V&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}&0\\0&C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}\\[8pt]&={\begin{bmatrix}\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}&-\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}UC^{-1}\\-C^{-1}V\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}&C^{-1}+C^{-1}V\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}UC^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(2)} \end{aligned}}}
ここで、上記(1)と(2)の右辺の要素(1, 1)を比較すると、ウッドベリーの公式が得られる。
(
A
−
U
C
−
1
V
)
−
1
=
A
−
1
+
A
−
1
U
(
C
−
V
A
−
1
U
)
−
1
V
A
−
1
.
{\displaystyle \left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}=A^{-1}+A^{-1}U\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.}
アプリケーション この恒等式は、 A −1が既に計算されていて、 ( A + UCV ) −1 を計算したい特定の数値計算で役立ちます。 A の逆行列が利用できるので、 恒等式の右辺を使用して結果を得るには、 C −1 + VA −1 U の逆行列を求めるだけで済みます。 C の次元が A よりはるかに小さい場合、 A + UCV を 直接反転するよりも効率的です。一般的なケースは、 A の 低ランク更新 A + UCV の逆行列を求めること(ただし、 U は数列のみ、 V は 数行のみ)、または 行列 Bが低ランク行列 UCV で近似できる場合 (たとえば、 特異値分解 を使用)、行列 A + B の逆行列の近似値を求めることです。
これは、例えば カルマンフィルタ や 再帰最小二乗 法において、状態ベクトルサイズの行列の逆行列を必要とする パラメトリック解を 、条件方程式に基づく解に置き換えるために適用されます。カルマンフィルタの場合、この行列は観測ベクトルの次元を持ちます。つまり、一度に1つの新しい観測値のみを処理する場合、この行列の次元は1まで小さくなります。これにより、フィルタの計算はリアルタイムで行われることが多く、その計算速度が大幅に向上します。
C が単位行列 I である場合 、この行列は 数値線形代数 と 数値偏微分方程式では 容量行列 として 知られています 。 [4]
I
+
V
A
−
1
U
{\displaystyle I+VA^{-1}U}
参照
注記
^ Max A. Woodbury, 修正行列の反転 , 覚書報告書42, 統計研究グループ, プリンストン大学, プリンストン, ニュージャージー州, 1950, 4pp MR 0038136 ^ Max A. Woodbury, The Stability of Out-Input Matrices . Chicago, Ill., 1949. 5 pp. MR 0032564 ^ Guttmann, Louis (1946). 「逆行列を計算するための拡大法」. Ann. Math. Statist . 17 (3): 336– 343. doi : 10.1214/aoms/1177730946 . ^ ab Hager, William W. (1989). 「行列の逆行列の更新」. SIAM Review . 31 (2): 221– 239. doi :10.1137/1031049. JSTOR 2030425. MR 0997457. ^ ハイアム、ニコラス (2002). 数値アルゴリズムの精度と安定性 （第2版）. SIAM . p. 258. ISBN 978-0-89871-521-7 . MR 1927606。 ^ 「 MathOverflow の議論」。MathOverflow 。
^ abc Henderson, HV; Searle, SR (1981). 「行列の和の逆行列の導出について」 (PDF) . SIAM Review . 23 (1): 53– 60. doi :10.1137/1023004. hdl : 1813/32749 . JSTOR 2029838. ^ Kurt S. Riedel、「ランク増加行列のシャーマン・モリソン・ウッドベリー恒等式とセンタリングへの応用」、 SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 、13 (1992)659-662、 doi :10.1137/0613040 プレプリント MR 1152773 ^ バーンスタイン、デニス・S. (2018). 『スカラー、ベクトル、行列数学：理論、事実、公式』 （改訂増補版）プリンストン：プリンストン大学出版局. p. 638. ISBN 9780691151205 。 ^ Schott, James R. (2017). 『統計のための行列分析 （第3版）』ニュージャージー州ホーボーケン: John Wiley & Sons, Inc. p. 219. ISBN 9781119092483 。
Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007)「セクション2.7.3. Woodbury Formula」『 Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing』 （第3版）、ケンブリッジ大学出版局、 ISBN 978-0-521-88068-8
外部リンク 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left(A+B\right)^{-1}&=A^{-1}-A^{-1}\left(B^{-1}+A^{-1}\right)^{-1}A^{-1}\\[1ex]&=A^{-1}-A^{-1}\left(AB^{-1}+{I}\right)^{-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6474384e0a95c513b2250c5a36638881482b4b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(A+UCV\right)\left[A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right]\\={}&\left\{IU\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}+\left\{UCVA^{-1}-UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\\={}&\left\{I+UCVA^{-1}\right\}-\left\{U\left(C^{-1}+VA^{-1 }U\right)^{-1}VA^{-1}+UCVA^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\right\}\\={}&I+UCVA^{-1}-\left(U+UCVA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\\={}&I+UCVA^{-1}-UC\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}\\={}&I+UCVA^{-1}-UCVA^{-1}\\={}&I.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f9188a55ebfb78625ce03beb899b67c010612cc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}&={\begin{bmatrix}I&A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A&0\\0&C-VA^{-1}U\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&0\\VA^{-1}&I\end{bmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{bmatrix}I&-A^{-1}U\\0&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{-1}&0 \\0&\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&0\\-VA^{-1}&I\end{bmatrix}}\\[8pt]&={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}U\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}&-A^{-1}U\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\\-\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}&\left(C-VA^{-1}U\right)^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(1)} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd80a045fa9157c9185e1805320cacf91ce7b40e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A&U\\V&C\end{bmatrix}}^{-1}&={\begin{bmatrix}I&0\\C^{-1}V&I\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A-UC^{-1}V&0\\0&C\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}I&UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}^{-1}\\[8pt]&={\begin{bmatrix}I&0\\-C^{-1}V&I\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A- UC^{-1}V\right)^{-1}&0\\0&C^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I&-UC^{-1}\\0&I\end{bmatrix}}\\[8pt]&={\begin{bmatrix}\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}&-\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}UC^{-1}\\-C^{-1}V\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}&C^{-1}+C^{-1}V\left(A-UC^{-1}V\right)^{-1}UC^{-1}\end{bmatrix}}\qquad \mathrm {(2)} \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70dd74f08ea4769fe59dc5765fa134270b371d60)
