数学の集合論において、世俗的基数とは、階数V κ がツェルメロ-フランケル集合論のモデルとなるような基数κ のことである。[1]強極限基数κ が世俗的であるためには、任意の自然数nに対して、 V θ ≺ Σ n V κとなるような順序数 θ < κ が無限に存在する必要がある。
近づきがたい枢機卿との関係
ツェルメロの圏定理によれば、すべての到達不可能な基数は世俗的である。シェパードソンの定理によれば、到達不可能であることは、( V κ , V κ+1 ) が二階ツェルメロ-フランケル集合論のモデルであるというより強い主張と同値である。[2] 世俗的であることと到達不可能であることは同値ではない。実際、最小の世俗的基数は可算な共終性を持ち、したがって特異基数である。[3]
以下は厳密に昇順になっており、ι は最もアクセスしにくい基数です。
- 最も世俗的でないκ。
- 最も世俗的でない κ と λ (κ<λ、以下同様)、V κとV λは同じ理論を満たします。
- 世俗的基数の極限である最も世俗的でない κ (それと同等に、κ 個の世俗的基数の極限)。
- V κ ≺ Σ 2 V λの場合の最も世俗的でない κ と λ (これは上記の項目の κ 倍反復よりもさらに高い)。
- V κ ≺ V λとなる最も世俗的でない κ と λ 。
- 共終性 ω 1の最も世俗的でない κ (上記項目を長さ ω 1の連鎖に拡張したものに相当)。
- 共終性 ω 2の最も世俗的でない κ (など)。
- V κ を満たす最小の κ>ω は、 ( V κ ,∈) 満足関係で拡張された言語に置き換えられます。
- L κ ( V κ )においてアクセスできない最小の κ 。同様に、無限論理L ∞,ωにおいてV κの式をV κが置き換えることを満たす最小の κ>ω 。
- モース・ケリー集合論を満たすV κを拡張する推移モデルM⊂ V κ+1を持つ最小のκ 。
- (世俗的な基数ではありません) V κがV ιと同じ Σ 2理論を持つ最小の κ 。
- V κとV ιが同じ理論を持つ最小の κ 。
- 同じ理論を持つL κ ( V κ ) とL ι ( V ι )を持つ最小の κ 。
- (世俗的な枢機卿ではありません) 実パラメータを持つ同じ Σ 2理論を持つV κとV ιを持つ最小の κ 。
- (世俗的な基数ではありません) V κ ≺ Σ 2 V ιとなる最小の κ 。
- V κ ≺ V ιとなる最小の κ 。
- V κとV ιがV κにあるのと同じL ∞,ωステートメントを満たす最小の無限 κ 。
- V κを拡張し、 V ι+1と同じV κ内のパラメータを持つ文を満たす推移モデル M⊂ V κ+1を持つ最小の κ 。
- 最も近づきにくい基数 ι。
参考文献
- ^ ハムキンス (2014).
- ^ 金森 (2003)、定理 1.3、p. 19.
- ^ 金森 (2003)、補題 6.1、p. 57.
- ハムキンス、ジョエル・デイビッド(2014)、「構築可能性公理に関する多元宇宙的視点」、無限と真理、Lect. Notes Ser. Inst. Math. Sci. Natl. Univ. Singap.、第25巻、ハッケンサック、ニュージャージー州：World Sci. Publ.、pp. 25– 45、arXiv : 1210.6541、Bibcode :2012arXiv1210.6541H、MR 3205072
- 金森章弘 (2003)、『The Higher Infinite』、Springer Monographs in Mathematics (2nd ed.)、Springer-Verlag
外部リンク
- カントルの屋根裏部屋に住む世俗的な枢機卿
