五行辞典
Mathematical physics relation

位相幾何学および高エネルギー物理学において、ウー・ヤン辞書とは、ゲージ理論の概念と微分幾何学の概念を相互に翻訳することを可能にする数学的同一視を指す。この辞書は、1975年にタイ・ツン・ウーとCNヤンによる電磁気学とファイバー束理論を比較した論文の中で発表された。[1]この辞書は、数学と理論物理学をより密接に結びつけたと評価されている。 [2]

この辞書の成功の重要な例は、ホップファイバの観点からモノポール量子化を理解できるようにしたことである。[3] [4]

歴史

ファイバー束理論とゲージ理論の同等性は1960年代末に示唆されました。1967年、数学者アンジェイ・トラウトマンは、キングス・カレッジ・ロンドンで物理学者と数学者を対象に、これらの関連性に関する一連の講義を開始しました。[4]

ストーニーブルック大学に所属する理論物理学者、タイ・ツン・ウーとCN・ヤンは、1975年に電磁気学の数学的枠組みとファイバー束を用いたアハラノフ・ボーム効果に関する論文を発表しました。 1年後、数学者イサドア・シンガーがオックスフォード大学を訪れ、そのコピーをオックスフォード大学に持ち帰りました。[2] [5] [6]シンガーはこの論文をマイケル・アティヤをはじめとする数学者に見せ、物理学者と数学者の緊密な協力関係のきっかけとなりました。[2]

ヤンはまた、繊維束理論を創始した数学者の一人であるシー・シェン・チェンとの会話についても述べている。[2]

1975 年、ゲージ場がファイバー束上の接続であるという事実に感銘を受け、私はバークレー近郊のエルセリートにある Shiing-Shen Chern の家に車で向かった。(1940 年代初頭、彼が若い教授で私が中国の昆明にある国立西南大学で学部生だったときに、私は彼の授業を受けたことがある。それはファイバー束が微分幾何学で重要になる前であり、Chern が一般化ガウス–ボネの定理やChern 類への貢献で歴史を作る前のことだった。) 私たちは友人、親戚、中国など話すことがたくさんあった。会話がファイバー束に移ったとき、私はJim Simonsからファイバー束理論の美しさや深遠なChern-Weil の定理をようやく学んだと彼に話した。ゲージ場がまさにファイバー束上の接続であり、数学者が物理的世界を参照せずにそれを発展させたというのは驚きだ、と述べた。私は「数学者たちがこれらの概念をどこからともなく思いついたなんて、これはスリリングであると同時に不可解でもありますね」と付け加えました。彼は即座に反論しました。「違います。これらの概念は思いついたものではありません。自然で現実的なものなのです」

1977年、トラウトマンはこれらの結果を用いて、1931年にポール・ディラックが用いた磁気単極子の量子化条件と、同年に数学者ハインツ・ホップが提案した3次元球面のファイバ化であるホップ・ファイバ化との同等性を実証した。[4]この同等性をヤンと議論した 数学者ジム・シモンズは、「ディラックは数学者よりも先に自明な束と非自明な束を発見していた」と述べた。[4]

原論文では、ウーとヤンは辞書の空白部分の横に電流源（例えば）を追加しており、数学的には同等の概念が存在しないことを示唆している。インタビューの中で、ヤンはシンガーとアティヤがこの電流源の概念に大きな関心を示したことを回想している。この概念は数学者には知られていなかったが、物理学者は19世紀から知っていた。数学者たちはこの概念の研究を始め、アティヤの弟子であるサイモン・ドナルドソンによるドナルドソン理論の発展につながった。[7] [8]

説明

要約版

五洋辞典は、素粒子物理学の用語と数学、特に繊維束理論の用語を関連付けています。この辞典には多くの版や一般化が存在します。以下は、物理学用語を数学用語と並べて表示した辞典の例です。[9]

物理 数学
潜在的 繋がり
場テンソル（相互作用） 曲率
場テンソル-ポテンシャル関係 構造方程式
ゲージ変換 束座標の変更
ゲージ群 構造グループ

電磁気学のオリジナル版

アハラノフ・ボームの実験：電子は非ゼロ磁場が存在する円筒の周りを通過する。円筒の外側では磁場の強度は0である。

WuとYangは、円筒内部に磁場が存在する（円筒外部では磁場はゼロ、すなわち）状態で円筒の周りを電子が移動するという記述を考察した。アハラノフ・ボーム効果によれば、干渉パターンは係数 だけシフトする。ここでは磁束、は磁束量子である。2つの異なる磁束aとbについて、 （ は整数）の場合には結果は同一である。演算子 を、電子波動関数をある構成から別の構成 に変換するゲージ変換として定義する。点Pから点Qへの経路をとる電子について、位相係数 を次のように 定義する。 f μ ν = 0 {\displaystyle f_{\mu \nu }=0} exp ⁡ ( − i Ω / Ω 0 ) {\displaystyle \exp(-i\Omega /\Omega _{0})} Ω {\displaystyle \Omega } Ω 0 {\displaystyle \Omega _{0}} Ω a − Ω b = N Ω 0 {\displaystyle \Omega _{a}-\Omega _{b}=N\Omega _{0}} N {\displaystyle N} S a b {\displaystyle S_{ab}} ψ b = S b a ψ a {\displaystyle \psi _{b}=S_{ba}\psi _{a}}

Φ Q P = exp ⁡ ( − i Ω 0 ∫ P Q A μ d x μ ) {\displaystyle \Phi _{QP}=\exp \left(-{\frac {i}{\Omega _{0}}}\int _{P}^{Q}A_{\mu }\mathrm {d} x^{\mu }\right)} 、

ここでは電磁4元ポテンシャルである。SU (2)ゲージ場の場合、次のように置き換えることができる。 A μ {\displaystyle A_{\mu }}

A μ = i b μ k X k {\displaystyle A_{\mu }=ib_{\mu }^{k}X_{k}} 、

ここで、SU(2)の生成元はパウリ行列である。これらの概念のもと、ウーとヤンはゲージ理論の言語とファイバー束の関係を示し、以下の辞書に体系化された。[2] [10] [11] X k = − i σ k / 2 {\displaystyle X_{k}=-i\sigma _{k}/2} σ k {\displaystyle \sigma _{k}}

呉陽辞典 (1975) [1]
ゲージ場の用語 バンドル用語
ゲージ（またはグローバルゲージ） 主座標束
ゲージタイプ 主繊維束
ゲージ電位 b μ k {\displaystyle b_{\mu }^{k}} 主繊維束上の接続
S b a {\displaystyle S_{ba}} （このセクションの上記を参照） 遷移関数
位相係数 Φ Q P {\displaystyle \Phi _{QP}} 平行移動
電界強度 f μ ν k {\displaystyle f_{\mu \nu }^{k}} 曲率
出典[a] J μ k {\displaystyle J_{\mu }^{k}} ?
電磁気 U(1)束上の接続
同位体スピンゲージ場 SU(2)バンドル上の接続
ディラックのモノポール量子化 U(1)バンドルの第一チャーン類による分類
単極子のない電磁気学 自明なU(1)バンドル上の接続
単極子を持つ電磁気学 非自明なU(1)バンドル上の接続
  1. ^ 元の表には、「すなわち電源。これは電荷と電流の概念の一般化である（文献[12]を参照）」という注釈も含まれていました。

参照

参考文献

  1. ^ ab Wu, Tai Tsun; Yang, Chen Ning (1975-12-15). 「非積分位相因子の概念とゲージ場の大域的定式化」 . Physical Review D. 12 ( 12): 3845– 3857. doi :10.1103/PhysRevD.12.3845. ISSN  0556-2821.
  2. ^ abcde Poo, Mu-ming; Chao, Alexander Wu (2020-01-01). 「楊陳寧との対話：回想と考察」National Science Review . 7 (1): 233– 236. doi :10.1093/nsr/nwz113. ISSN  2095-5138. PMC 8288855. PMID  34692035 . 
  3. ^ Woit, Peter (2008年4月5日). 「Stony Brook Dialogues in Mathematics and Physics」. Not even wrong blog . 2023年3月14日閲覧。
  4. ^ abcd Friedman, John L. (2015). 「ファイバー束に関する歴史的ノート」 . Physics Today . 68 (6): 11. doi :10.1063/PT.3.2799.
  5. ^ ウェルズ、レイモンド・オニール; ヘルマン・ワイル (1988). 『ヘルマン・ワイルの数学的遺産』アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-1482-6。
  6. ^ フリード、ダニエル・S. (2021). 「イザドア・シンガーは数学の境界を超越した」.クォンタ・マガジン.
  7. ^ Yang, CN (2009). 「CN Yang: Stony Brook Masters Series」（インタビュー）. ビル・ジマーマンによるインタビュー.
  8. ^ ウィルソン、ロビン、グレイ、ジェレミー (2012年12月6日). 数学的対話：数学的インテリジェンサーからの抜粋. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-1-4613-0195-0。
  9. ^ Zeidler, Eberhard (2008-09-03). 『量子場の理論 II：量子電磁力学：数学者と物理学者の架け橋』 Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-85377-0。
  10. ^ Boi, Luciano (2004). 「理論物理学の幾何学的および位相的基礎：ゲージ理論から弦理論まで」. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences . 2004 (34): 1777– 1836. doi : 10.1155/S0161171204304400 . ISSN  0161-1712.
  11. ^ ウェルズ、レイモンド・オニール; ヘルマン・ワイル (1988). 『ヘルマン・ワイルの数学的遺産』アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-1482-6。
  12. ^ Yang, CN (1974-08-12). 「ゲージ場の積分形式論」 . Physical Review Letters . 33 (7): 445– 447. doi :10.1103/PhysRevLett.33.445. ISSN  0031-9007.
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