ヤンギアン

表現論において、ヤンジアンは無限次元ホップ代数であり、量子群の一種である。ヤンジアンは、1970年代後半から1980年代初頭にかけて、ルドヴィク・ファデーエフとその一派による量子逆散乱法に関する研究において物理学に初めて登場した。ヤンジアンという名称は、1985年にウラジミール・ドリンフェルドによってCNヤンに敬意を表して導入された。

当初、それらは量子ヤン・バクスター方程式の解を生成するための便利なツールであると考えられていました。

ヤンギアンの中心は量子行列式によって記述できます。

ヤンギアンは量子ループ代数（つまり中心電荷がゼロの量子アフィン代数）の退化である。[1]

説明

任意の有限次元半単純リー代数 aに対し、ドリンフェルドはaのヤンギアンと呼ばれる無限次元ホップ代数 Y ( a ) を定義した。このホップ代数は、明示的な生成元と関係式によって与えられたaの多項式ループのリー代数の普遍包絡代数U ( a [ z ] )の変形である。この関係式は、有理R行列を含む恒等式によって符号化できる。これを三角R行列に置き換えると、ドリンフェルドの同じ論文で定義された アフィン量子群が得られる。

一般線型リー代数 gl Nの場合、ヤンジアンは、ファデエフらによって、行列生成子上の単一の三元関係（またはRTT）を用いてより簡潔に記述できる。ヤンジアン Y( gl N ) は、 1 ≤ i、j ≤ N、p ≥ 0 の元によって生成される代数として定義され、以下の関係が成り立つ。 t 私 j （ p ） {\displaystyle t_{ij}^{(p)}}

[ t 私 j （ p + 1 ） 、 t け l （ q ） ] − [ t 私 j （ p ） 、 t け l （ q + 1 ） ] ＝ − （ t け j （ p ） t 私 l （ q ） − t け j （ q ） t 私 l （ p ） ） 。 {\displaystyle [t_{ij}^{(p+1)},t_{kl}^{(q)}]-[t_{ij}^{(p)},t_{kl}^{(q+1)}]=-(t_{kj}^{(p)}t_{il}^{(q)}-t_{kj}^{(q)}t_{il}^{(p)}).}

定義、設定 t 私 j （ − 1 ） ＝ δ 私 j {\displaystyle t_{ij}^{(-1)}=\delta _{ij}}

T （ z ） ＝ ∑ p ≥ − 1 t 私 j （ p ） z − p + 1 {\displaystyle T(z)=\sum _{p\geq -1}t_{ij}^{(p)}z^{-p+1}}

そして、C N C N上のR行列 R ( z ) = I + z −1 P （Pはテンソル因子を並べ替える演算子）を導入すると、上記の関係はより単純に3項関係として表すことができます。 ⊗ {\displaystyle \otimes }

R 12 （ z − わ ） T 1 （ z ） T 2 （ わ ） ＝ T 2 （ わ ） T 1 （ z ） R 12 （ z − わ ） 。 {\displaystyle \displaystyle {R_{12}(zw)T_{1}(z)T_{2}(w)=T_{2}(w)T_{1}(z)R_{12}(zw)。}}

ヤンギアンは、次式で表される 共乗Δ、共単位ε、対掌体sを持つホップ代数となる。

（ Δ ⊗ 私 d ） T （ z ） ＝ T 12 （ z ） T 13 （ z ） 、 （ ε ⊗ 私 d ） T （ z ） ＝ 私 、 （ s ⊗ 私 d ） T （ z ） ＝ T （ z ） − 1 。 {\displaystyle (\Delta \otimes \mathrm {id} )T(z)=T_{12}(z)T_{13}(z),\,\,(\varepsilon \otimes \mathrm {id} )T(z)=I,\,\,(s\otimes \mathrm {id} )T(z)=T(z)^{-1}.}

スペクトルパラメータ の特定の値において、R行列は階数1の射影に退化する。これはの量子行列式を 定義するのに利用でき、ヤンギアンの中心を生成する。 （ z − わ ） {\displaystyle (zw)} T （ z ） {\displaystyle T(z)}

GIオルシャンスキーによって導入された ねじれヤンギアンY − ( gl 2N )は、

S （ z ） ＝ T （ z ） σ T （ − z ） 、 {\displaystyle \displaystyle {S(z)=T(z)\sigma T(-z),}}

ここでσはgl 2Nの逆関数であり、

σ （ E 私 j ） ＝ （ − 1 ） 私 + j E 2 北 − j + 1 、 2 北 − 私 + 1 。 {\displaystyle \displaystyle {\sigma (E_{ij})=(-1)^{i+j}E_{2N-j+1,2N-i+1}.}}

アプリケーション

古典的表現理論

GIオルシャンスキーとI.チェレドニクは、 gl Nのヤンジアンが一般線型代数の既約有限次元表現の分岐特性と密接に関連していることを発見した。特に、そのような表現の空間における基底の古典的なゲルファント＝ツェトリン構成は、M.ナザロフとV.タラソフが研究したヤンジアンの言語において自然な解釈を持つ。オルシャンスキー、ナザロフ、モレフは後に、ツイスト・ヤンジアンに基づいて、この理論の他の古典的なリー代数への一般化を発見した。

物理

ヤンギアンは物理学のさまざまなモデルで対称群として現れます。[なぜ? ]

ヤンギアンは、スピン鎖、ハバード模型、1次元相対論的量子場理論のモデルなどの1次元の正確に解けるモデルの対称群として現れます。

最も有名な事例は4次元の平面超対称ヤン＝ミルズ理論であり、ヤン構造は演算子の対称性、 [2] [3]およびドラモンド、ヘン、プレフカによって発見された散乱振幅のレベルで現れる。

表現論

ドリンフェルドは、半単純リー代数の表現論における最高重み理論に類似した方法で、ヤンジャンの既約有限次元表現を媒介変数化した。最高重みの役割は、ドリンフェルド多項式の有限集合によって担われる。ドリンフェルドはまた、一般線型群と対称群の表現間の古典的なシュール＝ワイル双対性の一般化を発見した。これは、 sl Nのヤンジャンと退化したアフィン・ヘッケ代数（ジョージ・ルスティグの用語 では、A型の次数付きヘッケ代数）を含む。

ヤンギャンの表現は広く研究されてきましたが、理論はまだ活発に発展中です。

参照

注記

  1. ^ Guay, N.; Ma, X. (2012-07-03). 「量子ループ代数からヤンギアンへ」 .ロンドン数学会誌. 86 (3): 683– 700. doi :10.1112/jlms/jds021. ISSN  0024-6107.
  2. ^ Beisert, N. (2007). AdS/CFTのS行列とヤンジアン対称性. arXiv プレプリント arXiv:0704.0400.
  3. ^ Spill, F. (2009). u(2|2)ヤンギアン対称性に基づく弱結合N=4スーパーヤン＝ミルズ理論とN=6チャーン＝サイモンズ理論. 高エネルギー物理学ジャーナル, 2009(03), 014, https://arxiv.org/abs/0810.3897

参考文献

  • Chari, Vyjayanthi ; Andrew Pressley (1994). 『量子群入門』ケンブリッジ大学出版局, イギリス. ISBN 0-521-55884-0。
  • ドリンフェルド、ウラジミール・ゲルショノビッチ（1985）。 Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга-Бакстера[ホップ代数と量子ヤン・バクスター方程式]. SSSR国立アカデミー紀要（ロシア語）. 283 (5): 1060– 1064.
  • Drinfeld, VG (1987). 「ヤンギアンと量子アフィン代数の新たな実現」. SSSR国立アカデミー紀要（ロシア語）. 296 (1): 13–17 .ソビエト数学 - ドクラディに翻訳。36 (2): 212– 216。1988年。{{cite journal}}: CS1 maint: 無題の定期刊行物 (リンク)
  • バージニア州ドリンフェルド (1986)。 Вырожденные аффинные алгебры Гекке и янгианы [縮退アフィンヘッケ代数とヤンヤン]。Funktsional'nyi Analiz I Ego Prilozheniya (ロシア語)。20 (1): 69–70 . MR  0831053. Zbl  0599.20049。Drinfeld, VG (1986). 「退化したアフィン・ヘッケ代数とヤンギアン」に翻訳。関数解析とその応用. 20 (1): 58– 60. doi :10.1007/BF01077318. S2CID  119659066.
  • モレフ、アレクサンダー・イワノビッチ（2007年）『ヤンギアンと古典リー代数』数学概論とモノグラフ、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-4374-1。
  • バーナード、デニス (1993). 「ヤンギアン対称性入門」.可積分量子場理論. NATO ASIシリーズ. 第310巻. pp.  39– 52. arXiv : hep-th/9211133 . doi :10.1007/978-1-4899-1516-0_4. ISBN 978-1-4899-1518-4。
  • MacKay, Niall (2005). 「可積分場の理論におけるヤンジアン対称性入門」. International Journal of Modern Physics A. 20 ( 30): 7189– 7217. arXiv : hep-th/0409183 . Bibcode :2005IJMPA..20.7189M. doi :10.1142/s0217751x05022317. S2CID  10256766.
  • ドラモンド, ジェームズ; ヘン, ヨハネス; プレフカ, ヤン (2009). 「N = 4 超対称ヤン＝ミルズ理論における散乱振幅のヤンジアン対称性」.高エネルギー物理学ジャーナル. 2009 (5): 046. arXiv : 0902.2987 . Bibcode : 2009JHEP...05..046D. doi : 10.1088/1126-6708/2009/05/046. S2CID  15627964.
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