ZFK方程式

ZFK方程式（ Zeldovich-Frank-Kamenetskii方程式の略称）は、予混合火炎伝播をモデル化する反応拡散方程式である。この方程式は、 1938年にこの方程式を導出したヤコフ・ゼルドビッチとデイヴィッド・A・フランク＝カメネツキーにちなんで名付けられた。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}この方程式は、反応項が指数関数的挙動を示す点を除けばKPP方程式と類似しており、進行波の伝播速度に関してKPP方程式とは根本的に異なる。無次元形式では、この方程式は次のように表される。

$${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}\theta }{\partial x^{2}}}+\omega (\theta )}$$

の典型的な形式は次のように与えられる。 ${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \omega ={\frac {\beta ^{2}}{2}}\theta (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$$

ここで、 は無次元従属変数（典型的には温度）であり、はゼルドビッチ数である。ZFK領域においては、となる。この式はに対してフィッシャー方程式に簡約され、KPP領域に対応する。ZFK領域における進行波の最小伝播速度（通常は長時間漸近速度）は次式で与えられる。 ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle \beta \gg 1}$ ${\displaystyle \beta \ll 1}$ ${\displaystyle \beta \ll 1}$ ${\displaystyle U_{min}}$

$${\displaystyle U_{\text{ZFK}}\propto {\sqrt {2\int _{0}^{1}\omega (\theta )d\theta }}}$$

一方、KPP体制では、

$${\displaystyle U_{\text{KPP}}=2{\sqrt {\left.{\frac {d\omega }{d\theta }}\right|_{\theta =0}}}.}}$$

進行波解

ZFK方程式の数値解

フィッシャー方程式と同様に、この問題にも進行波解が存在します。波が右から左へ等速で進行すると仮定すると、波に付随する座標系、すなわち において、問題は定常状態となります。ZFK方程式は次のように 帰着します。${\displaystyle U}$ ${\displaystyle z=x+Ut}$

$${\displaystyle U{\frac {d\theta }{dz}}={\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}+{\frac {\beta ^{2}}{2}}\theta (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}}$$

境界条件およびを満たす。境界条件は十分滑らかに満たされるので、導関数も のときにゼロになる。この方程式は 方向において並進不変なので、例えば などの追加条件を使用して波の位置を固定することができる。波の速度は解の一部として得られるため、非線形固有値問題が構成される。^{[ 3 ]}上記の方程式の数値解、固有値、および対応する反応項は、 について計算された図に示されている。 ${\displaystyle \theta (-\infty )=0}$ ${\displaystyle \theta (+\infty )=1}$ ${\displaystyle d\theta /dz}$ ${\displaystyle z\to \pm \infty }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta (0)=1/2}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta =15}$

漸近解^{[ 4 ]}

ZFK領域は、活性化エネルギー漸近解析を用いて正式に解析される。が大きいため、項 によって反応項 は実質的にゼロになるが、 の場合にはこの項は無視できない。また、 および の場合には反応項 はゼロになる。したがって、右境界 に近い薄い層を除いて、 はどこでも無視できることは明らかである。したがって、問題は3つの領域に分割され、内側の拡散反応領域とその両側に2つの外側の対流拡散領域が挟まれている。 ${\displaystyle \beta \to \infty }$ ${\displaystyle \beta}$ ${\displaystyle e^{-\beta (1-\theta )}}$ ${\displaystyle 1-\theta \sim 1/\beta }$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \theta =1}$

外側の地域

外側の領域の問題は次のように与えられる。

$${\displaystyle U{\frac {d\theta }{dz}}={\frac {d^{2}\theta }{dz^{2}}}.}$$

条件を満たす解はである。この解は、（任意の選択であるが）波の位置を領域内のどこかに固定するようにもなっている。なぜなら、問題は方向において並進不変だからである。 であるので、外側の解は のように振舞い、これは次を意味する。${\displaystyle \theta (-\infty )=0}$ ${\displaystyle \theta =e^{Uz}}$ ${\displaystyle \theta (0)=1}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\to 0^{-}}$ ${\displaystyle \theta =1+Uz+\cdots }$ ${\displaystyle d\theta /dz=U+\cdots .}$

条件を満たす解は です。 なので、外部解はのように振舞うため となります。 ${\displaystyle \theta (+\infty )=1}$ ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle z\to 0^{+}}$ ${\displaystyle \theta =1}$ ${\displaystyle d\theta /dz=0}$

は で連続ですが、でジャンプすることがわかります。導関数間の遷移は内側の領域で記述されます。 ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle d\theta /dz}$ ${\displaystyle z=0}$

内側の地域

となる内側の領域では、反応項はもはや無視できない。内層構造を調べるために、点 を囲む引き伸ばされた座標を導入する。これは、点が外側の解に従って1に近づくためである。また、引き伸ばされた従属変数 も導入する。これらの変数を支配方程式に代入し、主要項のみを取り出すと、次式が得られる。 ${\displaystyle 1-\theta \sim 1/\beta }$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle \eta =\beta z,\,\Theta =\beta (1-\theta ).}$

$${\displaystyle 2{\frac {d^{2}\Theta }{d\eta ^{2}}}=\Theta e^{-\Theta }.}$$

境界条件は、先に得られた外部解の局所的挙動から導かれ、これを内部領域座標で書くと、およびとなる。同様に、 として となる。これらの境界条件を課した後の上記方程式の最初の積分は、 ${\displaystyle \eta \to -\infty }$ ${\displaystyle \Theta \to -U\eta =+\infty }$ ${\displaystyle d\Theta /d\eta =-U}$ ${\displaystyle \eta \to +\infty }$ ${\displaystyle \Theta =d\Theta /d\eta =0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.\left({\frac {d\Theta }{d\eta }}\right)^{2}\right|_{\Theta =\infty }-\left.\left({\frac {d\Theta }{d\eta }}\right)^{2}\right|_{\Theta =0}&=\int _{0}^{\infty }\Theta e^{-\Theta }d\Theta \\U^{2}&=1\end{aligned}}}$$

これは を意味する。最初の積分から明らかなように、波の速度の二乗はの積分値（ に関して）に比例する（もちろん、大きな極限では、内側の領域のみがこの積分に寄与する）。 を代入した後の最初の積分は次のように与えられる 。${\displaystyle U=1}$ ${\displaystyle U^{2}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle U=1}$

$${\displaystyle {\frac {d\Theta }{d\eta }}=-{\sqrt {1-(\Theta +1)\exp(-\Theta )}}.}$$

KPP-ZFK遷移

黒い線: 数値的に計算されたもの、赤い線: ; 青い線: 。${\displaystyle U(\beta )}$ ${\displaystyle U_{\text{KPP}}={\sqrt {2}}\beta e^{-\beta /2}}$ ${\displaystyle U_{\text{ZFK}}=1}$

KPP領域では、ここで使用される反応項に対して、適用可能なKPP速度は^{[ 5 ]}で与えられる。${\displaystyle U_{\text{min}}=U_{\text{KPP}}.}$ ${\displaystyle \beta \ll 1}$

$${\displaystyle U_{\text{KPP}}=2{\sqrt {\left.{\frac {d\omega }{d\theta }}\right|_{\theta =0}}}={\sqrt {2}}\beta e^{-\beta /2}}$$

一方、ZFK領域では、上で述べたように です。 の様々な値に対する方程式の数値積分により、に対してのみ となる臨界値が存在することが示されました。 の場合、はより大きくなります。が に近づくにつれて、ZFK領域に近づきます。KPP領域とZFK領域の間の領域は、KPP-ZFK遷移領域と呼ばれます。 ${\displaystyle U_{\text{ZFK}}=1}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \beta _{*}=1.64}$ ${\displaystyle \beta \leq \beta _{*}}$ ${\displaystyle U_{\text{min}}=U_{\text{KPP}}.}$ ${\displaystyle \beta \geq \beta _{*}}$ ${\displaystyle U_{\text{min}}}$ ${\displaystyle U_{\text{KPP}}}$ ${\displaystyle \beta \gg 1}$ ${\displaystyle U_{\text{min}}}$ ${\displaystyle U_{\text{ZFK}}=1}$

臨界値は反応モデルに依存し、例えば、

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\beta _{*}=3.04\quad {\text{for}}\quad \omega \propto (1-\theta )e^{-\beta (1-\theta )}\\&\beta _{*}=5.11\quad {\text{for}}\quad \omega \propto {\left(1-\theta \right)}^{2}e^{-\beta (1-\theta )}.\end{aligned}}}$$

クラビン・リニャンモデル

KPP-ZFK転移を解析的に予測するために、ポール・クラビンとアマブル・リニャンは単純な区分線形モデルを提案した^{[ 6 ]。}

$${\displaystyle \omega (\theta )={\begin{cases}\theta \quad {\text{if}}\quad 0\leq \theta \leq 1-\epsilon ,\\h(1-\theta )/\epsilon ^{2}\quad {\text{if}}\quad 1-\epsilon \leq \theta \leq 1\end{cases}}}$$

ここで、およびは定数です。モデルのKPP速度は ですが、ZFK速度は二重極限でのように得られ、付近での反応の急激な増加を模倣します。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle U_{\text{KPP}}=2}$ ${\displaystyle U_{\text{ZFK}}={\sqrt {h}}}$ ${\displaystyle \epsilon \to 0}$ ${\displaystyle h\to \infty }$ ${\displaystyle \theta =1}$

このモデルでは、次のような 臨界値が存在する。${\displaystyle h_{*}=1-\epsilon ^{2}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}h<h_{*}:&\quad U_{\text{min}}=U_{\text{KPP}},\\h>h_{*}:&\quad U_{\text{min}}={\frac {h/(1-\epsilon )+1-\epsilon }{\sqrt {h/(1-\epsilon )-\epsilon }}},\\h\gg h_{*}:&\quad U_{\text{min}}\to U_{\text{ZFK}}\end{cases}}}$$

参照

• フィッシャー方程式

参考文献

1. Zeldovich, YB, & Frank-Kamenetskii, DA (1938). 炎の熱伝播理論. Zh. Fiz. Khim, 12, 100-105.
2. Biktashev, VN; Idris, I. (2008). 「興奮波の開始：解析的アプローチ」. 2008 Computers in Cardiology . pp.  311– 314. doi : 10.1109/CIC.2008.4749040 . ISBN 978-1-4244-3706-1. S2CID  15607806 .
3. Evans, LC (2010). 偏微分方程式 (第19巻). アメリカ数学会.
4. Williams, FA (2018). 燃焼理論. CRC Press.
5. Clavin, P., Searby, G. (2016). 流れの中の燃焼波と前線：炎、衝撃波、デトネーション、アブレーション前線、そして星の爆発. Cambridge University Press.
6. Clavin, P., & Liñán, A. (1984). 気体燃焼理論. 『物理学と関連分野における非平衡協同現象』（pp. 291-338）. Springer, Boston, MA.